2019-2020学年甘肃省平凉市新高考高二数学下学期期末调研试题

提高练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知1a =，2b =，且()a a b ⊥-，则向量a 在b 方向上的正射影的数量为 A ．1
B ．2
C ．
12
D ．
22
2．直线与曲线
围成的封闭图形的面积为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知复数z 满足32i z i ⋅=+（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．23i +
B ．23i -
C ． 23i -+
D ． 23i --
4．为了得到函数sin(2)6
y x π
=-的图象，可以将函数sin 2y x =的图象（ ）
A ．向右平移6
π
个单位长度 B ．向左平移12
π
个单位长度 C ．向左平移
6
π
个单位长度 D ．向右平移
12
π
个单位长度
5．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（ ）
① 2018能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③ 2018是偶数； A ．①②③ B ．②①③ C ．②③① D ．③②① 6．若函数f(x)=21
x a
x ++(a ∈R)是奇函数，则a 的值为（ ） A ．1
B ．0
C ．－1
D ．±1
7．函数()[]cos sin ,,=-∈-f x x x x x ππ的大致图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知复数z 满足z?i=2+i -（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
9．已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA=PB=PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF=90°，则球O 的体积为
A ．
B ．
C ．
D
10．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则(|)P B A =（ ）
A ．
18
B ．
14
C ．
25
D ．
12
11．在极坐标系中,点(2,)π6
A 与(2,)6
πB -之间的距离为( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．已知函数1(),()2ln 2f x kx g x x e x e ⎛⎫
==+≥
⎪⎝⎭
，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M 、N ，使得M 、N 关于直线y e =对称，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．2,2e e ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
B ．224,e e ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
C ．24,2e e ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．2,e ⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
二、填空题：本题共4小题
13．已知集合{}
|12A x x =->，则R C A =_______.
14．某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为 ．
15．若交大附中共有400名教职工，那么其中至少有两人生日在同一天的概率为__________． 16．将1,2,3,4,5,这五个数字放在构成“W ”型线段的5个端点位置，要求下面的两个数字分别比和它相邻的上面两个数字大,这样的安排方法种数为_______. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为x y sin α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半
轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程sin 4πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭；
（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到曲线2C 上的距离的最小值的值. 18．已知函数3
21()13
f x x ax bx =
-++，当3x =时，函数()f x 有极小值8-. （1）求()f x 的解析式；
（2）求()f x 在[0,4]上的值域.
19．（6分）5G 网络是第五代移动通信网络，其峰值理论传输速度可达每8秒1GB ，比4G 网络的传输速度快数百倍．举例来说，一部1G 的电影可在8秒之内下载完成．随着5G 技术的诞生，用智能终端分享3D 电影、游戏以及超高画质（UHD ）节目的时代正向我们走来．某手机网络研发公司成立一个专业技术研发团队解决各种技术问题，其中有数学专业毕业，物理专业毕业，其它专业毕业的各类研发人员共计1200人．现在公司为提高研发水平，采用分层抽样抽取400人按分数对工作成绩进行考核，并整理得如上频率分布直方图（每组的频率视为概率）．
（1）从总体的1200名学生中随机抽取1人，估计其分数小于50的概率；
（2）研发公司决定对达到某分数以上的研发人员进行奖励，要求奖励研发人员的人数达到30%，请你估计这个分数的值；
（3）已知样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分，样本中不低于70分的数学专业毕业的研发人员人数与物理及其它专业毕业的研发人员的人数和相等，估计总体中数学专业毕业的研发人员的人数．
20．（6分）设函数()()2
0f x ax bx c a =++≠，曲线()y f x =通过点()0,23+a ，且在点()
()
1,1f --处的切线垂直于y 轴. （1）用a 分别表示b 和c ；
（2）当bc 取得最小值时，求函数()()-=-x
g x f x e 的单调区间.
21．（6分）已知0a >，0b >. （123427a a a a ++>
+.
（2）证明：2a b ab a ab ab +≥.
22．（8分）已知(13)n x +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121； (1)求n 的值；
(2)求展开式中系数最大的项；
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】 【分析】
由()a a b ⊥-与1a =、2b =可得出a b ⋅，向量a 在b 方向上的正射影的数量=
a b b
⋅
【详解】
()a a b ⊥-
2
()=0a a b a a b ∴⋅--⋅= 2
=1a b a ∴⋅=
向量a 在b 方向上的正射影的数量=2=
=2
2a b b
⋅ 【点睛】
本题考查两向量垂直，其数量积等于0. 向量a 在b 方向上的正射影的数量=a b b
⋅.
2．D 【解析】 【分析】
利用定积分的几何意义，首先利用定积分表示面积，然后计算即可． 【详解】
与曲线
围成的封闭图形的面积
．
故选：． 【点睛】
本题考查了定积分的几何意义的应用，关键是正确利用定积分表示面积，属于基础题． 3．A 【解析】 【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】
解：由32i z i ⋅=+，得()()2
323223i i i z i i i
+-+=
==--， ∴23z i =+．
故选A ． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 4．D 【解析】
因为把2y sin x =的图象向右平移
12π
个单位长度可得到函数22126y sin x sin x ππ⎛⎫⎛
⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭的图象，
所以，为了得到函数sin 26y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象，可以将函数sin2y x =的图象，向右平移
12
π
个单位长度故选D. 5．C
【解析】分析：根据三段论的一般模式进行排序即可．
详解：由题意知，“一切偶数都能被2整除”是大前提，“2018是偶数”是小前提，“2018能被2整除”是结论．故这三句话按三段论的模式排列顺序为②③①． 故选C ．
点睛：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理对特殊情况做出的判断． 6．B 【解析】 【分析】
根据奇函数的性质，利用()00f =，代入即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，函数()21
x a
f x x +=
+是定义域R 上的奇函数， 根据奇函数的性质，可得()00f =， 代入可得()2
00001
a
f +==+，解得0a =，故选B. 【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性的应用，其中解答中熟记奇函数的性质()00f =是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7．D
【解析】 【分析】
判断函数的奇偶性和对称性，利用2f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的符号进行排除即可． 【详解】
()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x -=-+=--=-，
函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除,A C
cos sin 1022
22f ππ
ππ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，排除B ，故选：D ．
【点睛】
本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括
,,0,0x x x x +-→+∞→-∞→→等.
8．A 【解析】 【分析】
算出z 后可得其对应的点所处的象限. 【详解】
因为2zi i =-+，故12z i =+，其对应的点为()1,2，它在第一象限，故选A. 【点睛】
本题考查复数的除法及复数的几何意义，属于基础题. 9．D 【解析】 【分析】
先证得PB ⊥平面PAC ，再求得PA PB PC ===，从而得P ABC -为正方体一部分，进而知正方
体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】 解法一:
,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，
PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点，
//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，
2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++=，即
364466,62338
R V R =
∴=π=⨯=ππ，故选D ．
解法二:
设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，
//EF PB ∴，且1
2
EF PB x =
=，ABC ∆为边长为2的等边三角形， 3CF ∴=又90CEF ∠=︒2
13,2
CE x AE PA x ∴=-==
AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x
+--∠=
⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，
D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，22431
42x x x x +-+∴=， 221
2
2122
2
x x x ∴+=∴=
=
，2PA PB PC ∴======2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=6R ∴=
，34466633V R ∴=π==π，故选D . 【点睛】
本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．
10．B 【解析】
两个数之和为偶数，则这两个数可能都是偶数或都是奇数，所以232512
()5
C P A C +==。

而2511()10P AB C =
=，所以()1
(|)()4
P AB P B A P A ==，故选B 11．B 【解析】 【分析】 可先求出3
AOB π
∠=判断AOB 为等边三角形即可得到答案.
【详解】
解析：由2,6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭
与2,6A π⎛
⎫- ⎪⎝⎭,知3AOB π∠=,所以AOB 为等边三角形,因此|AB|=2
【点睛】
本题主要考查极坐标点间的距离，意在考查学生的转化能力及计算能力，难度不大. 12．A 【解析】 【分析】
先求得()g x 关于y e =对称函数()h x ，由()f x 与()h x 图像有公共点来求得实数k 的取值范围. 【详解】
设函数()h x 上一点为(),x y ，关于y e =对称点为(),2x e y -，将其代入()g x 解析式得
22ln 2e y x e -=+，即12ln y x x e ⎛⎫=-≥ ⎪⎝
⎭.在同一坐标系下画出()12ln h x x x e ⎛
⎫=-≥ ⎪⎝⎭和()f x kx =的
图像如下图所示，由图可知[],OA OB k k k ∈，其中OA 是()h x 的切线.由1
,2B e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
得2OB k e =，而0OA k <，只有A 选项符合，故选A.
【点睛】
本小题主要考查函数关于直线对称函数解析式的求法，考查两个函数有交点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题 13．[]1,3- 【解析】 【分析】
先求出集合A ，再求R C A 得解. 【详解】
由题得{}
|31A x x x =><-或， 所以R C A =[]1,3-. 故答案为[]1,3- 【点睛】
本题主要考查集合的补集运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 14．20 【解析】
试题分析：由分层抽样的方法知样本中松树苗的棵数应为150的
400
3000
，所以样本中松树苗的棵数应为
400
150203000
⨯
=. 考点：分层抽样. 15．1 【解析】
分析：根据每年有365天，可判断400名教职工，中至少有两人生日在同一天为必然事件,从而可得结果. 详解：假设每一天只有一个人生日，则还有35人，所以至少两个人同日生为必然事件， 所以至少有两人生日在同一天的概率为1，故答案为1.
点睛：本题考查必然事件的定义以及必然事件的概率，属于简单题. 16．1 【解析】 【分析】
由已知1和2必须在上面，5必须在下面，分两大类来计算：（1）下面是3和5时，有2（1+1）＝4种情
况；（2）下面是4和5时，有233A =12种情况，继而得出结果．
【详解】
由已知1和2必须在上面，5必须在下面， 分两大类来计算：
（1）下面是3和5时，有2（1+1）＝4种情况；
（2）下面是4和5时，有23
3A =12种情况，
所以一共有4+12＝1种方法种数． 故答案为1． 【点睛】
本题考查的是分步计数原理，考查分类讨论的思想，是基础题 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． (1) 2
212
x y +=；8x y +=.
(2) 当()sin 1αϕ+=时，P 【解析】
分析：（Ⅰ）利用三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式
cos ,x y sin ρθθ==，把极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求得椭圆上)
,sin P αα到直线
80x y +-=的距离为d =
=
可得d 的最小值，以及此时的α的
值，从而求得点P 的坐标.
详解：（Ⅰ）由曲线1:x C y sin αα
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），曲线1C 的普通方程为：2212x
y +=.
由曲线2:sin 4C x πρ⎛
⎫
+
= ⎪
⎝
⎭()sin cos 2
ρθθ⨯+=8x y +=. 即：曲线B 的直角坐标方程为：8x y +=.
（Ⅱ）椭圆上的点)
,sin P
αα到直线O 的距离为
d =
=
∴当()sin 1αϕ+=时，P . 点睛：本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化以及点到直线距离公式，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和
sin ρθ换成y 和x 即可.
18．（1）3
21()313
f x x x x =--+；（2）[8,1]-. 【解析】 【分析】 (1) 由题意得(3)960
(3)99318
f a b f a b '=-+=⎧⎨
=-++=-⎩，解方程即得a ，b 的值即得解；（2）先求出()f x 在[0,3)上单
调递减，在(3,4]上单调递增，即得函数的值域. 【详解】
（1）2
()2f x x ax b '=-+，
由题意得(3)960
(3)99318f a b f a b '=-+=⎧⎨=-++=-⎩
，
解得13
a b =⎧⎨
=-⎩，
321
()313
f x x x x ∴=--+，经检验3x =为()y f x =的极小值点，符合题意.
（2）由（1）得2
()23(3)(1)f x x x x x '=--=-+ 当()0f x '>时，34x <≤；当()0f x '<时，03x ≤<. 所以()f x 在[0,3)上单调递减，在(3,4]上单调递增，
所以()f x 的最小值为(3)8f =-. 因为(0)1f =，17
(4)3
f =-
，所以()f x 的最大值为(0)1f =. 所以()f x 在[0,4]上的值域为[8,1]-. 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的极值和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题.
19．（1）0.1；（2）77.5；（3）540人. 【解析】 【分析】
（1）由题意可知,样本中随机抽取一人,分数小于50的概率是0.1,由此能估计总体中分数小于50的概率； （2）根据频率分布直方图,第六组的频率为0.4,第七组频率为0.2,由此能求出这个分数；
（3）样本中不低于70分的研发人员人数为240人,从而样本中不低于70分的数学专业毕业的研发人员为120人,样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分,从而样本中的是数学专业毕业的研发人员的人数为180人,由此能估计总体中数学专业毕业的研发人员的人数 【详解】
解：（1）由题意可知,样本中随机抽取一人,
分数小于50的概率是()10.010.0220.04100.1-+⨯+⨯=, 所以估计总体中分数小于50的概率0.1 （2）根据频率分布直方图，
第六组的频率为0.04×10=0.4,第七组频率为0.02×10=0.2, 此分数为()800.30.20.0477.5--÷=
（3）因为样本中不低于70分的研发人员人数为400×（0.4+0.2）=240人, 所以样本中不低于70分的数学专业毕业的研发人员为120人, 又因为样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分,
所以样本中的是数学专业毕业的研发人员的人数120÷2
3
=180人, 故估计总体中数学专业毕业的研发人员的人数为：1200×180
400
=540人 【点睛】
本题考查概率、频数的求法,考查频率分布直方图的性质,考查运算求解能力,是基础题． 20．（1）2a ，23a +；（2）()g x 的减区间为(),2-∞-和()2,+∞；增区间为()2,2-. 【解析】
分析：（1）求函数的导数，利用已知条件和导数的几何意义，即可用a 分别表示b 和c ；
（2）当bc 取得最小值时，求得a ，b 和c 的值.写出函数()g x 的解析式，根据求导法则求出()'g x ，令()'g x =0求出x 的值，分区间讨论()'g x 的正负，即可得到函数()g x 的单调区间.
详解：解：（1）因为()2f x ax bx c =++，所以()2f x ax b ='+
又因为曲线()y f x =通过点()023a +，
, 故()023f a =+，而()0f c =，从而23c a =+.
又曲线()y f x =在()()
1
1f --，处的切线垂直于y 轴， 故()10f '-=，即20a b -+=，因此2b a =.
（2）由（1）得()2
39223444bc a a a ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，
故当34a =-
时，bc 取得最小值9
4-. 此时有33
,22b c =-=.
从而()2333422f x x x =--+，()33
22
f x x =-'-，
()()23
334
22x x g x f x e x x e --⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，
所以()()()()
2
3(44
x
x g x f x f x e
x e --=-
'-'=-. 令()0g x '=，解得122,2x x =-=.
当(),2x ∈-∞-时，()0g x '<，故()g x 在(),2x ∈-∞-上为减函数； 当()2,2x ∈-时，()0g x '>，故()g x 在()2,2x ∈-上为增函数. 当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，故()g x 在()2,x ∈+∞上为减函数.
由此可见，函数()g x 的单调递减区间为(),2-∞-和()2,+∞；单调递增区间为()2,2-.
点睛：本题考查导数的几何意义，利用函数的导数研究函数的单调性，以及二次函数的最值问题，做题时要注意函数的求导法则的正确运用. 21．（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）不等式左右都大于0>
，再平方，
且0a >，0b >，即得证；（2）证明2()0a ab +>即可，提公因式整理得证。

证明：（1
>
只需证明3737a a ++>++
>
，
两边平方，得4120a +>，因为0a >，所以显然成立，得证. （2
）因为(
)2
a a
b +
(
)(2
a a
b a b a =-+=--
)a b =-
2
0=≥，
所以2a ab +≥. 【点睛】
本题考查证明不等式，（1）用两边同时平方的方法，（2）用做差法来证明，注意（1）可以平方的条件是不等式两边都大于零。

22． (1) 15n =；(2) 11111112153T C x =⋅或12121213153T C x =⋅
【解析】 【分析】
（1）由末三项二项式系数和构造方程，解方程求得结果；（2）列出展开式通项，设第1r +项为系数最大
的项，得到不等式组1
1
151511
15153333
r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，从而求得r 的取值，代入得到结果. 【详解】
（1）()13n
x +展开式末三项的二项式系数分别为：2
n n C -，1n n C -，n
n C
则：2
1121n n n n
n n C C C --++=，即：210121n n n C C C ++=
22400n n ∴+-=，解得：16n =-（舍）或15n =
15n ∴=
（2）由（1）知：()13n
x +展开式通项为：1153r r r
r T C x +=⋅
设第1r +项即为系数最大的项
11151511
15
153333r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅∴⎨⋅≥⋅⎩，解得：1112r ≤≤ ∴系数最大的项为：11111112153T C x =⋅或12121213153T C x =⋅
本题考查二项式定理的综合应用，涉及到二项式系数的问题、求解二项展开式中系数最大的项的问题，属于常规题型.
同步练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
根据上表可得回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+，其中0.78b ∧
=，a y b x ∧
∧
=-元，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（ ） A ．12.68万元
B ．13.88万元
C ．12.78万元
D ．14.28万元
2．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（ ）
① 2018能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③ 2018是偶数； A ．①②③ B ．②①③ C ．②③① D ．③②① 3．设集合P={3，log 2a}，Q={a ，b }，若{}1P Q =，则P Q ⋃=（ ）
A ．{3，1}
B ．{3，2，1}
C ．{3， 2}
D ．{3，0，1，2}
4．F 是双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交
另一条渐近线于点B ，若2AF FB =，则C 的离心率是（ ）
A B C D ．2
5．关于x 的不等式()2
10x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ） A ．[)(]3,24,5--⋃ B ．()()3,24,5--⋃ C ．(]4,5 D ．（4,5）
6．6()x +的二项展开式中，24x y 项的系数是（ ） A ．90
B ．45
C ．135
D ．270 7．下列说法错误的是( ) A ．回归直线过样本点的中心(),x y
B ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1
C ．在回归直线方程0.2 0.8y x =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y 平均增加0.2个单位
D ．对分类变量X 与Y ，随机变量2K 的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小 8．若0a >且1a ≠，且3
log 14
a
<，则实数a 的取值范围（ ）
A ．01a <<
B ．304
a << C ．3
04a <<
或1a > D ．34a >
或304
a << 9．利用数学归纳法证明“1+a+a 2+…+a n+1=，（a ≠1，n N ）”时，在验证n=1成立时，左边应该是（ ） A ．1
B ．1+a
C ．1+a+a 2
D ．1+a+a 2+a 3
10．下图是一个算法流程图，则输出的x 值为
A ．95
B ．47
C ．23
D ．11
11．若P 为两条异面直线l m ，外的任意一点，则（ ） A ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直 C ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交 D ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面
12．甲、乙两人进行乒乓球比赛，假设每局比赛甲胜的概率是0.6，乙胜的概率是0.4.那么采用5局3胜制还是7局4胜制对乙更有利？（ ） A ．5局3胜制
B ．7局4胜制
C ．都一样
D ．说不清楚
二、填空题：本题共4小题
13．已知函数()2
1
3,(,f x a x x e e e
=-≤≤为自然对数的底数与()2ln g x x = 的图象上存在关于x 轴
对称的点，则实数a 的最小值是__________.
14．双曲线2
2
14
y x -=的渐近线方程为
15．由抛物线y ＝
12
x 2
，直线x ＝1，x ＝3和x 轴所围成的图形的面积是______． 16．已知函数()3
2
2
3f x x mx nx m =+++在1x =时有极值2，则m n +=_______. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin 2sin 0b A a A C -+=．
（1）求角A ；
（2）若3a =
，ABC △的面积为
33
2
，求11b c +的值．
18．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为2cos 2sin x m y α
α=+⎧⎨=⎩
（α为参数，m 为常数）．以原点
O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－4
π
)=2．若直线l 与圆C 有两个公共点，求实数m 的取值范围． 19．（6分）已知函数()()ln ,x
f x x
g x e ==．
（1）求函数()y f x x =-的单调区间；
（2）求证：函数()y f x =和()y g x =在公共定义域内，()()2g x f x ->恒成立； （3）若存在两个不同的实数1x ，2x ，满足
()()121
2
f x f x a x x =
=，求证：
12
2
1x x e >． 20．（6分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，
且15b a =，23b =，581b =-，132b b a +=，是否存在k ，使1k k S S +>，且12k k S S ++<？若存在，求k 的值．若不存在，则说明理由． 21．（6分）某研究机构对高三学生的记忆力和判断力
进行统计分析，得下表数据：
（1）请根据上表提供的数据，用相关系数说明与的线性相关程度；（结果保留小数点后两位，参考
数据:
2 1.414≈）
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+； （3）试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．
参考公式：()()
()
1
2
1
n
i
i i n
i
i x
x y y
b x
x
==--=
-∑∑，a y bx =-；相关系数()()
()()
1
2
2
1
1
n
i
i
i n n
i
i
i i x x y y r x x y y ===--=
--∑∑∑
22．（8分）已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>在左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为点A ，若12
AF F ∆是面积为3. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知M ，N 是椭圆C 上的两点，且43MN =求使OMN ∆的面积最大时直线MN 的方程（O
为坐标原点）.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】 【分析】
由已知求得 x ， y ，进一步求得 a ，得到线性回归方程，取16x =求得y 值即可． 【详解】
8.38.69.911.1512.1 10x +++=+=
， 5.97.88.18.49.85
8
y ++++==．
又 0.78b =，∴ 80.78100.2a y bx --⨯===． ∴ 0.780.2y x =+．
取16x =，得 0.78160.212.68y ⨯+==万元，故选A ． 【点睛】
本题主要考查线性回归方程的求法，考查了学生的计算能力，属于中档题． 2．C
【解析】分析：根据三段论的一般模式进行排序即可．
详解：由题意知，“一切偶数都能被2整除”是大前提，“2018是偶数”是小前提，“2018能被2整除”是结论．故这三句话按三段论的模式排列顺序为②③①． 故选C ．
点睛：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理对特殊情况做出的判断． 3．B 【解析】
分析：由{}1P Q ⋂=求出a 的值，再根据题意求出b 的值，然后由并集运算直接得答案. 详解：由{}1P Q ⋂=，
2log 1a ∴=，即2a =，
{}{},2,1Q a b ∴==，
则{}3,2,1P Q ⋃=. 故选：B.
点睛：本题考查了并集及其运算，考查了对数的运算，是基础题. 4．A 【解析】
试题分析：由题意得,2,3;,2AF b BF b AB b OA a OB a =====，因此
222222224(2)(3)33()3a a b a b c a e e =+⇒==-⇒=
⇒=3
，选A. 考点：双曲线离心率
【名师点睛】求双曲线的离心率（取值范围）的策略
求双曲线离心率是一个热点问题．若求离心率的值，需根据条件转化为关于a ，b ，c 的方程求解，若求离心率的取值范围，需转化为关于a ，b ，c 的不等式求解，正确把握c 2＝a 2＋b 2的应用及e ＞1是求解的关键． 5．A 【解析】 【分析】
不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。

【详解】
关于x 的不等式()2
10x a x a -++<，
∴不等式可变形为(1)()0x x a --<，
当1a >时，得1x a <<，此时解集中的整数为2，3，4，则45a <≤； 当1a <时，得1<<a x ，，此时解集中的整数为-2，-1，0，则32a -≤<- 故a 的取值范围是[)(]3,24,5--⋃，选：A 。

【点睛】
本题难点在于分类讨论解含参的二次不等式，由于二次不等式对应的二次方程的根大小不确定，所以要对
a 和1的大小进行分类讨论。

其次在观察a 的范围的时候要注意范围的端点能否取到，防止选择错误的B
选项。

6．C 【解析】
分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于2，且y 的幂指数等于4，求得r 的值，即可求得结果
详解：(
)6
x +的展开式中， 通项公式为()61
6
3r
r
r
r T C x y -+=
令62r -=，且4r =，求得4r =
24x y ∴项的系数是()
4
2
63
135C =
故选C
点睛：本题主要考查的是二项式定理，先求出其通项公式，即可得到其系数，本题较为简单。

7．D 【解析】 【分析】 【详解】
分析：A. 两个变量是线性相关的，则回归直线过样本点的中心(),x y B. 两个随机变量的线性相关线越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；
C.在回归直线方程ˆ0.20.8y
x =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位 D.正确.
详解：A. 两个变量是线性相关的，则回归直线过样本点的中心(),x y ； B. 两个随机变量的线性相关线越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；
C.在回归直线方程ˆ0.20.8y
x =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位 D.错误，随机变量2K 的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大 故选：D.
点睛：本题考查了两个变量的线性相关关系的意义，线性回归方程，相关系数，以及独立性检验等，是概念辨析问题． 8．C 【解析】
试题分析：根据题意，由于0a >且1a ≠，且a 333
log 1log log 1444a a a a a <⇔∴<时，则成立， 当0<a<1时，根据对数函数递减性质可知，34a >，故可知范围是3
04
a <<，综上可知
实数a 的取值范围C 考点：不等式
点评：主要是考查了对数不等式的求解，属于基础题．
9．C 【解析】
考点：数学归纳法．
分析：首先分析题目已知用数学归纳法证明：“1+a+a 1+…+a n+1=（a≠1）”在验证n=1时，左端计算
所得的项．把n=1代入等式左边即可得到答案． 解：用数学归纳法证明：“1+a+a 1+…+a n+1=（a≠1）”
在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a 1． 故选C ． 10．B 【解析】
运行程序，2,0x n ==，判断是，5x =，1n =，判断是，11,2x n ==，判断是，23,3x n ==，判断是，47,4x n ==，判断否，输出47x =. 11．B 【解析】
解：因为若点P 是两条异面直线l m ，外的任意一点，则过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直，选B 12．A 【解析】 【分析】
分别计算出乙在5局3胜制和7局4胜制情形下对应的概率，然后进行比较即可得出答案. 【详解】
当采用5局3胜制时，乙可以3:0，3:1，3:2战胜甲，故乙获胜的概率为：
3222
22340.4+0.40.60.40.40.60.40.3174C C ⨯⨯+⨯⨯≈;当采用7局4胜制时，乙可以4:0，4:1，4:2，4:3
战胜甲，故乙获胜的概率为：433332333
4560.4+0.40.60.40.40.60.4+0.40.60.40.2898C C C ⨯⨯+⨯⨯⨯⨯≈，显然采用5局3胜制对乙更有利，故选A. 【点睛】
本题主要考查相互独立事件同时发生的概率，意在考查学生的计算能力和分析能力，难度中等. 二、填空题：本题共4小题 13．
1
3
【解析】
由题意可得：()()f x g x =-在区间1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有解，即：
232ln a x x -=-在区间1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上有解，
整理可得：22ln 3x x
a -=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，
令()22ln 3
x x
h x -=，则()12'23h x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
导函数在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()11212'20,'10,'2033h e h h e e e e e ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=⨯-==⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭， 则()()min 1
13h x h ==，，即a 的最小值是13
. 14．2y x =± 【解析】
试题分析：由双曲线方程可知2
2
1,41,2a b a b ==∴==∴渐近线方程为2y x =± 考点：双曲线方程及性质 15．
13
3
【解析】 【分析】
由题意，作出图形，确定定积分，即可求解所围成的图形的面积． 【详解】
解析：如图所示，S ＝
x 2dx ＝
1＝
(33－13)＝.
【点睛】
本题主要考查了定积分的应用，其中根据题设条件，作出图形，确定定积分求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合思想的应用，属于基础题． 16．23- 【解析】 【分析】
函数()3
2
2
3f x x mx nx m =+++在1x =时有极值2，由()()
1=01=2f f ⎧'⎪
⎨⎪⎩，代入解出再检验即可。

【详解】
由题意知()2
36f x x mx n '=++
又在1x =时有极值2，所以()()
2
136=01113=23f m n m f m n m n ⎧=++=-⎧⎪
⇒⎨⎨=+++=⎪⎩'⎩或427m n =⎧⎨=-⎩ 当13m n =-=，时()3
2
331f x x x x =-++,()2
2
3633(1)f x x x x '=-+=-与题意在1x =时有极值矛
盾，舍去 故4
27
m n =⎧⎨
=-⎩，23m n +=-
故填23- 【点睛】
本题考查根据函数的极值点求参数，属于中档题，需要注意的是求解的结果一定要检验其是否满足题意。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）
3π；（2
【解析】 【分析】
（1）可通过化简()sin2sin 0b A a A C -+=计算出cos A 的值，然后解出A 的值。

（ 2）可通过计算b c +和bc 的值来计算11
b c
+的值。

【详解】
（1）由()bsin 2sin 0A a A C -+=得bsin 2sin sin A a B b A ==， 又0A π<<，所以sin 0A ≠，得2cos 1A =，所以A 3
π
=。

（2）由
ABC
的面积为
2及A 3π=
得1bcsin 232
π=，即bc 6= ，
又3a =，从而由余弦定理得222cos 9b c bc A +-=
，所以b c +=，
所以
112
b c b c bc ++==。

【点睛】
本题考察的是对解三角函数的综合运用，需要对相关的公式有着足够的了解。

18
．22m -<+
【解析】
分析：先求圆心C 到直线l 的距离d ＝
2，再解不等式
22
<即得m 的范围. 详解：圆C 的普通方程为(x －m)2＋y 2＝1．
直线l 的极坐标方程化为ρ (
2cosθ＋2sinθ)＝2， 即
2x ＋2
y ＝2，化简得x ＋y －2＝2． 因为圆C 的圆心为C(m ，2)，半径为2，圆心C 到直线l 的距离d ＝
2
， 所以d ＝
2
＜2， 解得2－22＜m ＜2＋22．
点睛：(1)本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 判断直线与圆的位置关系常用的是几何法，比较圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系：
①d r <⇔直线与圆相交；②d r =⇔直线与圆相切；③.d r >⇔直线与圆相离 19．（1）增区间为()0,1,减区间为()1,+∞；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】
分析：（1）构造函数()y f x x =-，对函数求导，得到得到导函数的正负，进而得到单调区间和极值；（2）构造函数()()()()m x n x g x f x +=-,对函数()m x 和()n x 求导研究函数的单调性进而得到函数的最值，使得最小值大于2即可；（3）要证原式只需要证12ln ln 2x x +>，
()()121
2
f x f x a x x =
=故得到即证：
121212
ln ln 2
x x x x x x ->-+，变量集中设12x t x =即可,转化为关于t 的不等式.
详解： (1)函数
的定义域为
,
,
故当时,,当
时,,
故函数的单调增区间为,单调减区间为
;
(2)证明:函数
和
的公共定义域为
,。