平面向量基本概念及易错题解析

1、向量有关概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量， 叫做向量。注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；

（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量

叫做单位向量(与AB

共线的单位向量是||

AB AB ± )；

（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个

向量叫相等向量，相等向量有传递性；

（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行

向量无传递性！（因为有0

)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC

、

共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。

如下列命题：（1）若

a b =

，则a b =

。（2）两个

向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相

同。（3）若A B D C =

，则A B C D 是平行四边形。（4）若

A B C D 是平行四边形，则AB DC =

。

（5）若,a b b c == ，则a c = 。（6）若//,//a b b c ，则//a c

。其中正确的是_______（答：（4）（5））

2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可

表示为(),a xi y j x y =+=

，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

3、平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一

向量a ，有且只有一对实数1

λ、2λ，使a =1λe 1＋2

λe 2。

（1）若(1,1),a b == (1,1),(1,2)c -=- ，则c =

______

（答：1322

a b -

）；

（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是

A. 1

2

(0,0),(1,2)e e ==- B. 1

2

(1,2),(5,7)e e =-=

C. 1

2

(3,5),(6,10)e e == D. 1213

(2,3),(,)24

e e =-=- （答：B ）；

（3）已知,AD BE

分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且

,AD a BE b == ,则BC

可用向量,a b 表示为_____

（答：243

3

a b +

）；

（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→

−−→−=DB CD 2，−→

−−→

−−→

−+=AC

s AB r CD ，则s r +的值是___（答：0）

4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：

()()1,2a a λλ=

当λ>0时，

λ的方向与的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，

0a λ=

，注意：λa ≠0。

5、平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作,OA a OB b ==

，AOB θ∠=

()0θπ≤≤称为向量，的夹角，

当θ＝0时，，同向，当θ＝π时，，反向，当θ＝2

π时，，垂

直。

（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量

a ，

b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ

叫做与的数量积（或内积或点积），记作：∙，即∙＝cos a b θ

。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。 （1）△ABC 中，3||=−→

−AB ，4||=−→

−AC ，5||=−→

−BC ，则=⋅BC AB _________（答：－9）；

（2）已知11(1,),(0,),,2

2

a b c a kb d a b ==-=+=-

，c 与d 的夹

角为4

π，则k 等于____（答：1）；

（3）已知

2,5,3a b a b ===- ，3-=⋅→→b a ，则a b

+

等于____

；

（4）已知,a b

是两个非零向量，且a

b a b ==-

，则

与a a b +

的夹角为____（答：30 ）

（5）已知3||=→

a ，5||=→

b ，且12=⋅→→b a ，则向量→

a 在向量→

b 上的投影为______（答：5

12）

（4）∙的几何意义：数量积∙等于的模||a

与在上的投影的积。

（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，b ，其夹角为θ，则：

①0a b a b ⊥⇔∙=

；

②当，同向时，∙＝a b

，特别地，

22,a a a a a =∙== ；当a 与b 反向时，a ∙b ＝－a b

；

当θ为锐角时，∙＞0，且 a b 、

不同向共线，0a b ⋅> 是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，∙＜0，且 a b 、

不反向共线，0a b ⋅<

是θ为钝角的必要非充分条件；

③非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos a b

a b

θ∙= ；

④||||||a b a b ∙≤

。

如（1）已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→

b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______（答：4

3

λ<-或0λ>且13

λ≠）；

6、向量的运算：

（1）几何运算：