第5课时 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

|第5课时圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积|

知识技能

1．知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式．

2．能用公式解决简单的实际问题．

思想方法

让学生通过对照比较，理顺圆柱、圆锥、圆台三者的表面积和体积公式，培养学生空间想象力和思维能力．

数学素养

1．在探索圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的过程中，发展直观想象和逻辑推理素养．

2．在圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的求解过程中，发展直观想象和数学运算素养．

重点：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式的推导及其应用．难点：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积求解．

问题导引

预习教材P116～119，思考下面的问题：

1．上节课我们已经研究了棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积，下面我们还能研究什么内容？

2．圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积如何求？

即时体验

1．若圆柱的底面直径和高均为2，则圆柱的表面积为6π，体积为2π．2．若圆锥的底面直径为6，母线长为5，则圆锥的侧面积为15π，体积为12π．

3．若圆台的上、下底面的半径分别为1和2，高为3，则圆台的侧面积为310π，体积为7π．

4．如果球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的22倍．

一、数学运用

[1]巩固练习圆柱、圆锥、圆台的表面积求解方法与公式．

已知圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和底面半径相等，求圆柱和圆锥的表面积之比．[1](见学生用书课堂本P55)

[处理建议]由题意正确列出圆柱、圆锥基本量(高、底面半径)间的关系，再用表面积公式求解．

[规范板书]解如图，设圆柱和圆锥的底面半径分别为r,R，

则有r

R＝

R－r

R，即

r

R＝

1

2，所以R＝2r，

从而圆锥的母线长l＝2R，

所以S圆柱表

S圆锥表

＝

2πr2＋2πr2

πR·2R＋πR2

＝

4πr2

(2＋1)πR2

＝

4r2

(2＋1)4r2

＝

1

2＋1

＝2－1．

(例1答图)

[题后反思]求旋转体表面积的要点：

(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键；

(2)对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法；

(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们的母线和底面半径，而求解这些未知量常常需要列方程．

[2]巩固练习圆柱、圆锥、圆台的体积求解方法与公式．

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a,BC＝2a,∠DCB＝60°．在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周，求旋转体的表面积和体积．[2](见学生用书课堂本P55)

(例2)

[处理建议]先画出旋转所形成的几何体，再分析此几何体的结构特征，最后根据已知公式及结构特征求解．

[规范板书]解如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC,AD＝a,BC ＝2a,∠DCB＝60°，

(例2答图)

所以CD＝BC－AD

cos60°＝2a,AB＝CD sin60°＝3a，

从而DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，

于是DO＝1

2DD′＝a．

由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．

由上述计算知，圆柱的母线长3a，底面半径2a；圆锥的母线长2a，底面半径a．

所以圆柱的侧面积S1＝2π·2a·3a＝43πa2，

圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，

圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，

故组合体上底面积S5＝S3－S4＝3πa2，

所以旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(43＋9)πa2．

由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V柱＝Sh＝π·(2a)2·3a＝43πa3．

V锥＝1

3S′h＝

1

3·π·a

2·3a＝

3

3πa

3．

因此V＝V

柱－V

锥

＝43πa3－

3

3πa

3＝

113

3πa

3．

[题后反思]求组合体的表面积或体积的问题，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．本题重点在分析几何体的结构特征(圆柱挖去一个圆锥)．

如图，已知圆台的高为3，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．

(变式)

[规范板书]解设上、下底面半径分别为r,R，母线长为l．

如图，作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3，∠A1AB＝60°．

又∠BA1A＝90°，所以∠BA1D＝60°，

从而AD＝

A1D

tan60°＝3，所以R－r＝3．

BD＝A1D·tan60°＝33，所以R＋r＝33，于是R＝23，r＝3，而h＝3．

所以V

圆台＝

1

3πh(R

2＋Rr＋r2)＝

1

3π×3×[(23)

2＋23×3＋(3)2]＝21π．

(变式答图)

[题后反思]求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解．