离散型随机变量及其分布列 高二数学教材配套教学精品课件(人教A版2019选择性必修第三册)

次射击中的得分
归纳总结
反思
感悟
离散型随机变量的判断方法(1)明确随机试验的所有可能结
果；(2)将随机试验的结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定
次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是.
PART.03
分布列
概念讲解
用随机变量表示随机事件
根据问题引入合适的随机变量，有利于我们简洁地表示所关心的随机事件，并利
例题剖析
例3.一批产品中次品率为 5%，随机抽取1件，定义
1，抽到次品，
X
0，抽到正品.
求X的分布列.
解：根据X的定义, {X=1}=“抽到次品”, {X=0}=“抽到正品”，
P(X=0)=0.95， P(X=0)=0.05.
随机变量X的分布列为
X
P
0
0.95
1
0.05
概念讲解
ഥ 表示“失败”，定义
例题剖析
例 4.袋内有 5 个白球，6 个红球，从中摸出两球，记 X＝
0，两．
C26
3
3
8
解：显然 X 服从两点分布，P(X＝0)＝ 2 ＝ .所以 P(X＝1)＝1－ ＝ ，
C11 11
11 11
所以 X 的分布列是
X
0
1
P
3
11
8
11
求X的
归纳总结
反思
感悟
两点分布的特点
情境导入
在迎奥运会射击比赛训练中，统计某运动员的射击结果可知，该运动员射击所
中环数均在7环(含7环)以上，已知该运动员射击一次命中7环的概率为0.1，射击一
次命中7环、8环、9环、10环的概率依次成等差数列．
思考：你能知道该运动员射击命中环数的概率分布情况吗？
提示
通过学习本节课的离散型随机变量的分布列
人教A版2019选修第三册
第 七 章 随机变量及其分布
7.2 离散型随机变量及其分布列
教学目标
1.了解随机变量及离散型随机变量的概念，并能举出离散型随机变量的例子；
2.理解离散型随机变量的分布列，会求某些简单的离散型随机变量的分布列；
3.掌握离散型随机变量的分布列的两条性质．
PART.01
01情境导入
。
通常用大写英文字母表示随机变量，例如X, Y, Z；
用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x, y, z.
概念讲解
1.随机变量的特点：
① 可以用数字表示
② 实验之前可以判断其可能出现的所有值
③ 在试验之前不可能确定取何值
2.随机变量的用途：随机变量将随机事件的结果数量化．
3. 随机变量与函数的关系
用数学工具研究随机试验中的概率问题.
例如，掷一枚质地均匀的骰子，X表示掷出的点数，则事件“掷出m点”可以表示
为{X＝m} (m=1, 2, 3, 4, 5, 6)，事件“掷出的点数不大于2”可以表示为{X≤2}，事件
“掷出偶数点”可以表示为{X＝2}∪{X＝4}∪{X＝6}，等等.
1
P ( X m ) ,m 1,2,3,4,5,6.
及其性质，我们可以很快解决此类问题．
PART.02
离散随机变量
问题提出
求随机事件的概率时, 我们往往需要为随机试验建立样本空间 , 并会涉及样本
点和随机事件的表示问题 , 类似函数在数集与数集之间建立对应关系, 如果我们在
随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应, 将不仅可以为一些随机事件的表
对应的? 变量X, Y有哪些共同的特征?
变量X，Y有如下共同点:
（1）每个样本点和一个实数一一对应。
（2）取值依赖于样本点；
（3）所有可能取值是明确的.
概念讲解
定
义
随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数
X（ω）与之对应，我们称X为随机变量。
离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量
中等
良好
优秀
1
20
2
50
3
60
4
40
5
30
从这200名学生中任意选取1人,求所选同学分数的分布列以及(≥4).
概念讲解
解：由题意知，是一个离散型随机变量，其可能取值为1,2,3,4,5,且{=1}=“不及格”,
{=2}=“及格”, = 3 = “中等”, = 4 = “良”, = 5 = “优”.
概念讲解
探究2：有些随机试验的样本空间与数值没有直接关系,可以根据问题的需要为每个样
本点指定一个数值.
随机抽取一件产品,有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果它们与数值无关.
1, 抽到次品
如果“抽到次品”用1表示,“抽到正品”用0表示,即定义： =
，
0, 抽到正品.
这个试验的样本点与实数就建立了对应关系
6
由掷出各种点数的等可能性，我们还可以得到
这一规律我们还可以用下表来表示.
X
1
2
3
4
5
6
P
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
概念讲解
定
义
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2， ‧‧‧ ，xn，我们称X取每
一个值xi的概率
P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n
为X的概率分布列，简称分布列.
概念讲解
对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，
=
，发生
ഥ ) = − ，则的分布列如表所示.
，如果() = ，(
ഥ 发生
，
X
0
1
P
1-p
p
我们称X服从两点分布或0-1分布.
实际上，X为在一次实验中成功(事件A发生的)的次数(0或1). 像购买的彩券是
否中奖，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，都可以用两点分布来描述.
对于试验2，如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，例如用tth
表示第3次才出现“正面朝上”，则样本空间Ω2＝{h, th, tth, tth, ‧‧‧}. Ω2包含
无穷多个样本点. 各样本点与变量Y的值的对应关系如下图所示.
概念讲解
思考：这两个随机试验的样本空间各是什么? 各个样本点与变量的值是如何
识，可得的分布列
0
P( X 0)
2
C3 C7
2
C10

7
1
P( X 1)
,
15
1
C3C7
2
C10

7
2
,
P( X 2)
15
2
C10
用表格表示X的分布列为，
X

0
C3 C7
0
1
2
7
15
7
15
1
15

1
15
.
归纳总结
反思
感悟
求离散型随机变量分布列时的关注点
(1)关键：搞清随机变量ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用所学知识求出
1.分布列的表示：
函数可以用解析式、表格、图象表示。离散型随机变量的分布列也可以用解析式、表
格、图象表示。
解析式法：P（X=xi）=pi,i=1,2,3…,n
图象法:
P
0 .2
表格法：
X x1 x2 … xk … xn
P p1 p2 … pk … p n
0.1
O
1
2 3
4 5
6
X
概念讲解
2.离散型随机变量的分布列的两个性质：
ξ取每一个值的概率．
(2)技巧：①对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先导出通式，从而简化过
程；②要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列
是否正确.
PART.04
课堂小结
课堂小结
（5） X取（， + ∞）内的一切值；
（6）X取（ , 内的一切值.
例题剖析
例 2.(多选)下列 X 是离散型随机变量的是( ABD
)
A．某座大桥一天经过的车辆数 X
B．在一段时间间隔内某种放射性物质放出的α粒子数 X
C.一天之内的温度 X
D．一射手对目标进行射击，击中目标得 1 分，未击中得 0 分，用 X 表示该射手在一
（3）抛掷两个骰子，所得点数之和X．
（4）接连不断地射击，首次命中目标需要的射击次数X ．
（5）某一自动装置无故障运转的时间X．
（6）某林场树木最高达30米，此林场树木的高度X ．
解析：（1）X ＝1、2、3、···、10；
（2）X＝0、1、2、3；
（3）X＝2、3、4、···、12；
（4） X＝1、2、3、···、n、···；
概念讲解
类似地,掷一枚硬币,可将试验结果“正面朝上”用1表示,“反面朝上”用0表示
随机调查学生的体育综合测试成绩,可将等级成绩优、良、中等、及格、不及格分别赋
值5.4.3.2.1;等等,
由上述例子可以得到：对于任何一个随机试验,总可以把它的每个样本点与一个
实数对应。即通过引入一个取值依赖于样本点的变量X,来刻画样本点和实数的对应
(1)相同点：样本点ω相当于函数定义域中的自变量，而样本空间Ω相当于
函数的定义域。
(2)不相同点：样本空间Ω不一定是数集
概念辨析
判断下列说法是否正确
1．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( √ )2．在离
散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范
围内各值的概率之积．(
事件是彼此互斥的．(
变量X 表示三个元件中次品数; 如果用0表示“元件为合格品”, 1表示“元件为次
品”, 用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点, 则样本空间
Ω1={000 , 001 , 010 , 100 , 011 , 101 , 110 , 111},
各样本点与变量X的值的对应关系如图所示.
概念讲解
试验2: 抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的拋掷次数.
)3．离散型随机变量的各个可能值表示的
×
)4．新生儿的性别、投篮是否命中、买到的
√
商品是否为正品，都可以用两点分布研究．(
√
)
例题剖析
例1.写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取值所表示的随机试验的结果：
（1）从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡片的号数X 。
（2）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球数X．
(1). pi 0, i 1，
2，
3，

(2). p1 p2 p3 1
例如，在掷骰子的实验中，由概率的加法公式，得事件“掷出的点数不大于2”的概率为：




P(X≤ 2)=P(X =1)+P(X =2)= + =


类似地，事件“掷出偶数点”的概率为：


P({X=2}∪{X=4}∪{X=6})=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)= .
关系,实现样本点的数量化.因为在随机试验中样本点的出现具有随机性,所以变量X
的取值也具有随机性。
概念讲解
思考：说出下列随机试验中引入的变量的取值
试验1:从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验，变量X表示
三个元件中的次品数；
对于试验1:从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行试验，
根据古典概型的知识，可得的分布列
X

1
2
3
4
5
1
10
1
4
3
10
1
5
3
20
1 3
7
( ≥ 4) = ( = 4) + ( = 5) = +
=
5 20 20
概念讲解
例6. 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台 ,B品牌7台.如果从中随机挑选2台，求这
2台电脑中A品牌台数的分布列.
解：设挑选的2台电脑中品牌的台数为,则的可能取值为0,1,2.根据古典概型的知
示带来方便, 而且能更好地利用数学工具研究随机试验.
概念讲解
探究1：有些随机试验的样本空间与数值有关系,我们可以直接与实数建立关系.
掷一枚骰子用实数(=1,2,3,4,5,6)表示“掷出的点数为”，
又如,掷两枚骰子样本空间为Ω={ (,) |,=1,2,⋯6},
用+表示“两枚骰子的点数之和”样本点(,)就与实数+对应.
(1)两点分布中只有两个可能结果，且两个结果是对立的．
(2)由对立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或
P(X＝0)).
概念讲解
例5.某学校高二年级有200名学生,他们的体育综合测试成绩分5个等级,每个等级对
应的分数和人数如下表所示.
等级
分数
人数
不及格
及格