春季高考数学模拟考试试题(有答案)

春季高考数学模拟考试试题
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分120分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
2．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目,最后结果精确到0.01．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，请将符合题目要求的选项选出） 1．已知A ＝{x |x ＋1＞0}，B ＝{－2，－1，0,1}，则(
R A )∩B ＝(
)
A ．{－2，－1}
B ．{－2}
C ．{－1,0,1}
D ．{0,1} 2. 命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( )．
A ．对任意x ∈R ，都有x 2
＜0 B ．存在x 0∈R ，使得x 02
＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02
≥0 D ．不存在x ∈R ，使得x 2
＜0 3. 已知b a x <-的解集是}{93<<-x x ，则实数a,b 的值是（ ）
A ．a= -3, b=6
B ．a= -3, b= -6
C ．a=6,b=3
D ．a=3,b=6 4. 已知3
4
422
+=x x f log )(，则f(1)=( ) A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 5. 下列函数是偶函数的是（ ）
A ．y ＝xsinx
B ．y=x 2
+4x+4 C ．y=sinx+cosx D ．)(log )(x x x f ++=123
6．已知方程x 2
-3x ＋1=0的两个根为x 1，x 2，则=⋅2
12
2x x ( )
A. 3
B. 6
C. 8
D. 2 7. 已知等差数列{a n }中，若a 4=15，则它的前7项和为（ ）
A ．120
B ．115
C ．110
D ．105 8．已知,),,(),,(C 23135=--=则点D 的坐标是（ ）
A ．（11，-3）
B ．（9，-3）
C ．（9,3）
D ．（4,0）
9．要得到函数y=sin2x 的图像，需要将函数y=sin(的图像作怎样的平移才能得到（ ） A.向左平移 B.向右平移 C.向左平移
D.向右平移
10．如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ， 测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )
A ．50 2 m
B ．50 3 m
C ．25 2 m
D.252
2
m
11. 已知直线经过两条直线l 1:x+y=2，l 2:2x-y=1的交点，且直线l 的一个方向向量=（-3,2）， 则直线l 的方程是( )
A.-3x +2y ＋1＝0
B. 3x -2y ＋1＝0
C. 2x +3y －5＝0
D. 2x -3y +1＝0
12. 已知圆的方程x 2+y 2+2ax+9=0圆心坐标为（5,0），则它的半径为（ ） A .3
B. 5 C . 5
D .4
13. 下列命题中是真命题的个数是（ ） （1）垂直于同一条直线的两条直线互相平行 （2）与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行 （3）平行于同一个平面的两条直线互相平行 （4）两条直线能确定一个平面 （5）垂直于同一个平面的两个平面平行 A . 0
B. 1 C . 2
D . 3
14. 函数()2sin()f x x ωϕ=+（0,2
2
π
π
ωϕ>-
<<
）的部分图象如图所示，
则ω，ϕ的值分别是（ ）
A .2,
3
π
-
B .2,6
π
-
C.4,6
π
-
D.4,
3
π
15. 设x,y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥-≥+22142y x y x y x ，则Z=x+y ( )
A. 有最小值2，最大值3
B. 有最大值3，无最小值
C. 有最小值2，无最大值
D. 既无最大值也无最小值
16. 过双曲线2
2
13
y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点， 则|AB |＝( ) A .
43
3
B . 23
C . 6
D . 43 17. 从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是( )
A .
5
1 B . 41
C . 31
D . 21
18. 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示;
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则 其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D.6
19. 设(1,2)a =，(1,1)b =，c a kb =+．若b c ⊥，则实数k 的值等于（ ）
A ．53
B ．53-
C ．32-
D ．3
2
20.
的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为( )
A ．－540
B ．－162
C ．162
D ．540
二、填空题（本大题5小题，每题4分，共20分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上）
21．若集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1,3,4}，则A∩B 的子集个数为_______． 22. 设2
0π
θ<
<，向量)cos ,1(),cos ,2(sin θθθ-==，若0=⋅，则=θsin ______.
23. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积等于_________．
24. 已知抛物线y 2
＝8x 的准线过双曲线22
22=1x y a b
-(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率
为2，则该双曲线的方程为__________．
25. 若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P 、Q 都在函数f(x)的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对(P 、Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P 、Q)与点对(Q ，P)看作同一个“友好点
对”)．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x 2＋4x ＋1，x <0，2
e x
，x ≥0，则f(x)的“友好点对”的个数是________．
三、解答题（本大题5小题，共40分．请在答题卡相应的题号处写出解答过程）
26．（7分）在等比数列{}n a 中，212a a -=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，
求数列{}n a 的首项、公比.
27. （7分）山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销 日本和韩国等地.上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在本市收购了2000千克香菇存放入冷库中.据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．
（1）若存放x 天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y 元，试写出y 与x
之间的函数关系式；
（2）李经理如果想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？ （提示：利润＝销售总金额－收购成本－各种费用）
（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
28. (8分) 已知向量a ＝1cos ,2x ⎛
⎫
-
⎪⎝⎭
，b ＝x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期；
（2）求函数f(x)的单调递减区间； (3)求f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值．
29．（9分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥ 底面ABC ，且各棱长均相等． ,,D E F 分别为棱11,,AB BC AC 的中点． （1）证明：EF ∥ 平面1A CD
（2）证明：平面1A CD ⊥ 平面11A ABB ； （3）求直线EF 与直线11A B 所成角的正弦值
.
30．(9分)已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>经过点3)，离心率为1
2，左右焦点分别为
12(,0),(,0)F c F c -.
（1）求椭圆的方程； （2）若直线1
:
2
l y x m =-+与椭圆交于,A B 两点，与以12F F 为直径的圆交于,C D 两点，
且满足
||53
||4
AB CD =，求直线l 的方程. x
y
F 2
F 1
D
C
B
A O
数学试题答案及评分标准
（选择题，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C A C D B D A 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案
C
D
A
A
C
D
A
B
C
A
第Ⅱ卷（非选择题，共60分）
二、填空题（本大题5个小题，每题4分，共20分）
21．4 22．
23．π3 24．2
2
13
y x -=
25 {提示} 设P (x ，y )、Q (－x ，－y )(x >0)为函数f (x )的“友好点对”， 则y ＝2
e x ，－y ＝2(－x )2＋4(－x )＋1＝2x 2－4x ＋1，
∴2e x ＋2x 2－4x ＋1＝0，在同一坐标系中作函数y 1＝2
e x 、y 2＝－2x 2＋4x －1的图象，y 1、y 2的图象有两个交点， 所以
f (x )有2个“友好点对”，故填2.
三、解答题（本大题5个小题，共40分）
26．（7分） 【解析】
由212a a -=， 得a 1q-a 1=2；
由4a 2=13a +3a ，得4a 1q=3a 1+a 1q 2
,得q 2
-4q+3=0,得q=1(不合题意，舍去),q=3-------5分
当q=3时，a 1=1---------2分 27．（7分）
【解析】
（1）由题意得，y 与x 之间的函数关系式为：
2(100.5)(20006)394020000(1110)y x x x x x =+-=-++≤≤；--------2分
（2）由题意得，225003402000102000094032
=+⨯-++-)()(x x x ；
化简得，2
20075000x x -+=；解得，1505021==x x ,（不合题意，舍去）；
因此，李经理如果想获得利润22500元，需将这批香菇存放50天后出售. --------2分 （3）设利润为W ，则由（2）得，2(394020000)(102000340)W x x x =-++-⨯+
2236003(100)30000x x x =-+=--+；因此当100x =时，30000=max W ； 又因为),(1100100∈，所以李经理将这批香菇存放100天后出售可获得最大利润为30000元.
--------3分
28．（8分）
-----------3分
（2）函数)sin(62π
-
=x y 单调递减区间：
Z k k x k ∈+≤-≤+,πππππ2236222， 得:
5,36
536k x k k Z
k k k Z
π
π
ππππππ+≤≤
+∈⎡⎤
∴++∈⎢⎥⎣⎦
所以单调递减区间是， ，--------------2分
(3)∵0≤x≤π
2
，
∴
ππ5π
2
666
x
-≤-≤.
由正弦函数的性质，
当
ππ
2
62
x-=，即
π
3
x=时，f(x)取得最大值1.
当
ππ
2
66
x-=-，即x＝0时，f(0)＝
1
2
-，
当
π5
2π
66
x-=，即
π
2
x=时，
π1
22
f
⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
，
∴f(x)的最小值为
1 2 -.
因此，f(x)在
π
0,
2
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
上最大值是1，最小值是
1
2
-.---------3分
29．（9分）
（1）证明：连接ED， D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，DE=AC，
三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴AC∥A1C1，AC=A1C1，
又F为棱A1C1的中点．∴A1F=DE，A1F∥DE，
∴四边形A1DEF是平行四边形，∴EF∥DA1，
又 DA1⊂平面A1CD，EF⊄平面A1CD，∴EF∥平面A1CD -------3分
（2）证明：∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，
又 AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，
∴AA1⊥CD，又 AA1∩AB=A，
∴CD⊥面A1ABB1，又CD⊂面A1CD，
∴平面A1CD⊥平面A1ABB1；-------3分
（3）解： EF ∥DA 1，AB ∥A 1 B 1，
∴DA A 1∠为直线EF 与直线11A B 所成的角。

设三棱柱111ABC A B C -的棱长为a ，则AD=a 21
，
a AD A A D A 25
2211=+=∴，.5
52sin 111==∠∴D A A A DA A
即直线EF 与直线11A B
所成角的正弦值为5
-------3分
30．（9分） 【解析】
（1
）由题意可得12222b c a a b c ⎧=⎪
⎪
=
⎨⎪
⎪=+⎩
解得2,1a b c ==
=
∴椭圆的方程为22
143x y +=----------------------------------3分
（数学试题共11页） 第11页
可得：12x x m +=，2123x x m =-
2222115||1()4(3)422
AB m m m ∴=+---=-
||53||4
AB CD = 2
24154m m -=- 解方程得33m =±，且满足5||2
m < ∴直线l 的方程为132y x =-
+132y x =-.-------------6分。