高考数学复习知识点按难度与题型归纳总结

高考数学复习知识点按难度与题型归纳总结
高考数学复习知识点按难度与题型归纳总结
一、填空题
答卷提醒：重视填空题的解法与得分， 尽可能减少失误， 这是取得好成绩的基石!
A 、1～4题， 基础送分题， 做到不失一题！ A1.集合性质与运算 1、性质：
①任何一个集合是它本身的子集， 记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集， 记为A ⊆φ；
③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ⊆， 同时A B ⊆， 那么A = B ．
如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，．
【注意】：
①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）
②已知集合S 中A 的补集是一个有限集， 则集合A 也是有限集．（×） ③ 空集的补集是全集．
④若集合A =集合B ， 则C B A = ∅， C A B = ∅ C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ∅）．
2、若Ａ={123,,n a a a a K }， 则Ａ的子集有2n 个， 真子集有21n -个， 非空真子集有22n -个.
3、A B C A B A C A B C A B A C ==I U I U I U I U I U （）（）（）,（）（）（）；
A B C A B C A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂=U U U U （）（）,（）（）
4、 De Morgan 公式:()U U U C A B C A C B =I U ；()U U U C A B C A C B =U I .
【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具.
在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况， 补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

A2.命题的否定与否命题
*1.命题p q ⇒的否定与它的否命题的区别：
命题p q ⇒的否定是p q ⇒⌝,否命题是p q ⌝⇒⌝.
命题“p 或q ”的否定是“p ⌝且q ⌝”,“p 且q ”的否定是“p ⌝或q ⌝”. *2.常考模式：
全称命题p ：,()x M p x ∀∈；全称命题p 的否定⌝p ：,()x M p x ∃∈⌝. 特称命题p ：,()x M p x ∃∈；特称命题p 的否定⌝p ：,()x M p x ∀∈⌝. A3.复数运算
*1.运算律：⑴m n m n z z z +⋅=； ⑵()m n mn z z =； ⑶1212()(,)m m m z z z z m n N ⋅=∈.
【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围. *2.模的性质：
⑴1212||||||z z z z =； ⑵1122||||||
z z z z =； ⑶n
n z z =. *3.重要结论：
⑴2222
121212||||2||||()z z z z z z -++=+；
⑵2
212
z z z z ⋅==； ⑶()2
12i i ±=±； ⑷
11i i i -=-+， 11i
i i +=-； ⑸i 性质：T=4；1 , ,1,43
4241
4=-=-==+++n n n n i i i i i i
.
【拓展】：()()
32
11101ωωωωω=⇔-++=⇔=
或1
2
2ω=-±
.
A4.幂函数的的性质及图像变化规律：
(1)所有的幂函数在(0,)+∞都有定义， 并且图像都过点(1,1)；
(2)0a >时， 幂函数的图像通过原点， 并且在区间[0,)+∞上是增函数．特别地， 当1a >时， 幂函数的图像下凸；当01a <<时， 幂函数的图像上凸；
1x
(3)0a <时， 幂函数的图像在区间(0,)+∞上是减函数．在第一象限内， 当x 从右边趋向原点时， 图像在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴， 当x 趋于+∞时， 图像在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 【说明】：对于幂函数我们只要求掌握111,2,3,,23
a =的这5类， 它们的图像都经过一个定点(0,0)和(0,1)，
并且1-=x 时图像都经过(1,1)， 把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了. A5.统计
1.抽样方法：
(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时， 它的主要特征是从总体中逐个抽取.
(2)分层抽样， 主要特征分层按比例抽样， 主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个个体被抽到的
概率都相等（
n
N
）. 2. 用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；
样本平均数： 121
11()n
n i i x x x x x n n ==+++=∑L
4.用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差).
(1)一组数据123,,,,n x x x x ⋯
①样本方差
2
222
121[()()()]n S x x x x x x n
=-+-+⋅⋅⋅+-222111111()()()n n n i i i i i i x x x x n n n ====-=-∑∑∑ ；
②样本标准差
σ==
(2)两组数据123,,,,n x x x x ⋯与123,,,,n y y y y ⋯,其中i y ax b =+,1,2,3,,i n =⋯.则y ax b =+,它们
的方差为222
y x S a S =,标准差为||y x a σσ=
③若12,,,n x x x L 的平均数为x ， 方差为2
s ， 则12,,,n ax b ax b ax b +++L 的平均数为ax b +， 方
差为22
a s .
样本数据做如此变换：'i i x ax b =+， 则'x ax b =+， 222()S a S '=.
3. 总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.
总体估计掌握：一“表”(频率分布表)；两“图”(频率分布直方图和茎叶图). ⑴频率分布直方图
用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。

频率分布直方图就是以图形面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.
①频率=样本容量
频数
.
②小长方形面积=组距×组距
频率
=频率.
③所有小长方形面积的和=各组频率和=1. 【提醒】：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)， 横轴一般是数据的大小， 小矩形的面积表示频率. ⑵茎叶图
当数据是两位有效数字时， 用中间的数字表示十位数， 即第一个有效数字， 两边的数字表示个位数， 即第二个有效数字， 它的中间部分像植物的茎， 两边像植物茎上长出来的叶子， 这种表示数据的图叫做茎叶图。

B 、(5～9， 中档题， 易丢分， 防漏/多解) B1.线性规划
1、二元一次不等式表示的平面区域：
数学应试笔记 第2页
（1）当0A 时， 若0Ax By C ++>表示直线l 的右边， 若0Ax By C ++<则表示直线l 的左边. （2）当0B >时， 若0Ax By C ++>表示直线l 的上方， 若0Ax By C ++<则表示直线l 的下方. 2、设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠）， 则
111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域：
两直线1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=所成的对顶角区域（上下或左右两部分）.
3、点000(,)P x y 与曲线(),f x y 的位置关系：
若曲线(,)f x y 为封闭曲线（圆、椭圆、曲线||||x a y b m +++=等）， 则00(),0f x y >， 称点在曲线外部；
若(,)f x y 为开放曲线（抛物线、双曲线等）， 则00(),0f x y >， 称点亦在曲线“外部”. 4、已知直线:0l Ax By C ++=， 目标函数z Ax By =+.
①当0B >时， 将直线l 向上平移， 则z 的值越来越大；直线l 向下平移， 则z 的值越来越小； ②当0B <时， 将直线l 向上平移， 则z 的值越来越小；直线l 向下平移， 则z 的值越来越大； 5、明确线性规划中的几个目标函数（方程）的几何意义：
（1）z ax by =+， 若0b >， 直线在y 轴上的截距越大， z 越大， 若0b <， 直线在y 轴上的截
距越大， z 越小.
（2）y m
x n
--表示过两点()(),,,x y n m 的直线的斜率， 特别y x 表示过原点和(),n m 的直线的斜率.
（3）()()2
2
t x m y n =-+-表示圆心固定， 半径变化的动圆， 也可以认为是二元方程的覆盖问题.
（4）
y =
(),x y 到点()0,0的距离.
（5）(cos ,sin )F θθ； （6
）d =
；
（7）22
a a
b b ±+；
【点拨】：通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x 2
+y 2
=1上的点)sin ,(cos θθ及余弦定理进行转化达到解题目的。

B 2.三角变换：
三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换．
三角恒等变形是以同角三角公式， 诱导公式， 和、差、倍、半角公式， 和差化积和积化和差公式， 万能公式为基础．
三角代换是以三角函数的值域为根据， 进行恰如其分的代换， 使代数式转化为三角式， 然后再使用上述诸公式进行恒等变形， 使问题得以解决．
三角变换是指角(“配”与“凑”)、函数名(切割化弦)、次数(降与升) 、系数(常值“1”) 和 运算结构(和与积)的变换， 其核心是“角的变换”.
角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.
变换化简技巧：角的拆变， 公式变用， 切割化弦， 倍角降次， “1”的变幻， 设元转化， 引入辅角， 平方消元等.
具体地：
（1）角的“配”与“凑”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后， 还应注意一些配凑变形
技巧， 如下：
2=+ααα， 22
αα=⨯；
22
αβ
αβ++=⋅
，
()()2
22
αβ
β
ααβ+=-
--；
()()2
2
2
2
=+-=-+=
=
+-+-+
-
ααββαββαβ
αβ
βα
βα
；
22[()]2[()]()()()()=+-=-+=++-=+--ααββαββαβαββαβα；
2()+=++αβαβα， 2()-=-+αβαβα；
154530,754530︒=︒-︒︒=︒+︒；
()
4
2
4ππααπ+=--等.
（2）“降幂”与“升幂”（次的变化）
利用二倍角公式2
2
2
2
cos 2cos sin 2cos 12sin 1=-=-=-ααααα和二倍角公式的等价变形2cos 2sin 12
=-αα， 2sin 2cos 12
=+αα， 可以进行“升”与“降”的变换， 即“二次”与“一
次”的互化.
（3）切割化弦（名的变化）
利用同角三角函数的基本关系， 将不同名的三角函数化成同名的三角函数， 以便于解题.经常
用的手段是“切化弦”和“弦化切”.
（4）常值变换
常值12.此外， 对常值 “1”可作如下代换：2222
1sin cos sec tan tan cot 2sin 30tan sin cos 042
x x x x x x ππ=+=-=⋅=︒====L 等.
（5）引入辅助角
一般的，
sin cos )sin()a b +=
+
=+αααααϕ， 期中
cos tan b
a ===ϕϕϕ.
特别的， sin cos )4
A A A +=
+π
;
sin 2sin()3x x x +=+π，
cos 2sin()6
x x x +=+π
等.
（6）特殊结构的构造
构造对偶式， 可以回避复杂三角代换， 化繁为简.
举例：2
2
sin 20cos 50sin 20cos50A =︒+︒+︒︒， 2
2
cos 20sin 50cos 20sin50B =︒+︒+︒︒ 可以通过1
2sin 70,sin 702
A B A B +=+︒-=-
-︒两式和， 作进一步化简. （7）整体代换
举例：sin cos x x m +=2
2sin cos 1x x m ⇒=-
sin()m +=αβ， sin()n -=αβ， 可求出sin cos ,cos sin αβαβ整体值， 作为代换之用.
B 3.三角形中的三角变换
三角形中的三角变换， 除了应用公式和变换方法外， 还要注意三角形自身的特点． (1)角的变换
因为在ABC ∆中， A B C π++=（三内角和定理）， 所以
任意两角和：与第三个角总互补， 任意两半角和与第三个角的半角总互余. 锐角三角形：①三内角都是锐角；②三内角的余弦值为正值；
③任两角和都是钝角；④任意两边的平方和大于第三边的平方.
即， sin sin()A B C =+；cos cos()A B C =-+；tan tan()A B C =-+．
2
2
sin
cos
A B C +=；2
2
cos
sin
A B C +=；2
2
tan
cot
A B C +=.
(2)三角形边、角关系定理及面积公式， 正弦定理， 余弦定理．
面积公式：11
sin 22
a S sh a
b C r p ===⋅=
数学应试笔记 第4页
其中r 为三角形内切圆半径， p 为周长之半．tan
tan tan tan tan tan 1222222
A B B C C A
++= (3)对任意ABC ∆， ；
在非直角ABC ∆中， tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=． (4)在ABC ∆中， 熟记并会证明：
*1.,,A B C ∠∠∠成等差数列的充分必要条件是60B ∠=︒．
*2.ABC ∆是正三角形的充分必要条件是,,A B C ∠∠∠成等差数列且,,,a b c 成等比数列． *3.三边,,a b c 成等差数列⇔2b a c =+⇔2sin sin sin A B C =+⇔1tan tan 223A C =；3
≤B π. *4.三边,,,a b c 成等比数列⇔2b ac =⇔2sin sin sin A B C =,3
≤B π
.
(5)锐角ABC ∆中,2
A B π
+>
⇔sin cos ,sin cos ,sin cos A B B C C A >>> ， 222a b c +>；
sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++.
【思考】：钝角ABC ∆中的类比结论
(6)两内角与其正弦值：
在ABC ∆中， sin sin a b A B A B >⇔>⇔>⇔cos2cos2B A >， … (7)若π=++C B A ， 则2
2
2
2cos 2cos 2cos x y z yz A xz B xy C ++++≥. B 4.三角恒等与不等式 组一
33sin 33sin 4sin ,cos34cos 3cos αααααα=-=- ()()2222sin sin sin sin cos cos αβαβαββα-=+-=-
323tan tan tan 3tan tan(
)tan(
)13tan 3
3
θθπ
π
θθθθθ
-=
=-+-
组二
tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=
sin sin sin 4cos cos cos 222A B C
A B C ++=
cos cos cos 14sin sin sin 222
A B C
A B C ++=+
222
sin sin sin 22cos cos cos A B C A B C ++=+……
组三 常见三角不等式
(1)若(0,
)2
x π
∈， 则sin tan x x x <<； (2) 若(0,
)2
x π
∈，
则1sin cos x x <+
(3) |sin ||cos |1x x +≥；
(4)x
x
x f sin )(=
在),0(π上是减函数； B5.概率的计算公式：
⑴古典概型：()A P A =
包含的基本事件的个数
基本事件的总数
；
①等可能事件的概率计算公式：()
()()m card A p A n card I ==；
②互斥事件的概率计算公式：P (A +B )＝P (A )+P (B )；
③对立事件的概率计算公式是：P (A )=1－P (A )；
④独立事件同时发生的概率计算公式是：P (A •B )＝P (A )•P (B )； ⑤独立事件重复试验的概率计算公式是：
()(1)k k
n k n n P k C P P -=-(是二项展开式[(1－P )+P ]n 的第(k +1)项).
⑵几何概型：若记事件A={任取一个样本点， 它落在区域g ⊂Ω}， 则A 的概率定义为
()g A P A Ω=
=
的测度构成事件的区域长度（面积或体积等）
的测度
试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）
注意：探求一个事件发生的概率， 常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理：把所求的事
件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率， 转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n 次实验中恰有k 次发生的概率， 但要注意公式的使用条件. 事件互斥是事件独立的必要非充分条件， 反之， 事件对立是事件互斥的充分非必要条件.
【说明】：条件概率：称)
()
()|(A P AB P A B P =
为在事件A 发生的条件下， 事件B 发生的概率。

注意：①0(|)1P B A ≤≤；②P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。

B6. 排列、组合
（1）解决有限制条件的(有序排列， 无序组合)问题方法是：
①直接法：位置分析法元素分析法
用加法原理（分类）插入法（不相邻问题）用乘法原理（分步）捆绑法（相邻问题）
⎧⎪⎪
⎨
⎪⎪⎩ ②间接法：即排除不符合要求的情形
③一般先从特殊元素和特殊位置入手. （2）解排列组合问题的方法有： ①特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求， 再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求， 再考虑其他位置）。

②间接法（对有限制条件的问题， 先从总体考虑， 再把不符合条件的所有情况去掉）)。

③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素， 然后再与其余“普通元素”全排列， 最后再“松绑”， 将特殊元素在这些位置上全排列）。

④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法， 即先安排好没有限制元条件的元素， 然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。

⑤多排问题单排法。

⑥多元问题分类法。

⑦有序问题组合法。

⑧选取问题先选后排法。

⑨至多至少问题间接法。

⑩相同元素分组可采用隔板法。

⑪涂色问题先分步考虑至某一步时再分类.
（3）分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组， 平均分成n 组问题别忘除以!n . B7.最值定理
①,0,x y x y >+≥由 若积()xy P =定值， 则当x y =时和x y +
有最小值；
②,0,x y x y >+≥由 若和()x y S +=定值， 则当x y =是积xy 有最大值2
14
s . 【推广】：已知R y x ∈,， 则有xy y x y x 2)()(2
2+-=+.
（1）若积xy 是定值， 则当||y x -最大时， ||y x +最大；当||y x -最小时， ||y x +最小. （2）若和||y x +是定值， 则当||y x -最大时， ||xy 最小；当||y x -最小时， ||xy 最大. ③已知,,,R a x b y +
∈， 若1ax by +=，
则有：
2
11
11()()by ax
ax by a b a b x y x y x y
+=++=+++++=≥
数学应试笔记 第6页
④,,,R a x b y +
∈， 若
1a
b
x y +
=则有：(
)2
(
)ay
bx
x y x y a b x y +=++
=++=
B8.求函数值域的常用方法：
①配方法：转化为二次函数问题， 利用二次函数的特征来求解； 【点拨】：二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动）， 对称轴动（定）的最值问题。

求二次函数的最值问题， 勿忘数形结合， 注意开口方向和对称轴与所给区间的相对位置关系.
②逆求法：通过反解， 用y 来表示x ， 再由x 的取值范围， 通过解不等式， 得出y 的取值范围， 型
如,(,)ax b y x m n cx d
+=
∈+的函数值域；
④换元法：化繁为间， 构造中间函数， 把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数， 其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型， 通过代换构造容易求值域的简单函数， 再求其值域；
⑤三角有界法：直接求函数的值域困难时， 可以利用已学过函数的有界性， 如转化为只含正弦、余弦的函数， 再运用其有界性来求值域；
⑥不等式法：利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值， 其题型特征解析式是和式时要求积为定值， 型如)0(>+
=k x
k
x y ， 解析式是积时要求和为定值， 不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧；
⑦单调性法：根据函数的单调性求值域， 常结合导数法综合求解；
⑧数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义， 可根据函数的几何意义， 如斜率、距离、绝对值等， 利用数与形相互配合的方法来求值域；
⑨分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题， 把函数分离成一个常数和一个分式和的形式， 进而可利用函数单调性确定其值域．
⑩判别式法：对于形如2111
2
222
a x
b x
c y a x b x c ++=++（1a ,2a 不同时为0）的函数常采用此法． 【说明】：对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用， 但这类题型有时也可以用其它方法进行求解， 不必拘泥在判别式法上， 也可先通过部分分式后， 再利用均值不等式：
1.2
b
y k x
=
+型， 可直接用不等式性质； 2.2bx
y x mx n =++型， 先化简， 再用均值不等式；
3.22x m x n y x mx n ''++=++型， 通常用判别式法；
4.2x m x n y mx n
''++=+型， 可用判别式法或均值不等式法；
⑪导数法：一般适用于高次多项式函数求值域.…… B9.函数值域的题型
(一) 常规函数求值域：画图像， 定区间， 截段.
常规函数有：一次函数， 二次函数， 反比例函数， 指数对数函数， 三角函数， 对号函数. (二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域.
解题步骤：(1)换元变形；
(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围； (3)画图像， 定区间， 截段。

(三) 分式函数求值域 ：四种题型
(1)cx d
y ax b
+=
+ (0)a ≠ ：则c y a ≠且y R ∈.
(2)(2)cx d
y x ax b
+=
≥+：利用反表示法求值域。

先反表示， 再利用x 的范围解不等式求y 的范围.
(3)22232
61
x x y x x +-=--：
(21)(2)21
()(21)(31)312x x x y x x x x -++=
=≠-++ ， 则1y 13
y ≠≠且且y R ∈. (4)求221
1x y x x -=++的值域， 当x R ∈时， 用判别式法求值域。

2211
x y x x -=++⇒2(2)10yx y x y +-++=， 2(2)4(1)0y y y ∆=--+≥⇒值域.
(四) 不可变形的杂函数求值域： 利用函数的单调性画出函数趋势图像， 定区间， 截段.
判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法， 其次求导数；大题首选求导数， 其次用定义。

详情见单调性部分知识讲解.
(五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域， 原函数值域等于反函数定义域. (六) 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程， 将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围.
B10.应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：
⑴凑系数（乘、除变量系数）.例1.当 04x <<时， 求函的数(82)y x x =-最大值.
⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知54x <
， 求函数1
()4245f x x x =-+-的最大值.
⑶调整分子：例3.求函数2710
()(1)1
x x f x x x ++=
≠-+的值域；
⑷变用公式：基本不等式
2a b +≥有几个常用变形： 222a b ab +≥, 2
()2
a b ab +≥，
2
a b
+， 222()22a b a b ++≥.前两个变形很直接， 后两个变形则不易想到， 应重视；例4.求函
数15
()22
y x =<<的最大值；
⑸连用公式：例5.已知0a b >>， 求2
16()
y a b a b =+-的最小值；
⑹对数变换：例6.已知1,12
x y >>， 且xy e =， 求ln (2)y
t x =的最大值；
⑺三角变换：例7.已知2
0y x π
<<≤， 且tan 3tan x y =， 求t x y =-的最大值；
⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知0,0a b >>， 且21a b +=， 求11
t a b
=+的最小值.
B11.“单调性”补了“基本不等式”的漏洞：
⑴平方和为定值
若22
x y a +=（a 为定值， 0a ≠）， 可设,,x y αα=
=， 其中02απ<≤.
①(,))4f x y x y πααα=+==+在15
[0,],[,2)44
πππ上是增函数， 在
15[,]44
π
π上是减函数； ②1(,)sin 22g x y xy a α==在1357[0,],[,],[,2)4444πππππ上是增函数， 在1357
[,],[,]4444
ππππ上是
减函数；
③11(,)
x y m x y x y xy +=
+==.令sin cos )4t π
ααα=+=+， 其中
数学应试笔记 第8页
2
(,)1)
m x y
t t
==-在[1)(1,1)--U U 上是减函数. ⑵和为定值
若x y b +=（b 为定值， 0b ≠）， 则.y b x =-
①2
(,)g x y xy x bx ==-+在(,]2b -∞上是增函数， 在[,)2
b +∞上是减函数；
②211(,)x y b
m x y x y xy x bx +=+==-+.当0b >时， 在(,0),(0,]2b -∞上是减函数， 在[,),(,)2
b b b +∞上是增函数；当0b <时， 在(,),(,]2b b b -∞上是减函数， 在[,0),(0,)2
b
+∞上是增函数.
③2222
(,)22n x y x y x bx b =+=++在(,]2b -∞上是减函数， 在[,)2
b +∞上是增函数；
⑶积为定值
若xy c =（c 为定值， 0c ≠）， 则.c y x
= ①(,)c
f x y x y
x x
=+=+
.当0c >时，
在
[上是减函数， 在(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时， 在(,0),(0,)-∞+∞上是增函数；
②111(,)()x y c
m x y x x y xy c x
+
=+=
=+
.当0c >时， 在[
上是减函数， 在(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时， 在(,0),(0,)-∞+∞上是减函数；
③22
2
2
2
2(,)()2c c n x y x
y x x c x x
=+=+=+-
在(,
-∞上是减函数， 在()+∞上是
增函数.
⑷倒数和为定值
若
112x y d +=（d 为定值， 111,,x d y ）， 则.c y x =成等差数列且均不为零， 可设公差为z ， 其中1z d ≠±， 则1111
,,z z x d y d =-=+得,.11d d x y dz dz ==-+.
①22
2()1d f x x y d z =+=-.当0d >时， 在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数， 在11
[0,),(,)d d
+∞上是增函数；当0d <时， 在11(,),(,0]d d -∞上是增函数， 在11
[0,),(,)d d --+∞上减函数；
②222
(,).1d g x y xy d z ==-.当0d >时， 在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数， 在11
[0,),(,)d d
+∞上是增函数；当0d <时， 在11(,),(,0]d d -∞上是减函数， 在11
[0,),(,)d d --+∞上是增函数；
③22222222
2(1)(,).(1)
d d z n x y x y d z +=+=-.令22
1t d z =+， 其中1t ≥且2t ≠， 从而22
222(,)4(2)4
d t d n x y t t t
==-+-在[1,2)上是增函数， 在(2,)+∞上是减函数.
B 12.理解几组概念 *1. 广义判别式
设()f x 是关于实数x 的一个解析式， ,,c a b 都是与x 有关或无关的实数且0a ≠， 则2
40b ac ∆=-≥是方程[]2
()()0a f x bf x c ++=有实根的必要条件， 称“∆”为广义判别式.
*2. 解决数学问题的两类方法：
一是从具体条件入手,运用有关性质,数据,进行计算推导,从而使数学问题得以解决；二是从整体上考查命题结构,找出某些本质属性,进行恰当的核算,从而使问题容易解决,这一方法称为定性核算法. *3. 二元函数
设有两个独立的变量x 与y 在其给定的变域中D 中， 任取一组数值时， 第三个变量Z 就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应， 那末变量Z 称为变量x 与y 的二元函数.记作：(,)Z f x y =. 其中x 与y 称为自变量， 函数Z 也叫做因变量， 自变量x 与y 的变域D 称为函数的定义域.
把自变量x 、y 及因变量Z 当作空间点的直角坐标， 先在xoy 平面内作出函数(,)Z f x y =的定义域D ；再过D 域中得任一点(,)M x y 作垂直于xoy 平面的有向线段MP ， 使其值为与(,)x y 对应的函数值Z ； 当M 点在D 中变动时， 对应的P 点的轨迹就是函数(,)Z f x y =的几何图形.它通常是一张曲面， 其定义域D 就是此曲面在xoy 平面上的投影. *4. 格点
在直角坐标系中， 各个坐标都是整数的点叫做格点（又称整数点）.在数论中， 有所谓格点估计问题.在直角坐标系中， 如果一个多边形的所有顶点都在格点上， 这样的多边形叫做格点多边形.特别是凸的格点多边形， 它是运筹学中的一个基本概念. *5. 间断点
我们通常把间断点分成两类：如果0x 是函数()f x 的间断点， 且其左、右极限都存在， 我们把0x 称为函数()f x 的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点， 称为第二类间断点. *6. 拐点
连续函数上， 上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点.
如果()y f x =在区间(,)a b 内具有二阶导数， 我们可按下列步骤来判定()y f x =的拐点.
(1)求()f x ''；
(2)令()0f x ''=， 解出此方程在区间(,)a b 内实根；
(3)对于(2)中解出的每一个实根0x ， 检查()f x ''在0x 左、右两侧邻近的符号， 若符号相反， 则此点是拐点， 若相同， 则不是拐点. *7.驻点
曲线()f x 在它的极值点0x 处的切线都平行于x 轴， 即0()0f x =.这说明， 可导函数的极值点一定是它的驻点(又称稳定点、临界点)；但是， 反之， 可导函数的驻点， 却不一定是它的极值点. *8. 凹凸性
定义在D 上的函数()f x ， 如果满足：对任意2,x x D ∈1的都有2
21
(
)[()()]22
x x f f x f x ++11≥， 则称是()f x 上的凸函数.定义在D 上的函数如果满足：对任意的2,x x D ∈1都有221
()[()()]22
x x f f x f x ++11≤， 则称
()f x D 是上的凹函数.
【注】：一次函数的图像（直线）既是凸的又是凹的（上面不等式中的等号成立）.
若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的下方， 则称这段弧是凹的；若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的上方， 则称这段弧是凸的.连续曲线凹与凸部分的分界点称为曲线的拐点. B13. 了解几个定理
*1. 拉格朗日中值定理:
如果函数()y f x =在闭区间[,]a b 上连续， 在开区间(,)a b 内可导， 那末在(,)a b 内至少有一点c ， 使()()()()f b f a b a f c '-=-成立.这个定理的特殊情形， 即：()()f b f a =的情形.描述如下：
若()x ϕ在闭区间[,]a b 上连续， 在开区间(,)a b 内可导， 且()()a b ϕϕ=， 那么在(,)a b 内至少有一点c ， 使()0c ϕ'=成立. *2. 零点定理： 设函数）（x f 在闭区间],[b a 上连续， 且()()0f a f b ⋅＜．那么在开区间),(b a 内至少有函数)(x f 的一个零点， 即至少有一点ξ（a ＜ξ＜b ）使0)(=ξf ．
数学应试笔记 第10页
*3. 介值定理：
设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续， 且在这区间的端点取不同函数值， B b f A a f ==)(,)(， 那么对于
B A ,之间任意的一个数
C ， 在开区间),(b a 内至少有一点ξ， 使得C f =)(ξ（a ＜ξ＜b ）
． *4. 夹逼定理：
设当00||x x δ-＜＜时， 有()g x ≤()f x ≤)(x h ， 且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0
， 则必有.)(lim 0
A x f x x =→
【注】：0||x x -：表示以0x 为的极限， 则||0x x -就无限趋近于零．（ξ为最小整数） C 、10～12， 思维拓展题， 稍有难度， 要在方法切入上着力 C1.线段的定比分点公式
设111(,)P x y ， 222(,)P x y ， (,)P x y 是线段12P P 的分点， λ是实数， 且12
PP PP λ=u u r u u r
（或P 2P λ
1P P
）， 则
12
1211x x x y y y λλλλ
+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩
⇔1
21OP OP OP λλ+=+u u r u u r u u r ⇔12
(1)OP tOP t OP =+-u u r u u r u u r （11t λ=+） 推广1：当1=λ时， 得线段21P P 的中点公式：121222
y y y x x x +⎧=⎪⎪⎨
+⎪=⎪⎩ 推广2λ=MB
则λ
λ++=1PM （λ对应终点向量）．
三角形重心坐标公式：△ABC 的顶点()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ， 重心坐标()y x G ,：12312333x x x x y y y y ++⎧
=⎪⎪⎨
++⎪=⎪⎩ 注意：在△ABC 中， 若0为重心， 则0=++OC OB OA ， 这是充要条件．
【公式理解】：
*1.λ是关键(1λ≠-)
(内分) λ>0 (外分) λ<0 (λ<-1) (外分) λ<0 (-1<λ<0) 若P 与P 1重合， λ=0 P 与P 2重合， λ不存在 P 离P 2 P 1无穷远， λ=1- *2.中点公式是定比分点公式1λ=的特例； *3.始点终点很重要， 如若P 分21P P 的定比λ=2
1
， 则P 分12P 的定比λ=2； *4.12,,,x x x λ知三求一；
*5.利用λ有界性可求一些分式函数取值范围；
*6.＝12OA OB λλ+u u u r u u u r
则121λλ+=是三点、、P A B 共线的充要条件.
C 2. 抽象函数
抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式， 只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题.
求解抽象函数问题的常用方法是： (1)借助模型函数探究抽象函数：
①正比例函数型：()f x cx =⇔()()(),(1)f x y f x f y f c ±=±=.
②指数函数型：()x
f x a =⇔()()()
()()(),(1,)0f x f x y f y f x y f x f y f a -=
+==≠.
O
B
A
P
•1
2
1
P 2
P P
•2
P 1
P P •
③对数函数型：()log a f x x =⇔()()(),()()(),()1(0,1)x
f f x f y y f xy f x f y f a a a =-=+=>≠.
④幂函数型：()f x x α
=⇔()()(),(1)f xy f x f y f α'==,()()()
x f x f y
f y =
.
⑤三角函数型：()cos f x x =,()sin g x x =,()()()()()f x y f x f y g x g y -=+,0sin (0)1,lim
1x x
f x
→==.
()f x tanx =,()()()1()()
f x f y f x y f x f y ++=
-.
（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：
（3）利用一些方法（如赋值法（令x ＝0或1， 求出(0)f 或(1)f 、令y x =或y x =-等）、递推法、反
证法等）进行逻辑探究。

C 3.函数图像的对称性
(1)一个函数图像自身的对称性 性质1：对于函数()y f x =， 若存在常数,,a b 使得函数定义域内的任意x ， 都有的图像关于直线2
a b x +=
对称. 【注】：()()(0)f a mx f b mx m +=-≠亦然. 【特例】， 当a b =时， ()()()f a x f a x f x +=-⇔的图像关于直线x a =对称. 【注】：()(2)f x f a x =-亦然. 性质2：对于函数()y f x =， 若存在常数,,a b 使得函数定义域内的任意x ， 都有()()f a x f b x +=-()
f x ⇔的图像关于点(
,0)2
a b +对称.
【特例】：当a b =时， ()()()f a x f a x f x +=--⇔的图像关于点(,0)a 对称.
【注】：()(2)f x f a x =--亦然.
事实上， 上述结论是广义奇(偶)函数的性质.
性质3：设函数()y f x =， 如果对于定义域内任意的x ， 都有()()f a mx f b mx +=-(,,,0)a b m R m ∈≠且，
则()y f x =的图像关于直线2
a b x +=
对称.(这实际上是偶函数的一般情形)广义偶函数.
性质4：设函数()y f x =， 如果对于定义域内任意的x ， 都有()()f a mx f b mx +=--(,,,0)a b m R m ∈≠且，
则()y f x =的图像关于点(
2
a b +,0)对称.(实际上是奇函数的一般情形)广义奇函数.
【注】：f ”放在“=”的两边， 则“f ”前的正负号也相异.因为对称性关乎翻转.
(2)两个函数图像之间的对称性
1.函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0y =对称.
2.函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =对称.
3.函数()y f x =与()y f x =--的图像关于原点(0,0)对称.
4.函数()y f x =与它的反函数1
()y f x -=的图像关于直线y x =对称.
数学应试笔记 第12页
5.函数()y f a mx =+与()y f b mx =-的图像,,,0a b m R m ∈≠()关于直线2b a x m
-=
对称.
特别地， 函数()y f a x =+与()y f b x =-的图像关于直线2
b a x -=
对称.
C4.几个函数方程的周期(约定0a ≠)
(1)若()()f x f x a =+， 或()()22
a
f x f x a +=-， 则()f x 的周期T a =； (2)若()()0f x f x a ++=， 或1()
()1()f x f x a f x -+=+， 或()()22
f f a a x x =-+- ， 或()()f x a f x a +=-，
或()()1f x a f x +=±(()0)f x ≠， 或()()
()f a x f a x f x +=-⎧⎨
⎩
为偶函数， 或()()()f a x f a x f x +=--⎧⎨⎩为奇函数， 或()()()f a x f a x f x +=-⎧⎨⎩为偶函数
，
或[]1(),(()0,1)2f x a f x =+∈， 则()f x 的周期2T a =；
(3)若1()1(()0)()
f x f x f x a =-
≠+， 则()f x 的周期3T a =；
(4)若()()()f a x f a x f x +=--⎧⎨⎩为偶函数， 或()()
()f a x f a x f x +=-⎧⎨⎩
为奇函数， 或()()f x a f x a +=--， 或
1()()1()f x f x a f x -+=-+， 或1()
()1()
f x f x a f x ++=-， 或121212()()()1()()f x f x f x x f x f x ++=-⋅且
1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<， 则()f x 的周期4T a =；
(5)若()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ⋅+++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ⋅⋅⋅⋅=++++， 则()f x 的周期
5T a =；
(6)若()()()f x a f x f x a +=-+， 则()f x 的周期6T a =.
【说明】函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,都有等式成立.上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.
C5.对称性与周期性的关系
定理1：若定义在R 上的函数()f x 的图像关于直线x a =和x b =()a b ≠对称， 则()f x 是周期函数， 且
2a b -是它的一个周期.
推论1：若函数()f x 满足()()f a x f a x +=-及()()f b x f b x +=-()a b ≠， 则()f x 是以2a b -为周期的周期函数.
定理2：若定义在R 上的函数()f x 的图像关于点(,0)a 和直线x b =()a b ≠对称， 则()f x 是周期函数， 且
4a b -是它的一个周期.
推论2：若函数()f x 满足()()f a x f a x +=--及()()f b x f b x +=--()a b ≠， 则()f x 是以4a b -为周期的周期函数.
定理3：若定义在R 上的函数()f x 的图像关于点0(,)a y 和0(,)b y ()a b ≠对称， 则()f x 是周期函数， 且
2a b -是它的一个周期.
推论3：若函数()f x 满足0()()2f a x f a x y -++=及0()()2f b x f b x y -++=()a b ≠， 则()f x 是以
2a b -为周期的周期函数.
C6.
1、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+， (2)(2)f a x f a x -=+， 则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数， 且是偶函数.
2、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+， (2)(2)f a x f a x -=-+， 则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数， 且是奇函数.
3、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和直线2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+， (2)(2)f a x f a x -=+， 则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数， 且是偶函数.
4、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+， (2)(2)f a x f a x -=-+， 则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数， 且是奇函数.
5、若偶函数()f x 关于直线x a =对称， 即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=+， 则
()f x 是以2T a =为周期的周期函数.
6、若偶函数()f x 关于点(,0)a 对称， 即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=-+， 则
()f x 是以4T a =为周期的周期函数.
7、若奇函数()f x 关于直线x a =对称， 即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=+， 则
()f x 是以4T a =为周期的周期函数.
8、若奇函数()f x 关于点(,0)a 对称， 即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=-+， 则
()f x 是以2T a =为周期的周期函数.
【拓展】：
1、若函数()y f x a =+为偶函数， 则函数)(x f y =的图像关于直线x a =对称.
2、若函数()y f x a =+为奇函数， 则函数)(x f y =的图像关于点(,0)a 对称.
3、定义在R 上的函数()f x 满足()()f a x f a x -=+， 且方程()0f x =恰有2n 个实根， 则这2n 个实根的和为2na .
4、定义在R 上的函数)(x f y =满足()()(,,)f a x f b x c a b c ++-=为常数， 则函数)(x f y =的图像关于点(
,)22
a b c
+对称. C8.关于奇偶性与单调性的关系.
① 如果奇函数)(x f y =在区间()0,+∞上是递增的,那么函数)(x f y =在区间(),0-∞上也是递增的; ② 如果偶函数)(x f y =在区间()0,+∞上是递增的,那么函数)(x f y =在区间(),0-∞上是递减的;
【思考】：结论推导
C 9.几何体中数量运算导出结论。