江西省吉安市永新县九年级上期末数学试卷含答案解析

2022-2023江西省吉安市永新县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（）
A．2x+1=0 B．x2+1=0 C．y2+x=1 D． +x2=1
2．张老师在黑板上画出了如图所示的函数图象，四位同学分别写出了表达式，其中正确的是
（）
A．y=x+1 B．y=C．y=﹣D．y=x2﹣1
3．在下列命题中，是真命题的为（）
A．对角线垂直的四边形是菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
4．下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD 的中点，连接DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N．连接AM，CN，MN，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（）
A． B． C． D．
6．如图，Rt△ABO中，直角边BO落在x轴的负半轴上，点A的坐标是（﹣4，2），以O为位似中心，按比列尺1：2把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标为（）
A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
7．某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有（）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y3＜y2＜y1B．y2＜y3＜y1C．y1＜y2＜y3D．y1＜y3＜y2
9．如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°，则铁塔AB的高为（）
A．3米 B．6米 C．3米 D．2米
10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（）
A．4 B．4C．4D．28
二、填空题
11．三角形在正方形方格纸中的位置如图所示，则cosα的值是．
12．若相似三角形面积比是1：2，则它们对应中线的比是．
13．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个等腰三角形的周长
为．
14．两位同学在描述同一反比例函数的图象时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向x 轴，y轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形的面积为6．”乙同学说：“这个反比例函数图象与直线y=﹣x有两个交点．”你认为这两位同学所描述的反比例函数的表达式为．
15．有三张牌的牌面数字是2，3，4现在把它们洗匀，数字朝下放在桌上，从中随机抽出一张记下牌面的数字放回，然后再从随机抽出一张记下牌面数字，则两次抽出牌的牌面数字的和不是2的倍数的概率为．
16．如图是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的体积是cm3．
17．若方程（m+3）x|m|﹣1+3mx=0是关于x的一元二次方程，求m=．
18．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点．且CE=DF，AE、BF相交于点O，下
中，错误的
列结论：①AE=BF，②AE⊥BF，③AO=OE，④S△AOB=S
四边形DEOF
有．（只填序号）
三、解答题（共58分）
19．如图，在△ABC中，∠C=90°，在AB边上取一点D，使BD=BC，过D作DE⊥AB交AC于E，AC=8，BC=6．求DE的长．
20．如图，某公园有一小亭A，它周围100米内是文物保持区，某勘探队员在公园由西向东行走，在B处测得小亭A在北偏东60°的方向上，行走200米后到达C处，此时测得小亭A在北偏东30°的方向上，若该公园打算沿BC的方向修一条笔直的小路，则此小路是否会通过文物保护区？请通过计算说明．
21．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
22．小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选．于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1，2，3，4．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为奇数，则小明先挑选；否则小亮先挑选．
（1）用树状图或列表法求出小明先挑选的概率；
（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
23．在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=4，AD=3，AE=3，求AF的长．
24．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0），且与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
2022-2023江西省吉安市永新县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（）
A．2x+1=0 B．x2+1=0 C．y2+x=1 D． +x2=1
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、2x+1=0是一元一次方程，故A错误；
B、x2+1=0是一元二次方程，故B正确；
C、y2+x=1是二元二次方程，故C错误；
D、+x2=1是分式方程，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．张老师在黑板上画出了如图所示的函数图象，四位同学分别写出了表达式，其中正确的是
（）
A．y=x+1 B．y=C．y=﹣D．y=x2﹣1
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象；二次函数的图象．
【分析】利用函数图象的性质运用排除法求解．
【解答】解：从图象的形状分析是双曲线，函数应该为反比例函数，则可以排除A、D选项；
图象经过了二四象限，则k＜0，故C正确．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象的性质，解题的关键是要熟悉各种函数对应的图象形状．
3．在下列命题中，是真命题的为（）
A．对角线垂直的四边形是菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【考点】命题与定理．
【分析】利用菱形的判定、正方形的判定、矩形的判定及平行四边形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题；
B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误，是假命题；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故正确，是真命题，
故选D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定、正方形的判定、矩形的判定及平行四边形的判定定理，难度不大．
4．下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】分别分析四种几何体的三种视图，再找出有两个相同，而另一个不同的几何体．
【解答】解：①正方体的主视图与左视图都是正方形；
②圆柱的主视图和左视图都是长方形；
③圆锥主视图与左视图都是三角形；
④球的主视图与左视图都是圆；
故答案为：D．
【点评】本题考查了利用几何体判断三视图，培养了学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
5．小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD 的中点，连接DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N．连接AM，CN，MN，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（）
A． B． C． D．
【考点】几何概率．
【分析】根据矩形的中心对称性判定阴影部分的面积等于空白部分的面积，从而得到阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，然后利用概率公式求解即可．
【解答】解：∵点E、F分别是AB、CD的中点，M、N分别为DE、BF的中点，
∴矩形绕中心旋转180°阴影部分恰好能够与空白部分重合，
∴阴影部分的面积等于空白部分的面积，
∴投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是，
故选A．
【点评】此题考查同学的看图能力以及概率计算公式，从图中找到题目中所要求的信息．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
6．如图，Rt△ABO中，直角边BO落在x轴的负半轴上，点A的坐标是（﹣4，2），以O为位似中心，按比列尺1：2把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标为（）
A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】由点A的坐标是（﹣4，2），以O为位似中心，按比列尺1：2把△ABO缩小，根据位似的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵点A的坐标是（﹣4，2），以O为位似中心，按比列尺1：2把△ABO缩小，
∴点A的对应点A′的坐标为：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
故选D．
【点评】此题考查了位似变换的性质．注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
7．某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有（）
A．8 B．9 C．10 D．11
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：易得第一层有4碗，第二层最少有3碗，第三层最少有2碗，所以至少共有9个碗．故选：B．
【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
8．点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y3＜y2＜y1B．y2＜y3＜y1C．y1＜y2＜y3D．y1＜y3＜y2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】探究型．
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出此函数图象所在的象限，再根据各点的坐标判断出各点所在的象限，根据函数图象在各象限内点的坐标特点解答．
【解答】解：∵函数中k=6＞0，
∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵﹣1＜0，
∴点（﹣1，y1）在第三象限，
∴y1＜0，
∵0＜2＜3，
∴（2，y2），（3，y3）在第一象限，
∴y2＞y3＞0，
∴y2＞y3＞y1．
故选D．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出函数图象所在象限是解答此题的关键．
9．如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°，则铁塔AB的高为（）
A．3米 B．6米 C．3米 D．2米
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】依据平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例及60°的正切值联立求解．
【解答】解：设直线AB与CD的交点为点O．
∴．
∴AB=．
∵∠ACD=60°．
∴∠BDO=60°．
在Rt△BDO中，tan60°=．
∵CD=6．
∴AB==6．
故选B．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是根据实际问题抽象出几何图形．
10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（）
A．4 B．4C．4D．28
【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．
【分析】首先利用三角形的中位线定理得出AC，进一步利用菱形的性质和勾股定理求得边长，得出周长即可．
【解答】解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF=，
∴AC=2EF=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=AC=，OB=BD=2，
∴AB==，
∴菱形ABCD的周长为4．
故选：C．
【点评】此题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解决问题的关键．
二、填空题
11．三角形在正方形方格纸中的位置如图所示，则cosα的值是．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】先利用勾股定理列式求出斜边的长，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可．
【解答】解：由勾股定理得，斜边==5，
所以cosα=．
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，难点在于观察图形并求出斜边的长度．
12．若相似三角形面积比是1：2，则它们对应中线的比是：2．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形对应中线的比等于相似比解答．
【解答】解：∵相似三角形面积比是1：2，
∴这两个相似三角形的相似比是：2，
则它们对应中线的比是：2，
故答案为：：2．
【点评】本题考查的是相似三角形性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
13．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个等腰三角形的周长为15．【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【专题】计算题；因式分解．
【分析】利用因式分解法解方程得到x1=3，x2=6，再根据三角形三边的关系得等腰三角形的底为3，腰为6，然后计算三角形的周长．
【解答】解：x2﹣9x+18=0，
（x﹣3）（x﹣6）=0，
所以x1=3，x2=6，
所以等腰三角形的底为3，腰为6，这个等腰三角形的周长为3+6+6=15．
故答案为15．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
14．两位同学在描述同一反比例函数的图象时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向x 轴，y轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形的面积为6．”乙同学说：“这个反比例函数图象与直线y=﹣x有两个交点．”你认为这两位同学所描述的反比例函数的表达式为y=．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k的几何意义．
【专题】压轴题；待定系数法．
【分析】先设y=再根据k的几何意义求出k值即可．
【解答】解：设y=，
根据甲同学说的可求出|k|=6，
根据乙同学说的可知k＜0，
所以k=﹣6，
即反比例函数的表达式为y=．
【点评】主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数系数k的几何意义．
15．有三张牌的牌面数字是2，3，4现在把它们洗匀，数字朝下放在桌上，从中随机抽出一张记下牌面的数字放回，然后再从随机抽出一张记下牌面数字，则两次抽出牌的牌面数字的和不是2的倍数的概率为．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】画出树状图知：所有可能出现的结果共有9种，两次抽出牌的牌面数字的和不是2的倍数的结果有4个，即可得出结果．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知：所有可能出现的结果共有9种，两次抽出牌的牌面数字的和不是2的倍数的结果有4个，
∴两次抽出牌的牌面数字的和不是2的倍数的概率为；
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．
16．如图是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的体积是240cm3．
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】先根据三视图确定几何体的形状，再根据图中所给出的数据求出底面积，再根据体积公式计算即可．
【解答】解：由三视图得：该几何体是六棱柱，
底面边长为4cm的正六边形可分割为六个边长为4cm的等边三角形，
而每个等边三角形的面积为×4×（4×sin60°）=8×=4（cm2），
则该包装盒的体积为6×4×10=240（cm3）．
故答案为：240．
【点评】本题主要考查了由三视图确定几何体，用到的知识点是正六边形的性质和面积的计算公式，关键是求出六棱柱的底面积．
17．若方程（m+3）x|m|﹣1+3mx=0是关于x的一元二次方程，求m=3．
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义得出m+3≠0，|m|﹣1=2，求出即可．
【解答】解：∵（m+3）x|m|﹣1+3mx=0是关于x的一元二次方程，
∴m+3≠0，|m|﹣1=2，
解得：m=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：一元二次方程的一般形式是
ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）．
18．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点．且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE=BF，②AE⊥BF，③AO=OE，④S△AOB=S
中，错误的有③．（只
四边形DEOF
填序号）
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】几何综合题．
【分析】根据正方形的性质可得∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，然后求出AF=DE，再利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF，从而判定出①正确；再根据全等三角形对应角相等可得∠ABF=∠DAE，然后证明∠ABF+∠BAO=90°，再得到
∠AOB=90°，从而得出AE⊥BF，判断②正确；假设AO=OE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AB=BE，再根据直角三角形斜边大于直角边可得BE＞BC，即BE＞AB，从而判断③错误；根据全等三角形的面积相等可得S△ABF=S△ADE，然后都减去△AOF的面积，即可得解，从而判断④正确．
【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，
∵CE=DF，
∴AD﹣DF=CD﹣CE，
即AF=DE，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AE=BF，故①正确；
∠ABF=∠DAE，
∵∠DAE+∠BAO=90°，
∴∠ABF+∠BAO=90°，
在△ABO中，∠AOB=180°﹣（∠ABF+∠BAO）=180°﹣90°=90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
假设AO=OE，
∵AE⊥BF（已证），
∴AB=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，这与正方形的边长AB=BC相矛盾，
所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF=S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF=S△DAE﹣S△AOF，
即S△AOB=S
，故④正确；
四边形DEOF
综上所述，错误的有③．
故答案为：③．
【点评】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，综合题但难度不大，求出△ABF和△DAE全等是解题的关键，也是本题的突破口．
三、解答题（共58分）
19．如图，在△ABC中，∠C=90°，在AB边上取一点D，使BD=BC，过D作DE⊥AB交AC于E，AC=8，BC=6．求DE的长．
【考点】勾股定理；相似三角形的判定与性质．
【专题】计算题．
【分析】依题意易证△AED∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求出DE的长．【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB==10，
又∵BD=BC=6，∴AD=AB﹣BD=4，
∵DE⊥AB，∴∠ADE=∠C=90°，
又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，
∴，
∴DE==×6=3．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应边成比例．
20．如图，某公园有一小亭A，它周围100米内是文物保持区，某勘探队员在公园由西向东行走，在B处测得小亭A在北偏东60°的方向上，行走200米后到达C处，此时测得小亭A在北偏东30°的方向上，若该公园打算沿BC的方向修一条笔直的小路，则此小路是否会通过文物保护区？请通过计算说明．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】根据题意，作辅助线AD⊥BC于点D，由题意可以得到AD的长然后与100进行比较，即可解答本题．
【解答】解：此小路不会通过文物保护区．
理由：过点A作AD⊥BC于点D，如右图所示，
则∠ABD=30°，∠ACD=60°，
∴∠CAB=∠ABD=30°，
∴BC=AC=200米，
∴AD=200×sin60°=200×=100＞100米，
∴此小路不会通过文物保护区．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
21．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；
（2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．【解答】解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得
10（1+x）2=12.1，
解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意舍去）．
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；
（2）今年6月份的快递投递任务是12.1×（1+10%）=13.31（万件）．
∵平均每人每月最多可投递0.6万件，
∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.6×21=12.6＜13.31，
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务
∴需要增加业务员（13.31﹣12.6）÷0.6=1≈2（人）．
答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
22．小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选．于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1，2，3，4．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为奇数，则小明先挑选；否则小亮先挑选．
（1）用树状图或列表法求出小明先挑选的概率；
（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【专题】阅读型．
【分析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即小明先挑选或小亮先挑选的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意可列表或树状图如下：
第一次
1 2 3 4
第二次
1 （1，2）（1，3）（1，4）
2 （2，1）（2，3）（2，4）
3 （3，1）（3，2）（3，4）
4 （4，1）（4，2）（4，3）
从表可以看出所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，符合条件的结果有8种，∴P（和为奇数）=；
（2）不公平．
∵小明先挑选的概率是P（和为奇数）=，小亮先挑选的概率是P（和为偶数）=，∵，∴不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=4，AD=3，AE=3，求AF的长．
【考点】勾股定理；平行线的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF=∠CED（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；
（2）在Rt△ABE中，由勾股定理易求得BE的长，即可求出EC的值；从而根据相似三角形得出的成比例线段求出AF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°；
∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵CD=AB=4，AE⊥BC，
∴AE⊥AD；
在Rt△ADE中，DE=，
∵△ADF∽△DEC，
∴；
∴，
解得AF=．
【点评】此题主要考查的是平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质．
24．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0），且与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】数形结合；待定系数法．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据二元一次方程组，可得函数图象的交点，根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方，可得答案．
【解答】解：（1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0）和A（﹣2，1），
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣3，
反比例函数y=（m≠0）的图象过点A（﹣2，1），
∴，解得m=﹣2，
∴反比例函数的解析式为y=﹣；
（2），
解得，或，
∴B（，﹣4）
由图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法是求函数解析式的关键．。