【精准解析】河北省沧州市2020届高三9月教学质量检测数学理试题+Word版含解析

普通高中2019年9月高三教学质量监测
理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项＝是符合题目要求的
1.
21i
i
+=+（ ） A.
3122
i - B.
1322
i - C.
32
i - D. 112
i -
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复数的除法的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】由题意，复数
()()()()21231
11122
i i i i i i i +-+==-++-，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的除法运算的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2.已知集合{}
2
|230A x x x =+->，{|04}B x x =<„，则A∩B=（ ）
A. {|34}x x -<≤
B. {|14}x x <„
C. {|30 14}x x x -<<<或„
D. {|3 1 14}x x x -<<-<或„
【答案】B 【解析】 【分析】
首先求集合A ，再求A B I .
【详解】{
1A x x =>或3}x <-，{}
14A B x x ⋂=<≤， 故选B.
【点睛】本题考查集合的交集，属于简单题型.
3.已知抛物线2:3C y x =，则焦点到准线的距离是（ ）
A.
16
B.
32
C. 3
D.
13
【答案】A 【解析】 【分析】
化简抛物线的方程2
13x y =
，求得1
6
p =，所以焦点到准线的距离，得到答案. 【详解】由题意，抛物线2
3y x =，即21=2py 3x y =，解得16
p =，
所以焦点到准线的距离是1
6
p =，故选A.
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及几何性质的应用，其中熟记抛物线的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4.设a ＝log 35，b ＝log 45，c ＝21
2-，则（ ） A. b ＞c ＞a B. b ＞a ＞c
C. a ＞b ＞c
D. a ＞c ＞b
【答案】C 【解析】 【分析】
根据对数函数的单调性以及不等式的性质可以比较,a b ，又结合指数函数的单调性可得
12
2
1c -
=<，从而可得出答案．
【详解】解：∵5511
0log 3log 41a b
<
=<=<，∴a b >>1， 又1
221c -=<，∴a b c >>， 故选：C ．
【点睛】本题主要考查比较指数式、对数式的大小，通常先与中间值1
0,,12
等进行比较，属于基础题．
5.某学校组织高一和高二两个年级的同学，开展“学雷锋敬老爱老”志愿服务活动，利用暑期到敬老院进行打扫卫生、表演文艺节目、倾听老人的嘱咐和教诲等一系列活动.现有来自高一年级的4名同学，其中男生2名、女生2名；高二年级的5名同学，其中男生3名、女生2名.现从这9名同学中随机选择4名打扫卫生，则选出的4名同学中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级的概率是（ ）
A
1126
B.
521
C.
635
D.
421
【答案】D 【解析】 【分析】
对这两名男生来自高一或高二两种情况讨论，当男生来自高一时，同时任选2名女生，有2
2
24C C 种方法，当男生来自高二时，有2
2
34C C 种方法，并求概率.
【详解】当两名男生来自高一年级，22
24149121C C P C ==，当两名男生来自高二，22342
491
7
C C P C == 12114
21721
P P P =+=
+=, 故选D.
【点睛】本题考查了古典概型的概率，难度不大，关键是能正确分类. 6.函数||
1()e sin 28
x f x x =
的部分图象大致是（ ） A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】 【分析】
判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项. 【详解】()()f x f x -=-，∴函数是奇函数，排除D ，
0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x >，,2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，排除B ，
当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()sin 20,1x ∈，2111,888x e e π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
()0,1⊂
0,2x π⎛⎫
∴∈ ⎪⎝⎭
时，()()0,1f x ∈，排除A ，
C 符合条件，故选C.
【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.
7.《九章算术》是我国最重要的数学典书，曾被列为对数学发展影响最大的七部世界名著之一.其中的“竹九节“问题，题意是：有一根竹子，共九节，各节的容积依次成等差数列，已知较粗的下3节共容4升，较瘦的上4节共容3升.根据上述条件，请问各节容积的总和是（ ） A.
201
22
B.
211
22
C.
601
66
D.
611
66
【答案】A 【解析】 【分析】
首先用1a 和d 表示已知条件，建立方程，最后代入前n 项和的计算方法. 【详解】设首项1a ，公差d
123678943
a a a a a a a ++=⎧⎨
+++=⎩ 即113344263a d a d +=⎧⎨+=⎩ ，19566a = ，7
66d =- ， 91987201
926622
S a ⨯⎛⎫=+
⨯-= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了等差数列基本量的计算，考查逻辑推理和计算能力，属于基础题型. 8.已知（13a x
+
）（1+x ）6的展开式中各项系数的和为128，则该展开式中x 2的系数为（ ）
A. 15
B. 21
C. 30
D. 35
【答案】B 【解析】 【分析】
把所给的式子按照二项式定理展开，可得展开式中2x 的系数． 【详解】解：由题意得()6
7
121282a +⋅==，∴1a =，
∴()6311a x x ⎛⎫+
+= ⎪⎝⎭()
012266
6666311...C C x C x C x x ⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭
， 故展开式中2x 的系数为25
6615621C C +=+=，
故选：B ．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
9.在以BC 为斜边的直角△ABC 中，2AB =，2BE EC =u u u v u u u v ，则AB AE ⋅=u u u v u u u v
（ ） A. 3 B.
7
3
C. 83
D. 2
【答案】C 【解析】 【分析】
根据向量加法和减法转化1233AE AC AB =+u u u r u u u r u u u r ，然后根据数量积的运算公式计算.
【详解】()
23AB AE AB AC CE AB AC BC ⎛⎫
⋅=⋅+=⋅- ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()
221228
3333
3AB AC AC AB AB AC AB AB ⎛⎫⎛⎫=⋅--=⋅+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
故选C.
【点睛】本题考查了向量加减法，以及数量积的运算，意在考查向量转化和计算的问题，属于基础题型.
10.在长方体1111ABCD A B C D -中，12,3AB AD AA ===，点E 为棱1BB 上的点，且
12BE EB =，则异面直线DE 与11A B 所成角的正弦值为（ ）
A.
5 B.
6 C.
6 D.
7 【答案】B 【解析】 【分析】
在1AA 上取点F ，使得12AF FA =，连接,EF FD ，可得11//EF A B ，得到异面直线DE 与
11A B 所成角就是相交直线EF 与DE 所成的角，在DEF ∆中，利用余弦定理和三角函数的基
本关系式，即可求解.
【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，12,3AB AD AA ===，点E 为棱1BB 上的点，且
12BE EB =，如图所示，在1AA 上取点F ，使得12AF FA =，连接,EF FD ，可得11//EF A B ，
所以异面直线DE 与11A B 所成角就是相交直线EF 与DE 所成的角， 设DEF θ∠=，
又由在直角ADF ∆中，2,2AD AF ==，所以2222DF AD AF =+=，
直角BDE ∆中，22,2BD BE ==，所以2223DE BD BE =+=，
在DEF ∆中，22,2,23DF EF DE ===，
由余弦定理可得2223
cos 232232
DE EF DF DE EF θ+-===
⋅⨯⨯, 所以所以异面直线DE 与11A B 所成角的正弦值sin 6
3
θ=
，故选B.
【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中根据几何体的结构特征，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了空间向量能力，以及推理与计算能力，属于基础题.
11.将函数()cos 2sin 2g x x x =-图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得各点向右平移
6
π
个单位长度，最后把所得各点纵坐标扩大到原来的2倍，就得到函数f （x ）的图象，则下列说法中正确的个数是（ ） ①函数f （x ）的最小正周期为2π； ②函数f （x ）的最大值为2；
③函数f （x ）图象的对称轴方程为5()12
x k k Z π
π=+
∈； ④设x 1，x 2为方程2f x =（
）的两个不相等的根，则12x x -的最小值为4
π
. A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
【答案】A 【解析】 【分析】
根据函数的图象变换，得到函数()12f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，然后根据函数性质依次判断，得到正确结论.
【详解】()cos 2sin 224g x x x x π⎛
⎫=-=
+ ⎪⎝
⎭，图象上的所有点的横坐标伸长到原来的
2倍后得到的函数是4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所得各点向右平移6π
个单位长度后得到的函数是
6412y x x πππ⎛⎫⎛
⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，最后把所得各点纵坐标扩大到原来的2倍后得
到的函数是12y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，函数的最小正周期是2π，所以①正确；函数的最大值是
，所以②不正确；令12
x k π
π+
=,12
x k k Z π
π⇒=-
+∈,所以③不正确；
212x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得cos 122
x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得2124x k πππ+=±+，解得2,12
4
x k k Z π
π
π=-
±
+∈，即26
x k π
π=
+ 或23
x k π
π=-
+ ，k Z ∈，则12x x -的最小
值是
632
π
ππ
⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以④不正确. 故选A.
【点睛】本题考查函数的图象变换，以及()sin y A ωx φ=+的性质，属于中档题型，
()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的
1
ω
倍，得到函数的解析式是
()sin y A ωx φ=+，若sin y A x ω=向右（或左）平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到函数的解析
式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦.
12.已知F 1，F 2分别为双曲线C ：22126
x y -=的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线C 的右支交
于A ，B 两点（其中点A 在第一象限）．设点H ，G 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则|HG|的取值范围是（ ）
A. 4)
B. ⎡⎢⎣⎭
C. ⎝
D.
3⎡⎢⎣
⎭ 【答案】D 【解析】 【分析】
利用平面几何和内心的性质，可知,H G 的横坐标都是a ，得到HG x ⊥轴，设直线AB 的倾斜角为θ，2Rt HMF ∆和2Rt GMF ∆分别表示HM 和GM ，根据(
60,90θ⎤∈⎦o o
，将HG 表示为θ的三角函数求最值.
【详解】12AF F ∆内切圆与各边相切于点,,P Q M ，
有,H M 的横坐标相等，AP AQ =，11
F P FM =，22F Q F M = 121222AF AF a MF MF a -=⇒-=，
M ∴在双曲线上，即M 是双曲线的顶点，
HG ∴与双曲线相切于顶点（如图）
,H G ∴的横坐标都是a ，
设直线AB 的倾斜角为θ ，那么22
OF G θ
∠=
,22
2
HF O π
θ
∠=
-
2HF G ∆中，()()sin cos 22tan tan 222cos sin 22HG c a c a θθθπθθθ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫=-+-=-⋅+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ⎪⎝⎭
()
()2
2
sin cos 22
2sin sin cos 22
c a c a θ
θ
θθθ+=-=-⋅
双曲线22
:126
x y C -= ，2,6,22a b c === ，
可得22
HG =
，6090θ<≤o o 3
sin 12
θ∴
<≤， HG 的范围是4622,⎡⎫
⎪⎢⎪⎣⎭
故选D.
【点睛】本题考查了双曲线方程，几何性质，以及三角形内心的性质，并且考查了三角函数的化简和求最值，意在考查数形结合，转化与化归，和逻辑推理，计算能力，属于难题，本题的关键1.根据几何性质确定,H G 的横坐标都是a ，2.设倾斜角为θ，将HG 表示为θ的三角函数.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.曲线32()21f x x x =-++在点(1,(1))f 处的切线方程为________. 【答案】1y x =+ 【解析】 【分析】
首先求()1f 和()1f '，代入()()()111y f f x '-=-. 【详解】()2
34f x x x '=-+，()11f '=，()12f =
21y x ∴-=-， ∴切线方程为1y x =+.
故填：1y x =+
【点睛】本题考查导数的几何意义求切线方程，属于简单题型.
14.在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标X~N （100，100），且110120X <<的产品数量为5436件，请估计该批次检测的产品数量是________件. 参考数据，若()2
~,X N
μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，
(22)0.9545P X μσμσ-<<+=，(33)0.9973P X μσμσ-<<+=.
【答案】40000 【解析】 【分析】
首先根据条件判断100,10μσ==，可知()()1101202P X P x μσμσ<<=+<<+，根据条件求得概率，最后再计算样本总量. 【详解】()100,100X N : 可知100,10μσ==
()()
1101202P X P x μσμσ<<=+<<+()()
222P x P X μσμσμσμσ-<<+--<<+=
0.95450.6827
0.13592
-=
=,
又
5436
400000.1359
=（件）.
故填：40000.
【点睛】本题考查了正态分布应用的实际问题，计算正态分布下的概率时，需充分应用曲线关于x μ=对称，对称轴两侧的概率均为0.5.
15.已知等比数列{a n }，a n ＞0，n ∈N *，且2a 1+3a 2＝33，2
3269a a a =，则a 2020＝_____
【答案】32020 【解析】 【分析】
利用等比数列的通项公式即可得出．
【详解】解：由题意设数列{}n a 的公比为()0q q >， 由题意有112222
3
4323339a a q a a a q +=⎧⎨
==⎩，解得13
3a q =⎧⎨=⎩， ∴2019
2020202033
3a =⋅=， 故答案为：20203．
【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的基本量的计算，属于基础题．
16.在四面体ABCD 中，60ACB ∠=︒，90DCA ∠=︒，2DC CB CA ===，二面角D-AC-B 的大小为120°，则此四面体的外接球的表面积是________.
【答案】(1009
π
+
【解析】 【分析】
取,AC AD 的中点,M N ，和ABC ∆的中心E ，点N 是ACD ∆外接圆的圆心，点E 是ABC ∆外接圆的圆心，过点,E N 分别作平面ABC 和平面ACD 的垂线，交于点O ， 在四边形OEMN 中找几何关系，构造方程求解外接圆的半径和表面积. 【详解】由条件可知ABC ∆是等边三角形， 取,AC AD 的中点,M N ，和ABC ∆的中心E ，
过点,E N 分别作平面ABC 和平面ACD 的垂线，交于点O ，
120EMN ∠=o ，60EON =o ∠，
如图：
由条件可知，3
EM =
，60EMG ∠=o 30OEH ∠=o 3312HN EG ∴==
=，31EH GN GM MN ==+= 33123
tan 301636OH EH ⎛⎫+∴=⋅=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭o
， 32
3
ON OH HN ∴=+=
， 2
2
2222322543
2
R OD ON ND ++==+=+
=
⎝⎭， 210016349
S R π+==
【点睛】本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为,,a b c ，那么外接球的直径
2222R a b c =++（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立R 的方程.（3）而本题类型，需要过两个平面外
接圆的圆心作面的垂线，垂线的交点就是球心.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60分
17.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知(1611)cos 11cos b c A a C -=. （1）求cosA 的值；
（2）若4b c +=，求a 的最小值.
【答案】(1)11cos 16A =；(2)2
【解析】 【分析】
（1）首先根据正弦定理边角互化公式，转化为(16sin 11sin )cos 11sin cos B C A A C -=，再根据两角和的正弦公式化简，最后求cos A 的值；（2）根据基本不等式求得4bc ≤，再代入余弦定理并化简为2
27
168
a bc =-
，最后求得a 的最小值. 【详解】（1）由已知(1611)cos 11cos b c A a C -=及正弦定理， 得(16sin 11sin )cos 11sin cos B C A A C -=，
即16cos sin 11(sin cos cos sin )11sin A B A C A C B =+=，且sin 0B ≠， 所以11
cos 16
A =
. （2）由4b c +=，可得22216b c bc ++=，
则1622bc bc -…
，解得4bc „，当且仅当2b c ==时，等号成立 由余弦定理可得2
2
2
21127275
2()1616882
a b c bc b c bc bc =+-⨯
=+-=-…，
所以a 的最小值为
2
. 【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，意在考查三角函数恒等变形，以及正余弦定理的变形和应用，尤其记住公式2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，代入后转化为三角函数的问题，和余弦定理中常用变形：()2
222b c b c bc +=++.
18.某市一所高中为备战即将举行的全市羽毛球比赛，学校决定组织甲、乙两队进行羽毛球对抗赛实战训练．每队四名运动员，并统计了以往多次比赛成绩，按由高到低进行排序分别为第一名、第二名、第三名、第四名.比赛规则为甲、乙两队同名次的运动员进行对抗，每场对抗赛都互不影响，当甲、乙两队的四名队员都进行一次对抗赛后称为一个轮次．按以往多次
比赛统计的结果，甲、乙两队同名次进行对抗时，甲队队员获胜的概率分别为1
2
，
2
3
，
1
3
，
1
2
.
（1）进行一个轮次对抗赛后一共有多少种对抗结果？
（2）计分规则为每次对抗赛获胜一方所在的队得1分，失败一方所在的队得0分，设进行一
个轮次对抗赛后甲队所得分数为X，求X的分布列及数学期望.
【答案】（1）16种；（2）见解析，()2
E x=
【解析】
【分析】
（1）每个同名次的对抗有2种结果，共有4个名次的对抗，所以有42种结果；（2）由条件可
知0,1,2,3,4
X=共5种情况，分别计算概率得到分布列和数学期望.
【详解】（1）由于甲、乙两队的四名队员每进行一次对抗赛都会有2种情况产生，所以一共
有4216
=（种）
（2）X的可能取值分别为4，3，2，1，0，则
121121
(4)
23323618
P X==⨯⨯⨯==
12111111122121191
(3)
233223322332332364
P X==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯==；
1111112112211221121111 (2)
2332233223322332233223 P X==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯11147
323618
⨯==；
11211111111212191
(1)
233223322223332364
P X==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯==；
112121
(0)
23323618
P X==⨯⨯⨯==
X的分布列为
29149272()432102363636363636
E x =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯==. 【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，意在考查分析数据，解决问题的能力，本题的难点是求分布列中的概率时，需分类准确，不要漏掉某一类.
19.如图1，在等腰梯形ABCD 中，//AD CB ，24AD CB ==，120ABC ︒∠=，E 为AD 的中点.现分别沿BE ，EC 将△ABE 和△ECD 折起，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面ECD ⊥平面BCE ，连接AD ，如图2.
（1）若在平面BCE 内存在点G ，使得GD ∥平面ABE ，请问点G 的轨迹是什么图形？并说明理由.
（2）求平面AED 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)点G 的轨迹是直线MN ，见解析；5
【解析】 【分析】
（1）分别取BC 和CE
中点N 和M ，连接DM ，MN ，ND ，根据线线平行可证明平面
//NMD 平面BEA ,则可判断点G 的轨迹；
（2）以点M 为坐标原点，MB 所在直线为x 轴，MC 所在直线为y 轴，MD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求两个平面的法向
量,m n r r ，代入公式
cos ,m n <>r r
求解. 【详解】（1）点G 的轨迹是直线MN.
理由：如图，分别取BC 和CE 的中点N 和M ，连接DM ，MN ，ND ，则MN//BE. 又MN ⊄平面BEA ，BE ⊂平面BEA ，所以MN//平面BEA.
依题意有△ABE，△BCE，△ECD 均为边长为2的正三角形，所以MD⊥CE.
又平面ECD⊥平面BCE ，则MD⊥平面BCE.又平面ABE⊥平面BCE ，所以MD//平面BEA.
所以平面NMD//平面BEA ，则点G 的轨迹是直线MN.
（2）如图，以点M 为坐标原点，MB 所在直线为x 轴，MC 所在直线为y 轴，MD 所在直线为z
轴，建立空间直角坐标系，则E （0，-1，0），D （0，0，3)），A 31,,32⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝，所以
31,,32EA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝u u u r ，(0,1,3)ED =u u u r
.
设平面AED 的法向量为(,,)n x y z =r ，则3031
30.2n ED y z n EA x y z ⎧⋅=+=⎪
⎨⋅=++=⎪⎩
u u u v r u u u v r ，
取3z =-，得(3,3,3)n =-r
. 取平面BCE 的一个法向量为001m =r
（，，）
， 则5cos ,||||5
n m n m n m ⋅〈〉==-r r
r r r r ， 所以平面AED 与平面BCE 所成锐二面角的
余弦值为5
.
【点睛】本题考查了面面平行的判断定理，以及二面角的求法，意在考查转化与化归和计算
求解能力，不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.
20.已如椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点与其中一个顶点构成一个斜边长为4的等
腰直角三角形.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设动直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 的斜率分别为k ，k ＇.若2
2b kk a
'
=-，
求证△OPQ 的面积为定值，并求此定值.
【答案】（1）22
184
x y +=；
（2）△OPQ
的面积为定值，且此定值为 【解析】 【分析】
（1）根据等腰直角三角形可知，24,c b c ==，根据222a b c =+求解椭圆方程；（2）当l 与x
轴垂直时，设()()00,,,P t y Q t y -，代入2
2b kk a
'
=-和椭圆方程，得到面积，当l 与x 轴不垂
直时，设直线l 的方程为y mx n =+，联立方程，得到根与系数的关系，并表示面积，得到面积是定值.
【详解】（1）设椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2.依题查，有1224F F c b c ⎧==⎨=⎩
，
，得2b c ==，
则28a =，
所以椭圆C 的标准方程为22
184
x y +=.
（2）证明：①当直线1与x 轴垂直时，设直线l
的方程为(x t =∈-，
()()00,0P t y y >，()0,Q t y -.
由2
262212y b kk t a '
-==-=-，且22
184
t y +=
，解得P
，(2,Q
或(P -
，
(2,Q -
，所以1
22
OPQ S =
⨯⨯=V ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y mx n =+，()11,P x y ，()22,Q x y .
联立直线l 和椭圆C 的方程，得2218
4y mx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，整理得()222
124280m x mnx n +++-=.
(
)
22
848m n ∆=+-，122412mn x x m +=-+，2122
28
12n x x m -=+.
由2212b kk a '
=-=-，则1212
12y y x x =-，即()()121212mx n mx n x x ++=-，
所以()(
)2
21212
21220mn x x m
x x
n ++++=，
即()
22222
428212201212mn n mn m n m m -⎛⎫⋅-++⋅+= ⎪++⎝⎭
，整理得2242n m =+，则280n ∆=>. 又
||PQ =
=，
点O 到直线PQ
的
距离为d =
，所以1
||2
OPQ S PQ d =
⋅=V 综上，△OPQ 的面积为定值，且此定值为【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积定值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具. 21.已知函数()2
1
(1)2
x
f x e x ax =-++.
(1)当1a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数；
(2)当0a =时，[0,)x ∀∈+∞，证明：()()2
211x f x x ⎡⎤++≥+⎣⎦恒成立. 【答案】（1）有且只有一个零点；（2）详见解析. 【解析】 【分析】
（1）求函数的导数()x
f x e x a '=--，令()()
g x f x '=，则()1x
g x e '=-.
根据()g x '的正负，判断()g x 的单调性，求得()()min 01g x g a ==-，根据1a ≤判断()f x 的单调性和求零点个数；（2）不等式转化为证明2
1(1)02
x
e x x -++≥，[)0,x ∈+∞，这个式
子就是（1）证得的当1a =时函数()f x 在R 上单调递增，且()00f =，即可证得不等式. 【详解】(1)解：()x
f x e x a '=--，令()()
g x f x '=，则()1x
g x e '=-.
所以函数()g x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增. 所以()()01g x g a ≥=-.
当1a ≤时，()0g x ≥，即函数()f x 在R 上单调递增，且()00f =. 所以此时()f x 有且只有一个零点. (2)证明：要证()()2
211x f x x ⎡⎤++≥+⎣⎦ 即证2
1
(1)02
x
e x x -++≥，[)0,x ∈+∞.
由(1)知，当1a =时，函数()f x 在在R 上单调递增，且()00f =， 所以[0,)x ∀∈+∞，2
1
(1)02
x
e x x -++≥恒成立， 即不等式()()2
211x f x x ⎡⎤++≥+⎣⎦恒成立.
【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性和零点个数问题，意在考查转化与推理变形能力，属于中档题型，判断函数单调性的时候，先求函数的导数，如果此时确定不了导数的正负，需要拿出影响正负的那部分另设函数，并求其导数，再推理函数的单调性.
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为cos ,
1sin x y αα
⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）.以坐标
原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为0θθ=. （1）求曲线C 的极坐标方程，
（2）设直线l 与曲线C 相交于不同的两点12,P P ，求1211
OP OP +的取值范围. 【答案】
(1) 2
cos 2sin 30ρθρθ--+=
. (2) 433⎛⎤
⎥ ⎝⎦
【解析】 【分析】
（1）利用三角函数的基本关系式消去参数，即可求得曲线C 的普通方程，代入极坐标与直角坐标的互化公式，代入即可求解曲线C 的极坐标方程.
（2）将0θθ=代人曲线C 的极坐标方程，根据极径的几何意义，即可求解. 【详解】（1）将曲线C
的参数方程,1x cos y sin αα
⎧=⎪
⎨
=+⎪⎩消去参数α，
得(()2
2
11x y -+-=.
将cos x ρθ=及sin y ρθ=
代入上式，得2cos 2sin 30ρθρθ--+=.
（2）依题意有00,3
πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
.
将0θθ=代人曲线C
的极坐标方程，得200cos 2sin 30ρθρθ--+=. 设()()110220,,,P P ρθρθ
，则1200122sin ,3ρρθθρρ+=+=.
所以120121212
11114sin 33OP OP ρρπθρρρρ+⎛⎫
+=+===+ ⎪⎝⎭. 因为00,3πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，所以02,
333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
，则044sin 333πθ⎤⎛
⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝
⎦， 所以1211
OP OP +
的取值范围为433⎛⎤ ⎥ ⎝⎦
. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 23.函数()2132f x x x =-++的最小值为t . （1）求t 的值，
（2）若0,0a b >>，且t a b ab +=，求22a b +的最小值． 【答案】(1) 7
3
t =. (2) 7249
【解析】 【分析】
（1）由题意，去掉绝对值，得到分段函数，即可求得函数的最小值，得到答案. （2）由（1）知，73a b ab +=，则117
3
a b +=，利用基本不等式，即可求得22a b +的最小值，得到答案.
- 21 - 【详解】（1）由题意，函数()251,,32121323,,32151,,2x x f x x x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-++=+-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩
当23x ≤-时，函数的最小值为73；当2132
x -<<时，函数的最小值()min 73f x >； 当12
x ≥时，函数的最小值为72， 所以函数的最小值为73，即73
t =. （2）由（1）知，73a b ab +=，则1173a b +=， 则()
2222222229119224949b a b a a b a b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
972224949⎛≥+⋅= ⎝， 当且仅当2222b a a b
=且b a a b =时，即67a b ==时取等号， 所以22a b +的最小值为7249
. 【点睛】本题主要考查了含绝对值函数的应用，以及利用基本不等式求最值问题，其中解答中合理去掉绝对值得到分段函数，以及准确利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.。