2019届江苏高考数学二轮复习第四篇二分类与整合思想、转化与化归思想试题理

分类与整合思想、转化与化归思想
一、概念、定理分类整合
概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{a n }的前n 项和公式等，然后分别对每类问题进行解决.解决此问题可以分解为三个步骤：分类转化、依次求解、汇总结论.汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合.
1.若一条直线过点(5,2)，且在x 轴，y 轴上截距相等，则这条直线的方程为____________. 答案 x ＋y －7＝0或2x －5y ＝0
解析 设该直线在x 轴，y 轴上的截距均为a ，当a ＝0时，直线过原点，此时直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当a ≠0时，设直线方程为x a ＋y
a ＝1，将点(5,2)代入，求得a ＝7，则直线方程为x ＋y －7＝0.
2.已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为________. 答案 32
解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2. 因为S n ＝2a n －2，
当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，
两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1， 则数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列， 则S 5－S 4＝a 5＝25
＝32.
3.已知集合A ＝⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
－1，12，B ＝{x |mx －1＝0，m ∈R }，若A ∩B ＝B ，则所有符合条件的实数m
组成的集合是________. 答案 {0，－1,2}
解析 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .若B 为∅，则m ＝0；
若B ≠∅，则－m －1＝0或1
2
m －1＝0，解得m ＝－1或2.综上，m ∈{0，－1,2}.
4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
sin (πx 2
)，－1<x <0，
e x －1
，x ≥0.
若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能取值的集合是
________.
答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫－22，1
解析 f (1)＝e 0
＝1，即f (1)＝1. 由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1. 当a ≥0时，f (a )＝1＝e
a －1
，所以a ＝1.
当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2
)＝1， 所以πa 2
＝2k π＋π2
(k ∈Z )，
所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2
＝12.
因为－1<a <0，所以a ＝－2
2
. 则实数a 的取值集合为⎩⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪⎫－
22，1. 二、图形位置、形状分类整合
图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于几何图形中点、线、面的位置关系的研究以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系. 5.已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________. 答案 43或83
3
解析 当矩形长、宽分别为6和4时，体积V ＝2×3×1
2×4＝43；
当长、宽分别为4和6时，体积V ＝43×233×12×6＝83
3
.
6.已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥2x ，
kx －y ＋1≥0
表示的是一个直角三角形围成的平面区
域，则实数k ＝________. 答案 0或－1
2
解析 不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧ x ≥0，y ≥2x ，
kx －y ＋1≥0表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由图可知，若
要使不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥2x ，
kx －y ＋1≥0
表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y ＝kx ＋1与直
线x ＝0或y ＝2x 垂直时才满足.
结合图形可知斜率k 的值为0或－1
2
.
7.设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足PF 1∶F 1F 2∶PF 2＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率为________. 答案 12或32
解析 不妨设PF 1＝4t ，F 1F 2＝3t ，PF 2＝2t ，其中t >0. 若该曲线为椭圆，则有PF 1＋PF 2＝6t ＝2a ，
F 1F 2＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝1
2
；
若该曲线为双曲线，则有PF 1－PF 2＝2t ＝2a ，
F 1F 2＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝3
2
.
8.抛物线y 2
＝4px (p >0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三角形，则这样的点P 的个数为________. 答案 4
解析 当PO ＝PF 时，点P 在线段OF 的中垂线上，此时，点P 的位置有两个；当OP ＝OF 时，点P 的位置也有两个；对FO ＝FP 的情形，点P 不存在.事实上，F (p ，0)，若设P (x ，y )，则
FO ＝p ，FP ＝(x －p )2＋y 2，
若(x －p )2
＋y 2
＝p ，则有x 2
－2px ＋y 2
＝0，
又∵y 2
＝4px ，∴x 2
＋2px ＝0，解得x ＝0或x ＝－2p ，
当x ＝0时，不构成三角形.当x ＝－2p (p >0)时，与点P 在抛物线上矛盾.∴符合要求的点P 有4个.
三、含参问题分类整合
某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.解决这类问题要根据解决问题需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全.
9.若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2
＋y 2
m
＝1的离心率是________.
答案
3
2
或 5
解析 因为m 是2和8的等比中项，所以m 2
＝2×8＝16，所以m ＝±4，
当m ＝4时，圆锥曲线y 2
4＋x 2
＝1是椭圆，其离心率e ＝c a ＝32
；
当m ＝－4时，圆锥曲线x 2
－y 2
4＝1是双曲线，其离心率e ＝c a ＝5
1
＝ 5.
综上知，e ＝
3
2
或e ＝ 5. 10.若函数f (x )＝ax 2
＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，则实数a 的取值范围为________. 答案 [－1，＋∞)
解析 当a ＝0时，f (x )＝4x －3在[0,2]上为增函数，最大值为f (2)，满足题意. 当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2
＋4x －3＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋2a 2－3－4a ，其对称轴为x ＝－2a
.
当a >0时，f (x )＝ax 2
＋4x －3在[0,2]上为增函数，最大值为f (2)，满足题意.
当a <0时，只有当－2a
≥2，即－1≤a <0时，f (x )＝ax 2
＋4x －3在[0,2]上为增函数，最大值
为f (2)，满足题意.
综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2
＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2).
11.设函数f (x )＝x 2
－ax ＋a ＋3，g (x )＝ax －2a ，若存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0和g (x 0)<0同时成立，则实数a 的取值范围为________. 答案 (7，＋∞)
解析 由f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3知，f (0)＝a ＋3，f (1)＝4.又存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0，所以Δ＝a 2
－4(a ＋3)>0，解得a <－2或a >6.又g (x )＝ax －2a 的图象恒过点(2,0)，故当a >6时，作出函数f (x )和g (x )的图象如图1所示，当a <－2时，作出函数f (x )和g (x )的图象如图2所示.
由函数的图象知，当a >6时，若g (x 0)<0，则x 0<2， ∴要使f (x 0)<0，则需⎩⎪⎨⎪⎧
a >6，
f (2)<0，
解得a >7.
当a <－2时，若g (x 0)<0，则x 0>2，此时函数f (x )＝x 2
－ax ＋a ＋3的图象的对称轴x ＝a
2
<－1，
故函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
2，＋∞上为增函数， 又f (1)＝4，∴f (x 0)<0不成立. 综上，实数a 的取值范围为(7，＋∞).
12.已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足a 2
n ＝S 2n －1(n ∈N *
)，若
不等式λ
a n ＋1≤n ＋8·(－1)n n
对任意的n ∈N *
恒成立，则实数λ的最大值为________.
答案 －21
解析 因为S 2n －1＝(a 1＋a 2n －1)(2n －1)2＝(2n －1)a n ，所以a 2
n ＝(2n －1)a n ，又a n ≠0，所以a n ＝
2n －1， 则a n ＋1＝2n ＋1，
故不等式可化为λ≤(2n ＋1)[n ＋8(－1)n
]n
对任意n ∈N *
恒成立，
当n ＝2k ，k ＝1,2,3，…时，
λ≤(4k ＋1)(2k ＋8)2k ＝4k ＋4k ＋17对任意k ∈N *恒成立，又4k ＋4k ＋17≥25(当且仅当k ＝1时，
等号成立)，所以λ≤25， 当n ＝2k －1，k ＝1,2,3，…时， λ≤(4k －1)(2k －9)2k －1对任意k ∈N *
恒成立，
又
(4k －1)(2k －9)2k －1＝2(2k －1)－8
2k －1
－15≥－21，
当且仅当k ＝1时，等号成立，所以λ≤－21. 综上λ≤－21.
一、特殊与一般的转化
一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案或者思路. 1.已知函数f (x )＝ax 2
＋2ax ＋4(0<a <3)，若m <n ，且m ＋n ＝a －1，则f (m )________f (n ).(填“>”“＝”“<”) 答案 <
解析 由题设可令a ＝2，m ＝0，n ＝1，得f (x )＝2x 2
＋4x ＋4，则f (0)＝4，f (1)＝10，所以
f (m )<f (n ).
2.过抛物线y ＝ax 2
(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点.若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1
q
＝________.
答案 4a
解析 抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2
＝1a y (a >0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a .
过焦点F 作直线垂直于y 轴， 则PF ＝QF ＝12a ，∴1p ＋1
q
＝4a .
3.△ABC 的外接圆圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →
)，则实数m ＝________. 答案 1
解析 既然三角形为任意的，设△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°. 所以O 为AB 中点，H 与C 重合，所以OH →＝OC →
.
因为OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)，所以OC →＝m (OA →＋OB →＋OC →)，即OC →＝mOC →
，解得m ＝1.
4.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则
cos A ＋cos C
1＋cos A cos C ＝________. 答案 45
解析 令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝1
2，代入所求式子，得
cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝12＋121＋12×12＝45
.
二、命题的等价转化
将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决.一般包括数与形的转化，正与反的转化，常量与变量的转化，图形形体及位置的转化. 5.由命题“存在x ∈R ，使e |x －1|
－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a
的值是________. 答案 1
解析 命题“∃x ∈R ，使e
|x －1|－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“∀x ∈R ，e
|x －1|
－m >0”
是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1. 6.如图所示，已知三棱锥P －ABC ，PA ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥
P －ABC 的体积为________.
答案 160
解析 因为三棱锥P －ABC 的三组对棱两两相等，则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，
把三棱锥P －ABC 补成一个长方体AEBG －FPDC ， 可知三棱锥P －ABC 的各棱分别是此长方体的面对角线. 不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，
则由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2
＝100，x 2＋z 2
＝136，
y 2＋z 2＝164，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝6，y ＝8，
z ＝10.
从而知V P －ABC ＝V AEBG －FPDC －V P －AEB －V C －ABG －V B －PDC －V A －FPC ＝V AEBG －FPDC －4V P －AEB ＝6×8×10－4×1
6
×6×8×10＝160.
7.对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2
＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________________.
答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析 设f (p )＝(x －1)p ＋x 2
－4x ＋3， 则当x ＝1时，f (p )＝0，所以x ≠1.
f (p )在[0,4]上恒为正等价于⎩⎪⎨
⎪
⎧
f (0)>0，f (4)>0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
(x －3)(x －1)>0，x 2
－1>0，
解得x >3或x <－1.
8.如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2
＝1，那么
y ＋3
x －1
的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫43，＋∞ 解析 设k ＝
y ＋3x －1
，则y 表示点P (1，－3)和圆(x －2)2＋y 2
＝1上的点的连线的斜率(如图).从图中可知，当过P 的直线与圆相切时斜率取最值，此时对应的直线斜率分别为k PB 和k PA ，
其中k PB 不存在.由圆心C (2,0)到直线y ＝kx －(k ＋3)的距离|2k －(k ＋3)|k 2＋1＝r ＝1，解得k ＝4
3，
所以
y ＋3x －1的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫43，＋∞.
三、函数、方程、不等式之间的转化
函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的协作.
9.已知函数f (x )＝lg ⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋a
x
－2，若对任意x ∈[2，＋∞)，恒有f (x )>0，则实数a 的取值范
围是________. 答案 (2，＋∞)
解析 根据题意，得x ＋a x
－2>1在[)2，＋∞上恒成立，即a >－x 2
＋3x 在[2，＋∞)上恒成
立，
又当x ＝2时，(－x 2
＋3x )max ＝2, 所以a >2.
10.(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2
＋y 2
＝50上，若PA →·PB →
≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________. 答案 [－52，1]
解析 方法一 因为点P 在圆O ：x 2
＋y 2
＝50上， 所以设P 点坐标为(x ，±50－x 2
)(－52≤x ≤52). 因为A (－12,0)，B (0,6)，
所以PA →＝(－12－x ，－50－x 2)或PA →＝(－12－x ，50－x 2
)， PB →
＝(－x,6－50－x 2)或PB →＝(－x,6＋50－x 2).因为PA →·PB →
≤20，先取P (x ，50－x 2
)进行
计算，
所以(－12－x )·(－x )＋(－50－x 2
)(6－50－x 2
)≤20，即2x ＋5≤50－x 2
. 当2x ＋5<0，即x <－5
2
时，上式恒成立.
当2x ＋5≥0，即x ≥－52
时，(2x ＋5)2≤50－x 2
，
解得－5
2
≤x ≤1，故x ≤1.
同理可得当P (x ，－50－x 2
)时，x ≤－5. 又－52≤x ≤52，所以－52≤x ≤1. 故点P 的横坐标的取值范围为[－52，1]. 方法二 设P (x ，y )，
则PA →＝(－12－x ，－y )，PB →
＝(－x,6－y ). ∵PA →·PB →
≤20，
∴(－12－x )·(－x )＋(－y )·(6－y )≤20， 即2x －y ＋5≤0.
如图，作圆O ：x 2
＋y 2
＝50，直线2x －y ＋5＝0与⊙O 交于E ，F 两点，
∵P 在圆O 上且满足2x －y ＋5≤0， ∴点P 在EDF 上.
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋y 2
＝50，2x －y ＋5＝0得F 点的横坐标为1，
又D 点的横坐标为－52，
∴P 点的横坐标的取值范围为[－52，1].
11.已知函数f (x )＝x 3
＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数.对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________.
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，1
解析 由题意知，g (x )＝3x 2
－ax ＋3a －5， 令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2
－5(－1≤a ≤1). 对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
3x 2
－x －2<0，3x 2
＋x －8<0，解得－2
3
<x <1.
故当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. 12.已知函数f (x )＝ln x .若不等式mf (x )≥a ＋x 对所有m ∈[0,1]，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1e ，e 2都成立，则实
数a 的取值范围为________. 答案 (－∞，－e 2
]
解析 由题意得，a ≤m ln x －x 对所有的m ∈[0,1]，
x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1
e
，e 2都成立， 令H (m )＝ln x ·m －x ，m ∈[0,1]，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 2是关于m 的一次函数， 因为x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1e ，e 2，所以－1≤ln x ≤2，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
ln x ·0－x ≥a ，
ln x ·1－x ≥a ，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
a ≤－x ，
a ≤ln x －x ，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
a ≤－e 2
，
a ≤(ln x －x )min .
令g (x )＝ln x －x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
e ≤x ≤e 2，
所以g ′(x )＝1－x
x
，
所以函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上是增函数，在[]1，e 2上是减函数，又g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ＝－1－1e ，g (e 2
)＝2－
e 2，所以g (e 2
)<g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，
所以g (x )min ＝g (e 2
)＝2－e 2
， 所以a ≤2－e 2
.综上知a ≤－e 2
.
1.若数列{a n }满足a n ＝3a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *
)，a 1＝1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________________. 答案 2×3
n －1
－1
解析 设a n ＋λ＝3(a n －1＋λ)，化简得a n ＝3a n －1＋2λ， ∵a n ＝3a n －1＋2，∴λ＝1， ∴a n ＋1＝3(a n －1＋1). ∵a 1＝1，∴a 1＋1＝2，
∴数列{a n ＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2×3n －1
，
∴a n ＝2×3
n －1
－1.
2.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
3x －1，x <1，
2x
，x ≥1，
则满足f (f (a ))＝2
f (a )
的a 的取值范围是________.
答案 ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞ 解析 令f (a )＝t ，则f (t )＝2t
， 当t <1时，3t －1＝2t
，
令g (t )＝3t －1－2t
，得g ′(t )>0， ∴g (t )<g (1)＝0，∴3t －1＝2t
无解. 当t ≥1时，2t ＝2t
成立，由f (a )≥1可知， 当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴2
3≤a <1；
当a ≥1时，有2a
≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥2
3
.
3.在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝9
2，则a 1＝________.
答案 3
2
或6
解析 当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝9
2，显然成立.
当q ≠1时，由a 3＝32，S 3＝9
2，
得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1
q 2＝3
2， ①a 1
(1＋q ＋q 2
)＝9
2
，②
由①②，得1＋q ＋q 2
q
2
＝3，即2q 2
－q －1＝0， 所以q ＝－12或q ＝1(舍去).当q ＝－12时，a 1＝a 3
q 2＝6.
综上可知，a 1＝3
2
或a 1＝6.
4.已知函数f (x )＝a x
＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________. 答案 －3
2
解析 当a >1时，函数f (x )＝a x
＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
a －1
＋b ＝－1，a 0
＋b ＝0，无解.
当0<a <1时，函数f (x )＝a x
＋b
在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
a －1＋
b ＝0，
a 0
＋b ＝－1，解得
⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝12，
b ＝－2，
所以a ＋b ＝－3
2
.
5.已知⊙M 的圆心在第一象限，过原点O 被x 轴截得的弦长为6，且与直线3x ＋y ＝0相切，则圆M 的标准方程为____________________. 答案 (x －3)2
＋(y －1)2
＝10
解析 设⊙M 的方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
(a ＞0，b ＞0，r ＞0)，由题意知，
⎩⎪⎨⎪⎧
b 2＋9＝r 2，
|3a ＋b |
32
＋12
＝r ，a 2
＋b 2
＝r 2
，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝3，
b ＝1，
r 2＝10，
故⊙M 的标准方程为(x －3)2
＋(y －1)2
＝10.
6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 2n ＝n －a n ，a 2n ＋1＝a n ＋1，则S 100＝________.(用数字作答) 答案 1306
解析 由题设可得a 2n ＋a 2n ＋1＝n ＋1，取n ＝1,2,3，…，49，可得a 2＋a 3＝2，a 4＋a 5＝3，a 6＋a 7＝4，…，a 98＋a 99＝50，将以上49个等式两边分别相加，可得a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋…＋a 98＋a 99＝2＋50
2
×49＝1274.
又a 3＝a 1＋1＝2，a 6＝3－a 3＝1，a 12＝6－a 6＝5，a 25＝a 12＋1＝6，a 50＝25－a 25＝19，a 100＝50－a 50＝31，所以S 100＝1＋1274＋31＝1306.
7.设点P (x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，
x ≥1，
y ≥1，
则y x －x
y
的取值范围是________.
答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，32 解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，
x ≥1，
y ≥1
所表示的可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，其中A (2,1)，B (1,2)，令t ＝y
x
，f (t )＝t
－1
t
，根据t 的几何意义可知，t 为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连结OA ，OB ，显然
OA 的斜率12最小，OB 的斜率2最大，即1
2≤t ≤2.由于函数f (t )＝t －1t 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1
2，2上单调递增，
故－32≤f (t )≤32，即y x －x y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，32.
8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
ln x ，x ＞0，m
x ，x <0，若f (x )－f (－x )＝0有四个不同的根，则m 的取值范
围是________.
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，1e
解析 若m ≤0，那么f (x )－f (－x )＝0只可能有2个根，所以m ＞0， 若f (x )＝f (－x )有四个实根，根据对称性可知当x ＞0时，
ln x ＝－m x
有两个实根，即－m ＝x ln x 有两个实根，设y ＝x ln x ，则y ′＝ln x ＋1，
令ln x ＋1＝0，解得x ＝1e ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，y ′<0，函数单调递减，当x ＞1e 时，y ′>0，函数单调递增，所以当x ＝1e 时，y ＝x ln x 有最小值－1
e ，
即－1
e <－m <0，
即0<m <1
e
.
9.已知函数f (x )＝x (e x －e －x )－cos x 的定义域为[－3,3]，则不等式f (x 2
＋1)>f (－2)的解集为________.
答案 [－2，－1)∪(1，2]
解析 因为f (－x )＝－x (e －x
－e x )－cos(－x )＝x (e x －e －x
)－cos x ＝f (x )，所以函数f (x )为
偶函数，令g (x )＝x ⎝
⎛⎭⎪⎫e x －1e x ，易知g (x )在[0,3]上为增函数，令h (x )＝－cos x ，易知h (x )
在[0,3]上为增函数，故函数f (x )＝x (e x －e －x )－cos x 在[0,3]上为增函数，所以f (x 2
＋1)>f (－2)可变形为f (x 2
＋1)>f (2)，所以2<x 2
＋1≤3，解得－2≤x <－1或1<x ≤2，故不
等式f (x 2
＋1)>f (－2)的解集为[－2，－1)∪(1，2].
10.设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 2
4＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形
的三个顶点，且PF 1>PF 2，则PF 1
PF 2
的值为________. 答案 7
2
或2
解析 若∠PF 2F 1＝90°， 则PF 2
1＝PF 2
2＋F 1F 2
2，
又PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝25， 所以PF 1＝143，PF 2＝43，所以PF 1PF 2＝7
2.
若∠F 1PF 2＝90°，则F 1F 2
2＝PF 2
1＋PF 2
2， 所以PF 2
1＋(6－PF 1)2
＝20，且PF 1>PF 2， 所以PF 1＝4，PF 2＝2，所以PF 1
PF 2
＝2. 综上知，
PF 1PF 2＝7
2
或2. 11.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2
＝120°，则椭圆C 离心率的取值范围是______________. 答案 ⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫
32，1 解析 当点P 在短轴端点时，∠F 1PF 2达到最大值，
即∠F 1BF 2≥120°时，椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2＝120°， 当∠F 1BF 2＝120°时，e ＝c
a ＝sin 60°＝32
， 而椭圆越扁，∠F 1BF 2才可能越大， 椭圆越扁，则其离心率越接近1， 所以椭圆C 离心率的取值范围是⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫
32，1.
12.函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－x 2
，x ≤1，
ln x ，x >1，若方程f (x )＝mx －1
2
恰有四个不相等的实数根，则实数m
的取值范围是________. 答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2，e e
解析 在平面直角坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象，如图.
而函数y ＝mx －12恒过定点⎝
⎛⎭⎪⎫0，－12， 设过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12与函数y ＝ln x 的图象相切的直线为l 1，切点坐标为(x 0，ln x 0).因为y ＝ln x
的导函数y ′＝1x ，所以图中y ＝ln x 的切线l 1的斜率为k ＝1x 0，则1
x 0＝ln x 0＋
1
2x 0－0，解得x 0＝e ，
所以k ＝
1
e
.又图中l 2的斜率为12，故当方程f (x )＝mx －1
2恰有四个不相等的实数根时，实数
m 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2，
e e .。