数学高中三年级下册 向量与解析几何(教师版)

圆锥曲线与平面向量的综合

解析几何是研究方程与曲线的一门学科，是用代数的方法研究曲线的性质，而平面向量既具有代数形式又具有几何形式，因此平面向量与解析几何的结合是顺理成章的事情，在解决解析几何问题时，平面向量的出现不仅可以很明确地反映几何特征，而且又方便计算，把解析几何与平面向量综合在一起命制考题，可以有效地考查考生的数形结合思想，解析几何的基本思想以及数学联结能力等数学思想和数学能力。 (一) 解析几何与向量综合的题目，可能出现的向量内容：

1. 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,=

，等于已知直线的斜率k 或n m

； 2. 给出OB OA +与AB 相交,等于已知OB OA +过AB 的中点; 3. 给出0

=+PM ,等于已知P 是MN 的中点;

4. 给出()

+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; 5. 给出以下情形之一

①//,

②存在实数,,C A B A

λλ=使

③若存在实数B O A O C O

βαβαβα+==+使且,1,,,等于已知C B A ,,三点共线.

6. 给出λ

λ++=

1，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即λ=

7. 给出0=⋅,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m ,等于

已知AMB ∠是钝角, 给出0>=⋅m ,等于已知AMB ∠是锐角,

8.

给出=⎫⎛+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/

9. 在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-⋅+，等于已知ABCD 是菱形;

10. 在平行四边形ABCD

-=+，等于已知ABCD 是矩形; 11. 在ABC ∆中，给出2

2

2

==，等于已知O 是ABC ∆的外心； 12. 在ABC ∆中，给出=++，等于已知O 是ABC ∆的重心；

13. 在ABC ∆中，给出⋅=⋅=⋅，等于已知O 是ABC ∆的垂心； 14. 在ABC ∆中，给出+=

+

λ)(+∈R λ等于已知通过ABC ∆的内

心；

15. 在ABC ∆中，给出=⋅+⋅+⋅c b a 等于已知O 是ABC ∆的内心；

16. 在ABC ∆中，给出()

+=2

1

,等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线; 17. 给出AMB m MB MA ∠=⋅cot ,等于已知AMB ∆的面积

(二) 综合题举例

例1.(2004年·辽宁卷.19)设椭圆方程为14

2

2

=+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、

B ，O 是坐标原点，点P 满足)(21OB OA OP +=

，点N 的坐标为)2

1

,21(，当l 绕点M 旋转时，求：

（Ⅰ）动点P 的轨迹方程；

（Ⅱ）||的最小值与最大值.

解： （Ⅰ）解法一：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为.1+=kx y

记),(11y x A 、),,(22y x B 由题设可得点A 、B 的坐标),(11y x 、),(22y x 是方程组

⎪⎩

⎪

⎨⎧=++=1412

2y x kx y 的解.

将①代入②并化简得，032)4(2

2

=-++kx x k ，所以

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧+=++-=+.48,42221221k y y k

k x x 于是 ).44

,4()2,2()(212

22121k k k y y x x OB OA OP ++-=++=+= 设点P 的坐标为),,(y x 则

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧+=+-=.44,422k y k k x 消去参数k 得042

2=-+y y x ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方程为.042

2=-+y y x

解法二：设点P 的坐标为),(y x ，因),(11y x A 、),(22y x B 在椭圆上，所以

,142

12

1

=+y x ④

.14

222

2=+y x ⑤ ④—⑤得0)(412

2212221=-+-y y x x ，所以

.0))((4

1

))((21212121=+-++-y y y y x x x x

当21x x ≠时，有.0)(41

2

121

2121=--⋅+++x x y y y y x x ⑥ 并且⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨⎧--=-+=+=.

1,2,2212121

21x x y y x y y y y x x x ⑦ ① ②

将⑦代入⑥并整理得 .042

2=-+y y x ⑧

当21x x =时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为（0，0）

也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为.141)21

(1612

2

=-+y x （Ⅱ）由点P 的轨迹方程知.4

141,1612

≤≤-≤x x 即所以

12

7

)61(3441)21()21()21(||222222++-=-+-=-+-=x x x y x

故当41=x ，||取得最小值，最小值为6

1

;41-=x 当时，||取得最大值，

最大值为.621 【例2 (2005年·辽宁卷21)

已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭

圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足

.0||,022≠=⋅TF TF PT

（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x a

c

a P F +=||1； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；

（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M 使△F 1MF 2的面积S=.2

b 若存在，求∠F 1MF 2

的正切值；若不存在，请说明理由.

解 ： （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x

由P ),(y x 在椭圆上，得

.

)()()(||22

222

2

2

2

1x a

c

a x

a b b c x y c x P F +=-++=++=

由0,>+-≥+≥a c x a c a a x 知，所以 .||1x a

c a F += 证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r P F r P F ==

则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=

由.||,4,2112

22

121x a c a r F cx r r a r r +

===-=+得 证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x a

c

a

由椭圆第二定义得a c c

a x P F =+|

|||2

1，即.||||||2

1x a c a c a x a c F +=+=

由0,>+-≥+

-≥a c x a c a a x 知，所以.||1x a

c a P F += （Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.