2023年江苏省扬州市仪征市中考数学一模试卷及答案解析

2023年江苏省扬州市仪征市中考数学一模试卷
一、选择题（每题3分，本大题共有8小题，共24分）
1．（3分）体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列运算正确的是（）
A．a3⋅a3＝a9B．a3+a3＝a6C．a6÷a3＝a2D．（a3）3＝a9 3．（3分）下列说法正确的是（）
A．了解一批电视机的使用寿命适合采用普查
B．从一副扑克牌中任意抽取1张，抽到“A”是随机事件
C．要反应一周内每天气温的变化情况适宜采用扇形统计图
D．抛掷一枚硬币，正面朝上是必然事件
4．（3分）平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，3）5．（3分）二次根式中，x的取值范围是（）
A．x≥﹣1B．x＞﹣1C．x≥0D．x≠﹣1
6．（3分）一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（）
A．72°B．70°C．65°D．60°
7．（3分）下列算式中字母A、B、C各表示一个不同的数字，则字母C表示的数是（）
A．6B．8C．4D．9
8．（3分）如图，△ABC中，∠B＝90°，，点D是AB的中点，点E在线段AC
上，，则的值为（）
A．或B．C．或D．或
二、填空题（每题3分，本大题共有10小题，共30分．）
9．（3分）2023的相反数是．
10．（3分）北京时间2022年6月5日，“神舟十四号”3名航天员顺利进驻中国空间站的“天和”核心舱．若“天和”核心舱的运行速度约为7680m/s，将“7680”这个数字用科学记数法表示为．
11．（3分）分解因式：2x2﹣4x+2＝．
12．（3分）在对某样本进行方差计算时，计算的公式是：
，该样本的样本容量是．13．（3分）一个圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，则此圆锥的侧面积为．14．（3分）一元二次方程x2﹣2x+k＝0的两根是x1和x2，则x1•x2的最大值为．15．（3分）明代的《算法统宗》中有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为．
16．（3分）如图，将一个三角板放在⊙O上，使三角板的一直角边经过圆心O，测得AC＝
8cm，AB＝4cm，则⊙O的半径长为cm．
17．（3分）如图，直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，点E是边AC上一点，将BE绕点B顺时针旋转60°到点F，则CF长的最小值是．
18．（3分）如图，将反比例函数的图象绕原点O逆时针旋转45°得到曲线C2，点A是曲线C2上的一点，点B在直线y＝x上，连接AB、OA，若AB＝OA，则△AOB的面积为．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤）
19．计算：
（1）；（2）．
20．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
21．为了解决杨树花絮污染环境的难题，某公司引进优秀专利品种，建立新树种实验基地，研究组在甲、乙两个实验基地同时播下新树种，同时随机各抽取20株树苗，记录下每株树苗的长度（单位：cm），进行整理、描述和分析（用x表示树苗长度，数据分成5组：A．20≤x＜30；B．30≤x＜40；C．40≤x＜50；D．50≤x＜60；E．x≥60，50cm及以上为优等），下面给出了部分信息：
【数据收集】甲实验基地抽取的20株树苗的长度：28，29，32，34，38，40，42，45，46，51，51，52，54，55，55，55，55，57，60，61．
乙实验基地抽取的20株树苗中，A、B、E三个等级的数据个数相同，C组的所有数据是：42，43，46，49，49．
【数据整理】
甲实验基地抽取的树苗长度统计表
x频数频率
A20.1
B a0.15
C40.2
D90.45
E20.1【数据分析】
基地平均数众数中位数E组所占百分比
甲47b5110%
乙4756c m%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝，b＝，c＝，m＝；
（2）根据上述数据分析，你认为甲、乙两基地哪个基地的树苗好？请说明理由（写出一
条理由即可）；
（3）请估计2000棵乙基地的树苗为优等的树苗有多少棵？
22．为了给世园会增添文化底色，市政府举办“非物质遗产”进景区活动．其中“A，真州金画”“B，雨花石彩绘”“C，绒线钩织技艺”“D，绿杨春茶艺制作技艺”四个非遗项目都进驻了景区市集，小明和小刚两位同学计划利用周末参加社会实践活动，选择上面四个项目中的一项进行采访，了解该项目的发展历程和文化价值，
（1）小明选择“雨花石彩绘”项目的概率是；
（2）用画树状图或列表的方法，求小明和小刚恰好选择同一项目采访的概率．
23．春回大地万物苏，植树添绿正当时．今年某市造林绿化目标是完成3200亩，净增造林200亩，建设绿美村庄10个，为响应政府号召，某村计划在荒坡上种树960棵，由于青
年志愿者的支援，实际每天种树的棵数是原计划的倍，结果提前4天完成任务，原计划每天种树多少棵？
24．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是矩形？
请写出证明过程．
25．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，且∠BAD
＝60°．
（1）求∠DAC的度数；
（2）若DC长为3，求⊙O的半径长．
26．【尺规作图】在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图1，连接AD，若AD是△ABC的中线，请作出点F，使AD平分线段EF；
（2）如图2，当EF⊥AC时，请作出点D，使∠EDF＝90°；
【方案设计】如图3，在问题（2）中，如果符合条件的点D有且仅有一个，请设计画图方案，画出图形．（无需尺规作图）
27．已知二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x﹣4（m＞0）．
（1）若该函数图象经过点（﹣1，0），①求m的值；②求y的最小值；
（2）当﹣2＜x＜3时，y随x的增大而减小，①求m的取值范围；②证明：y＜0．
28．已知菱形ABCD中，点E是对角线AC上一点，点F是边AD上一点，连接EF、BE、CF．
【特例探究】：（1）如图1，若∠ABC＝60°且EF∥CD，线段BE、CF满足的数量关系是；
（2）如图2，若∠ABC＝90°且EF⊥AC，判定线段BE、CF满足的数量关系，并说明理由；
【一般探究】（3）如图3，根据特例的探究，若∠BAC＝α，AE＝EF，请求出的值（用含α的式子表示）；
【发现应用】（4）如图3，根据“一般探究”中的条件，若菱形边长为1，，点F在直线AD上运动，则△CEF面积的最大值为．
2023年江苏省扬州市仪征市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，本大题共有8小题，共24分）
1．【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【解答】解：A．图形不是轴对称图形，不符合题意；
B．图形不是轴对称图形，不符合题意；
C．图形是轴对称图形，符合题意；
D．图形不是轴对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
2．【分析】A、根据同底数幂的乘法法则（同底数幂的乘法法则：底数不变指数相加）去判断；
B、根据合并同类项法则（同类项法则：系数相加字母及指数不变）去判断；
C、根据同底数幂的除法法则（同底数幂的除法法则：底数不变指数相减）去判断；
D、根据幂的乘方法则（幂的乘方法则：底数不变指数相乘）去判断．
【解答】解：A．a3⋅a3＝a6，故此项错误，不符合题意；
B．a3+a3＝2a3，故此项错误，不符合题意；
C．a6÷a3＝a3，故此项错误，不符合题意；
D．（a3）3＝a9，故此项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了幂的乘方与合并同类项，同底数幂的乘法与除法，解答本题的关键在于熟练掌握各知识点的概念和运算法则．
3．【分析】根据抽样调查，全面调查（普查）的概念，随机事件的概念，必然事件的概念，统计图的相关知识即可求解．
【解答】解：A选项，不适合用普查，故A选项错误，不符合题意；
B选项，一副扑克牌中抽到“A”，是随机事件，故B选项正确，符合题意；
C选项，扇形统计图可以看出对象的百分比，气温变化情况复杂，不宜用扇形统计图，故C选项错误，不符合题意；
D选项，是随机事件，故D选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查数学中重点概念问题，理解定义，概念的含义是解题的关键．4．【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．【解答】解：点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3）．
故选：C．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
5．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x+1≥0，
解得，x≥﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
6．【分析】如图，由∠1＝45°+∠3，∠2＝30°+∠4，∠3＝∠4，可得∠1﹣45°＝∠2﹣30°，计算求解即可．
【解答】解：如图，
∵∠1＝45°+∠3，∠2＝30°+∠4，∠3＝∠4，
∴∠1﹣45°＝∠2﹣30°，
即80°﹣45°＝∠2﹣30°，
解得：∠2＝65°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，对顶角相等，掌握角度之间的数量关系是解题的关键．
7．【分析】由题意知，CCC被6整除，则可得CCC为偶数222或444或666或888，再结合已知条件可得答案．
【解答】解：由题意知，CCC被6整除，
∴CCC为偶数222或444或666或888，
∵222＝6×37，444＝6×74，666＝6×111，888＝6×148，字母A、B、C各表示一个不同的数字，
∴A＝1，B＝4，C＝8．
故选：B．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．【分析】由题意可得，因此取AC的中点E1，连接DE1，满足，此时；在AC上取一点E2，使DE1＝DE2，过点D作DF⊥AC，根据平行线的性质和
三角形内角和定理可推出∠FDE1＝∠A，于是得到tan∠FDE1＝tan A＝，设E1F＝E2F ＝a，则E 1E2＝2a，再根据an∠FDE1＝求出DF＝2a，根据勾股定理求出，
则BC＝，AB＝a，再根据勾股定理求出AC＝10a，则AE1＝5a，AE2＝AE1
﹣E1E2＝3a，得到．
【解答】解：∵点D为AB的中点，
∴AD＝BD＝，
∴，
如图，取AC的中点E1，连接DE1，
则DE1是△ABC的中位线，
∴DE1∥BC，，
此时，；
如图，在AC上取一点E2，使DE1＝DE2，过点D作DF⊥AC，
∵DE1＝DE2，
∴△AE1E2为等腰三角形，
∴E1F＝E2F，
∵DE1∥BC，∠B＝90°，
∴∠C＝∠DE1F，∠A+∠C＝90°，
∵∠FDE1+∠DE1F＝90°，
∴∠FDE1＝∠A，
∴tan∠FDE1＝tan A＝，
设E1F＝E2F＝a，则E1E2＝2a，
在Rt△DFE1中，tan∠FDE1＝，
∴DF＝2a，
在Rt△DFE1中，＝，
∴BC＝2DE1＝，
在Rt△ABC中，tan A＝，
∴AB＝2BC＝a，
在Rt△ABC中，，
∴AE1＝＝5a，
∴AE2＝AE1﹣E1E2＝3a，
∴．
综上，的值为或．
故选：A．
【点评】本题考查三角形中位线的判定与性质、平行线的性质、解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理，理清题意，找出DE所存在的两种情况是解题关键．
二、填空题（每题3分，本大题共有10小题，共30分．）
9．【分析】由相反数的概念即可解答．
【解答】解：2023的相反数是﹣2023．
故答案为：﹣2023．
【点评】本题考查相反数的概念，关键是掌握：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．
10．【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：7680＝7.68×103．
故答案为：7.68×103．
【点评】本题主要考查了科学记数法，掌握形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数是关键．
11．【分析】先提取公因数2，再利用完全平方公式进行二次分解．a2±2ab+b2＝（a±b）2．【解答】解：2x2﹣4x+2，
＝2（x2﹣2x+1），
＝2（x﹣1）2．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．
12．【分析】根据方差的计算公式求出样本容量．
【解答】解：∵公式，
∴它的样本容量是10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了方差公式中各字母的意义，一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差．
13．【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式可计算出此圆锥的侧面积．
【解答】解：根据题意得此圆锥的侧面积＝×2π×1×3＝3π．
故答案为：3π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14．【分析】根据一元二次方程根的判别式，根与系数的关系即可求解．
【解答】解：∵方程x2﹣2x+k＝0有两个根是x1和x2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4k≥0，x1•x2＝k，
解得：k≤1，
∴x1•x2的最大值为1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键．
15．【分析】根据“好酒数量+薄酒数量＝19和喝好酒醉倒人数+喝薄酒醉倒人数＝33”可列方程组．
【解答】解：根据题意，可列方程组为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是掌握理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
16．【分析】延长CA交⊙O于D，连接CB、DB，如图，利用圆周角定理得到∠CBD＝90°，根据等角的余角相等得到∠D＝∠CBA，则可判断△ABD∽△ACB，利用相似比可计算出AD＝2，然后计算出CD＝10，从而得到⊙O的半径长．
【解答】解：延长CA交⊙O于D，连接CB、DB，如图，
∵CD为直径，
∴∠CBD＝90°，
∴∠BAC＝90°，
∴∠D＝∠CBA，
∴△ABD∽△ACB，
∴AD：AB＝AB：AC，即AD：4＝4：8，
∴AD＝2cm，
∴CD＝10cm，
∴⊙O的半径长为5cm，
故答案为：5．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
17．【分析】取AB的中点D，连接DE，过点D作DH⊥AC于点H，可证得△BCF≌△BDE
（SAS），得出CF＝DE，当且仅当DE⊥AC，即点E与点H重合时，DE＝DH＝AD＝2为DE的最小值，即可得出CF的最小值为2．
【解答】解：取AB的中点D，连接DE，过点D作DH⊥AC于点H，
则AD＝BD＝AB，∠AHD＝∠ACB＝90°，
∵∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝8，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
由旋转得：BF＝BE，∠EBF＝60°，
∴∠EBC+∠CBF＝60°，
∵∠EBC+∠DBE＝60°，
∴∠CBF＝∠DBE，
∵AD＝BD＝AB＝4，
∴BC＝BD，
∴△BCF≌△BDE（SAS），
∴CF＝DE，
当且仅当DE⊥AC，即点E与点H重合时，DE＝DH＝AD＝2为DE的最小值，∴CF的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了直角三角形性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离垂线段最短等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
18．【分析】将直线y＝x和曲线C2绕点O顺时针旋转45°，则直线y＝x与x轴重合，曲线C2与曲线C1重合，即可求解．
【解答】解：若将直线y＝x和曲线C2绕点O顺时针旋转45°，
则直线y＝x与x轴重合，曲线C2与曲线C1重合，
∴旋转后点A落在曲线C1上，点B落在x轴上，
设点A，B的对应点分别是A'，B'，
过点A'作A′D⊥x轴于点D，连接OA'，A'B'．
∵AB＝OA，
∴A'B'＝OA'，
∴B'D＝DO，
＝S△A′OB′＝2S△OA′D＝2×＝6；
∴S
△AOB
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，体现了直观想象、逻辑推理的核心素养．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤）
19．【分析】（1）根据负整数指数幂、特殊角的三角函数、二次根式化简即可得到答案；
（2）先进行同分母分式加减法，再约分即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝3；
（2）原式＝
＝
＝
＝x+y．
【点评】本题考查了分式的加减法，涉及到负整数指数幂、特殊角的三角函数、二次根式化简、平方差公式，熟练运用所学公式是解题关键．
20．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可．
【解答】解：，
解不等式①得x＞﹣1，
解不等式②得x≤2，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
解集在数轴上表示如图．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”
的原则是解答此题的关键．
21．【分析】（1）用总数20乘B组的频率可得a的值；根据众数、中位数的意义求解即可得b，c的值；用1分别减去C、D两组所占百分百，然后除以3可得m的值；
（2）根据平均数中位数、众数、中位数以及方差的意义解答即可；
（3）用2000棵乘样本中乙基地的树苗为优等所占比例即可．
【解答】解：（1）由题意得，a＝20×0.15＝3；
甲实验基地抽取的20株树苗的长度中，55出现的次数最多，故众数b＝55；
把乙实验基地抽取的20株树苗的长度从小到大排列，排在中间的两个数分别是49、49，故中位数c＝＝49；
m%＝（1﹣30%﹣）＝15%，故m＝15．
故答案为：3，55，49，15；
（2）甲基地的树苗好，理由如下：
因为两个基地的树苗长度的平均数相同，但甲基地的中位数大于乙基地，所以甲基地的树苗好（答案不唯一）．
（3）2000×（30%+15%）＝900（棵），
答：估计2000棵乙基地的树苗为优等的树苗约有900棵．
【点评】本题考查频数分布表，扇形统计图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数、样本估计总体的方法是正确求解的前提．
22．【分析】（1）直接根据概率公式计算，即可求解；
（2）根据题意，列出表格可得一共有16种等可能结果，其中小明和小刚恰好选择同一项目采访的有4种，再根据概率公式计算，即可求解．
【解答】解：（1）小明选择“雨花石彩绘”项目的概率是；
故答案为：
（2）根据题意，列出表格如下：
A B C D
A A、A B、A C、A D、A
B A、B B、B C、B D、B
C A、C B、C C、C D、C
D A、D B、D C、D D、D
一共有16种等可能结果，其中小明和小刚恰好选择同一项目采访的有4种，
所以小明和小刚恰好选择同一项目采访的概率为．
【点评】本题主要考查了利用列表法或树状图法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
23．【分析】利用的关系式，根据题意列分式方程求解即可．【解答】解：设原计划每天种树x棵，
由题意得：，
解得：x＝60，经检验x＝60是原分式方程的解，
答：原计划每天种树60棵．
【点评】本题考查了分式方程的实际应用，根据工作时间的关系正确列出方程是解题关键，易错点是不检验导致错误．
24．【分析】（1）由ASA证△ABE≌△CDF即可；
（2）由（1）可知，∠CAE＝∠ACF，则AE∥CF，再由全等三角形的性质得AE＝CF，则四边形AECF是平行四边形，然后由等腰三角形的在得∠AEC＝90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵AE平分∠BAC、CF平分∠ACD，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，∠DCF＝∠ACF＝∠ACD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；
（2）解：当△ABC满足AB＝AC时，四边形AECF是矩形，理由如下：
由（1）可知，∠CAE＝∠ACF，
∴AE∥CF，
∵△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
25．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠CAO，得到答案；
（2）连接BC，根据垂直的定义得到∠D＝90°，根据直角三角形的性质得到AC＝2CD ＝6，根据圆周角定理得到根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
又∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠CAO＝∠BAD＝30°；
（2）连接BC，
∵AD⊥CD，
∴∠D＝90°，
∵∠CAD＝30，CD＝3，
∴AC＝2CD＝6，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴AB＝，
∴⊙O的半径长为2．
【点评】本题考查的是切线的性质，解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
26．【分析】（1）作∠AEF＝∠B，EF交AC于点F，线段EF即为所求；
（2）作线段EF的垂直平分线，垂足为O，以O为圆心，OE为半径作弧交BC于点D，连接DE，DF，点D即为所求；
（3）作∠ACB的角平分线CT，过点B作BK⊥AC于点K，取BK的中点J，连接AJ交CT于度数O，故点O作EF⊥AC于点E，OD⊥BC于点D，线段EF，点D即为所求．【解答】解：（1）如图1中，线段EF即为所求；
（2）如图2中，点D即为所求；
（3）如图3中，点D即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是理解题意掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
27．【分析】（1）①将点（﹣1，0）代入y＝mx2﹣（2m+1）x﹣4即可求得m的值；②运用配方法求得最值即可；
（2）①先根据解析式确定抛物线的开口方向和对称轴，然后根据“当﹣2＜x＜3时，y 随x的增大而减小”列不等式并结合m＞0即可解答；②由“当﹣2＜x＜3时，y随x的增大而减小”可知当x＝﹣2时，y有最大值，然后再说明最大值小于等于零即可证明结论．
【解答】解：（1）①∵二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x﹣4过点（﹣1，0），
∴0＝m+2m+1﹣4，
解得：m＝1；
②当m＝1时，，
∴当时，y的最小值为；
（2）①∵y＝mx2﹣（2m+1）x﹣4（m＞0），
∴函数图象抛物线开口向上，对称轴为，
∵当﹣2＜x＜3时，y随x的增大而减小，
∴，
解得：，
∵m＞0，
∴m的取值范围；
②∵y＝mx2﹣（2m+1）x﹣4在﹣2＜x＜3时，y随x的增大而减小，
∴当x＝﹣2时，y有最大值，即y＝4m+4m+2﹣4＝8m﹣2，
∵x≠﹣2，
∴y＜8m﹣2，
∵，
∴8m≤2，
∴8m﹣2≤0，
即y＜0．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质、配方法、二次函数的性质等知识点，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
28．【分析】（1）证明△ABE≌△ACF（SAS），即可得出结论；
（2）证明△ABE∽△ACF，即可得出结论；
（3）过点B作BO⊥AC于点O，先证明△ABC∽△AEF，得到，再证明△ABE ∽△ACF，得到，推出AC＝2AB•cosα，即可得出结论；
（4）连接BD交AC于点O，过点E作EH⊥AD于点H，由（3）推出∠EFA＝∠DAC＝
，S△AEF，根据△ABE∽△ACF，得到∠BAC＝30°，设AE＝x，则EF＝x，求出S
△ABE
，进而求出，利用二次函数的性质，
求出最值即可得出结果．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠DAC＝∠BAC＝60°，
∵EF∥CD，
∴∠AFE＝∠ADC＝60°，
∴△AEF是等边三角形，∠BAE＝∠CAF＝60°，
∴AE＝AF，
在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴BE＝CF；
故答案为：BE＝CF，
（2），理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，，
∵EF⊥AC，
∴，
∴，
∴△ABE∽△ACF，
∴，
∴；
（3）如图3，过点B作BO⊥AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAC＝α，
∴AB＝BC，∠DAC＝∠BAC＝∠ACB＝α，
∵AE＝EF，
∴∠AFE＝∠DAC＝α，
∴△ABC∽△AEF，
∴，
又∵∠DAC＝∠BAC＝α，
∴△ABE∽△ACF，
∴，
∵AB＝BC，BO⊥AC，
∴AC＝2AO，AO＝AB•cos∠BAC，
∴AC＝2AB•cosα，
∴＝＝2cosα，
（4）如图4，连接BD交AC于点O，过点E作EH⊥AD于点H，由（3）可得：△ABE∽△ACF，，∠EAF＝∠EFA，
∴，
∴，
∴∠EFA＝∠DAC＝∠BAC＝30°，
设AE＝x，则EF＝x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴，
＝AE•BO＝x•＝x，
∴S
△ABE
∵AE＝EF＝x，∠DAC＝30°，EH⊥AD，
∴，AF＝2AH，
∴，
＝AF•EH＝×x•x＝x2；
∴S
△AEF
∵△ABE∽△ACF，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
有最大值：．
∴当时，S
△CEF
故答案为：．
【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形以及利用二次函数的性质求最值．本题的综合性强，难度大，属于中考压轴题．熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键。