压杆稳定的概念

二、压杆的失稳
12-2 细长压杆临界力公式——欧拉公式
一、两端钝支细长压杆的j l P
令： EI K j
= 则： Y K Y ⋅-=
即： 02=⋅+''Y K Y
此微分方程的通解：Y=C ；kx C kx cos sin 2+ ——（1）
边界条件： 当X=0， 02=C ， kx C Y sin 1= ——（2）
又杆上端边界条件：X=l 代入（2）式kl sin 0=——（3）
若要使（3）式成立必有1C 或0sin =kl 方可。

如果 01=C 式就不成立，所以必定是0sin =kl
πn kl =
当 ππππn kl 3,2,,0=时，0sin =kl
得 l
n EI P K j l π== 又得 222l EI n P j l π= n=1 时， 2min 2l EI P j l π= ——临界力欧拉公式
j l P ——临界力
m in I ——截面z I 、y I 选小值
l ——杆长
二、其他支座j l P
()2min 25.0l EI P j l π=
u=0.5
三、临界应力 ()()()2222min
22
min
2r ul E
A ul EI A ul EI A P lj l j πππσ==== ——（1）
式中： A I r m in =
——截面的回转半径 λ=r
ul ——压杆的长细比 （1）式可成： 22λ
πσE j l =
12-3 临界应力总图
目的： 了解临界应力适应范围
关键是看懂j l σ总图
一、临界应力的公式的适用范围
（因为挠曲线近似微分方程只在材料服从虎克定律的前提下成立，即在材料不超过比例极限时成立，而j l P 又是通过挠曲线微分方程推倒出来的故p l j σσ≤）
P l E j
σλπσ≤=22 即： P p E E σπσπλ=≥2 即只有当λ大于或等于极限值p p E σπλ=时 22λπσE j
l *=方成立。

那么j l σ适用的范围总：p λλ≥
如：钢 100≥p λ
铸铁 80≥p λ
木材 100≥p λ
二、超过p σ后压杆的临界应力 ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21c l j λλασσ ——经验公式 其中： s σ——材料的屈服极限
α——系数 0.43 S
c E σπλ57.0= 例： S A 钢： cm kg s 2400=σ 26102cm
kg E ⨯= 20715.02400λσ-=j l
三、j l σ总图
总图：p l j σσ≤和p l j σσ>的图形， j l σλ-曲线图
12-4 压杆稳定计算
一、压杆的稳定条件： []σϕσ≤=
A P j j
l l K P P ≤ 其中j l P 压杆的临界力
j
l K 稳定安全系数，随λ变化比例强度安全系数K 的实际作用在杆上的应力 则： []
j j j j j l l l l l K K A P A P σσσ==*≤= 其中σ为实际杆内力
[]j l σ 为稳定许用应力
稳定条件：[]j l σσ≤
[]j j j l l l K σσ= ，[]K σσ=
[]︒
*=∴σσσK K J J J L L L ，[][]σϕσ= 其中 ϕ 为折减系数，可查表
又[]σϕσ≤=∴A
P 说明：（1）式中j l σ总小于︒σ，()︒<σσj l ；k K j l > 故ϕ是小于1的。

（2）[][]
j l σσ>，因为失稳是在强度破坏前发生。

二、压杆稳定的三类问题
1、压杆是否稳定：步骤（1）求λ值，
（2）据压杆的材料即λ值，从表12-1中查ϕ值。

（3）验算是否满足[]σϕσ≤=A P N 这一稳定条件。

2、确定容许荷载：步骤（1）求λ值，
（2）据压杆的材料即λ值，从表12-1中查出ϕ值
（3）按稳定条件[][]A P σϕ=确定[]P
3、确定截面尺寸：步骤（1）假设一个1ϕ值（一般5.01=ϕ），求得1A 值。

（2）由1A 算出1λ再查1ϕ与ϕ相差较大，再假设212ϕϕϕ+=
，重复上面的计算，查到ϕ值与假定者非常接近为止。