2019_2020学年高中数学课时分层作业7反证法和放缩法(含解析)新人教B版选修4_5

课时分层作业(七) 反证法和放缩法

(建议用时：45分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( )

①结论相反的判断，即假设；

②原命题的条件；

③公理、定理、定义等；

④原结论．

A．①②B．①②④

C．①②③ D．②③

[解析]由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．

[答案] C

2．用反证法证明命题“如果a＞b，那么3

a＞

3

b”时，假设的内容是( )

A.3

a＝

3

b B.

3

a＜

3

b

C.3

a＝

3

b且

3

a＞

3

b D.

3

a＝

3

b或

3

a＜

3

b

[解析]应假设3

a≤

3

b，

即3

a＝

3

b或

3

a＜

3

b.

[答案] D

3．已知p＝a＋

1

a－2

，q＝－a2＋4a(a＞2)，则( )

A．p＞q B．p＜q C．p≥q D．p≤q

[解析]∵p＝(a－2)＋1

a－2

＋2，又a－2＞0，∴p≥2＋2＝4，而q＝－(a－2)2＋4，

由a＞2，可得q＜4，∴p＞q.

[答案] A

4．设M＝1

210＋

1

210＋1

＋

1

210＋2

＋…＋

1

211－1

，则( )

A．M＝1 B．M＜1

C ．M ＞1

D ．M 与1大小关系不定 [解析] ∵210＋1＞210,210＋2＞210，…，211－1＞210，

∴M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1

＜1210＋1210＋…＋1

210＝1. 210个

[答案] B

5．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x

，则a ，b ，c 三个数( ) A ．至少有一个不大于2

B ．都小于2

C ．至少有一个不小于2

D ．都大于2

[解析] ∵a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z

≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时等号成立，

∴a ，b ，c 三者中至少有一个不小于2.

[答案] C

二、填空题

6．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：

①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．

②所以一个三角形不能有两个直角．

③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°.

上述步骤的正确顺序为________．

[解析] 由反证法的步骤可知，正确顺序为③①②.

[答案] ③①②

7．给出下列两种说法：

①已知p 3＋q 3

＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；

②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |＜1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.

以上两种说法正确的是________．

[解析] 反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q ＞2，所以①错误；对于②，其假设正确．

[答案] ②

8．已知a 为正数，则12a ，12a ＋1，1a ＋a ＋1

从大到小的顺序为________． [解析] ∵a ＋a ＋1＞a ＋a ＝2a ，

a ＋a ＋1＜a ＋1＋a ＋1＝2a ＋1，

∴2a ＜a ＋a ＋1＜2a ＋1，

∴1

2a ＞1a ＋a ＋1＞12a ＋1

. [答案]

1

2a ＞1a ＋a ＋1＞12a ＋1 三、解答题

9．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)

<1. [证明] 由2n ≥n ＋k >n (k ＝1,2，…，n )，

得12n ≤1n ＋k <1n

. 当k ＝1时，12n ≤1n ＋1<1n

； 当k ＝2时，12n ≤1n ＋2<1n

； …

当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n <1n

. ∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <n n

＝1， 即原不等式成立．

10．已知0＜a ＜3,0＜b ＜3,0＜c ＜3.

求证：a (3－b )，b (3－c )，c (3－a )不可能都大于92

. [证明] 假设a (3－b )＞92，b (3－c )＞92，c (3－a )＞92

. ∵a ，b ，c 均为小于3的正数，

∴a (3－b )＞92，b (3－c )＞92，c (3－a )＞92

， 从而有a (3－b )＋b (3－c )＋c (3－a )＞92

2.① 但是a (3－b )＋b (3－c )＋c (3－a )