高考数学一轮复习高效作业：《函数与方程》

时间：45分钟满分：100分班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得

分：________

一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2014·莱芜期末)若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f(－1)·f(1)的值( )

A．大于0 B．小于0

C．等于0 D．无法判断

解析：根据连续函数零点的性质，

若f(－1)·f(1)＜0，则f(x)在(－1,1)必有零点，即方程f(x)＝0在(－2,2)上有根，

反之，若方程f(x)＝0在(－2,2)上有根，不一定有f(－1)·f(1)＜0，也可能有f(－1)·f(1)＞0，如图所示．故选D.

答案：D

2．(理)(2014·大庆35中模拟)若一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，则有( )

A．a＜0 B．a＞0

C．a＜－1 D．a＞1

解析：令f(x)＝ax2＋2x＋1，则方程f(x)＝0有一正根和一负根，即函数f(x)有一个正零点和一个负零点，于是可借助图象，帮助解决．

函数的图象如图1或图2，由图知⎩⎪⎨

⎪

⎧

a ＜0，f 0＞0，

或⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＞0，f 0＜0，

解得a ＜0，选A.

答案：A

(文)(2014·北京模拟)函数f(x)＝－⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x

的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2

D ．3

解析：因为y ＝

在x ∈[0，＋∞)上单调递增，y ＝(12

)x

在x ∈R 上单调递减，所以f(x)

＝

－(12)x 在x ∈[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝－1＜0，f(1)＝1

2

＞0，所以f(x)＝－

(12

)x

在定义域内有唯一零点，选B. 答案：B

3．(2014·德州二模)若函数f(x)唯一的一个零点在区间(0,2008)，(0,1004)，(0,702)，(0,351)内，那么下列命题正确的是( )

A ．函数f(x)在区间(0,100)内有零点

B ．函数f(x)在区间(0,100)或(100,351)内有零点

C ．函数f(x)在区间[0,2008]内无零点

D ．函数f(x)在区间(351,2008)内无零点

解析：零点一定在(0,2008)，(0,1004)，(0,702)，(0,351)的交集，即(0,351)内．∴在(351,2008)内无零点，故选D.

答案：D

4．(2014·南阳一中模拟)根据表格中的数据，可以判定方程e x

－x －2＝0的一个根所在

的区间是( )

A.(－1,0) C ．(1,2)

D ．(2,3)

解析：令f(x)＝e x

－x －2.由表格可判定f(1)<0，f(2)>0，所以f(1)·f(2)<0，所以根在(1,2)内．故选C.

答案：C

5．(2013·天津)函数f(x)＝2x

|log 0.5x|－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

解析：由f(x)＝0得|log 0.5x|＝(12)x ，由函数y ＝|log 0.5x|与y ＝(12)x

图象知f(x)＝0有两

个零点，所以选B.

答案：B

6．(2014·淄博期末)设函数f(x)＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f(x)不．存在零点的是( )

A ．[－4，－2]

B ．[－2,0]

C ．[0,2]

D ．[2,4]

解析：∵f(0)＝4sin 1＞0，f(2)＝4sin 5－2＜0，∴函数f(x)在[0,2]上存在零点； ∵f(－1)＝－4sin 1＋1＜0， ∴函数f(x)在[－2,0]上存在零点；

又∵2＜5π4－12＜4，f(5π4－12)＝4－(5π4－1

2)＞0，

而f(2)＜0，∴函数f(x)在[2,4]上存在零点．故选A. 答案：A

二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)

7．(2014·绍兴二模)若f(x)＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

x 2

－x －1，x≥2或x≤－1，

1，－1＜x ＜2，则函数g(x)＝f(x)－x 的

零点为________．

解析：求函数g(x)＝f(x)－x 的零点， 即求f(x)＝x 的根，

∴⎩

⎪⎨⎪⎧

x≥2或x≤－1，x 2

－x －1＝x 或⎩

⎪⎨

⎪⎧

－1＜x ＜2，

1＝x.

解得x ＝1＋2或x ＝1. ∴g(x)的零点为1＋2，1. 答案：1＋2，1

8．(2014·贵州四校联考)方程xlg(x ＋2)＝1有________个不同的实数根．

解析：方程xlg(x ＋2)＝1⇔lg(x ＋2)＝1x ，在坐标系中同时画出y ＝lg(x ＋2)与y ＝1

x 的图

象，

可得两函数图象有两个交点，故所求方程有2个不同的实数根． 答案：2

9．已知函数f(x)＝e x

－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．

解析：由原函数有零点，可将问题转化为方程e x

－2x ＋a ＝0有解问题，即方程a ＝2x －e x

有解．

令函数g(x)＝2x －e x

，则g′(x)＝2－e x

，令g′(x)＝0，得x ＝ln 2，所以g(x)在(－∞，ln 2)上是增函数，在(ln 2，＋∞)上是减函数，所以g(x)的最大值为：g(ln 2)＝2ln 2－2.因此，a 的取值范围就是函数g(x)的值域，所以，a ∈(－∞，2ln 2－2]．

答案：(－∞，2ln 2－2]

10．(2014·大同二模)关于x 的实系数方程x 2

－ax ＋2b ＝0的一根在区间[0,1]上，另一根在区间[1,2]上，则2a ＋3b 的最大值为________．

解析：令f(x)＝x 2

－ax ＋2b ，根据题意知函数在[0,1]，[1,2]上各存在一零点，结合二次函数图象可知满足条件：