高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.6 微积分基本定理要点讲解素材 新人教A版选修2-2

定积分和微积分要点讲解
一、定积分的概念
教材上从求曲边梯形的面积和变速运动的路程出发引入了定积分的概念：如果函数
()f x 在区间[],a b 上是连续的，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=L L 将区间
[],a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ（1,2,,i n =L
），作和式
()()1
1
n
n
i i i i b a
f x f n
ξξ==-∆=∑
∑
，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[],a b 上的定积分，记作
()b
a
f x dx ⎰
，即()()1
lim n
b
i a
n i b a
f x dx f n
ξ→∞
=-=∑
⎰． 对这个概念我们应从如下几个方面进行理解
１．对区间[],a b 分割的绝对任意性：在定义中我们将区间[],a b 进行等分是为了计算上的方便，实际上对区间[],a b 的分割是任意的，这时只要这些区间中长度最大的区间的长度趋向于零即可．
２．在每个小区间[]1,i i x x -上取点的绝对任意性：在教材上的两个例题是为了计算的方便将点取小区间[]1,i i x x -的端点，实际上我们可以在区间[]1,i i x x -上任意取点，如取中点等．
３．当n →∞时，和式
()()1
1
n
n
i i i i b a
f x f n
ξξ==-∆=∑
∑
无限接近某个常数的唯一确定性．它不依赖于对区间[],a b 的分割方法，也不依赖于在每个小区间[]1,i i x x -上取点的方式．即
()b
a
f x dx ⎰是一个客观上存在的仅仅依赖于积分上下限和被积函数的唯一确定的常
数．同时它也与积分变量无关，即
()()b b
a
a
f x dx f t dt =⎰⎰．
４．数学思想上的划时代意义．产生定积分概念的＂以直代曲＂＂以匀速代变速＂和＂无限逼近＂的数学思想，使人类在认识数学世界的观念上有了重大突破，在数学的发展史上具有重大意义．我们要仔细理解体会这种思想，可以说这才是我们在高中阶段学习定积分的真正目的．例如在求曲边梯形的面积的课本例１中，我们把区间[]0,1等分成n 个小区间，在每个小区间上＂以直代曲＂就将曲边问题转化为直边问题，随着n 的增大这些小区间的宽
度越来越小，这时在每个小区间上直边形的面积已经和曲边形的面积非常接近，我们就可以以这些小直边形的面积之和近似代替曲边形的面积，而当n →∞时这些小直边形就几乎变成了线段，这时小直边形的面积几乎就等于小曲边形的面积，这无穷个几乎变成了线段的直边形的面积之和就是所求的曲边形的面积了．我们常说＂线动成面＂，对课本例１，我们也可以这样形象的理解：就将小直边形的宽度变成零，使其成为线段，这时小直边形和小曲边形的就完全重合了，而将这些线段从0到1运动就形成了()2f x x =，1x =， x 轴所围成的曲边形，将这些线段的＂面积＂积累起来就是所求的曲边形的面积． 二、微积分基本定理的应用
作变速直线运动的物体如果其运动方程是()S t ，那么该物体在时间区间[],a b 内通过的路程是()()S b S a -，另一方面由导数的物理意义，该物体在任意时刻的瞬时速度为
()()'S t s t =，我们把该物体运动的时间区间[],a b 无限细分，在每个小时间段上，将其速
度看作匀速，就能求出该物体在每个小时间段上通过的路程，将这无限个小时间段上的路程加起来，就是该物体在时间区间[],a b 上通过的路程，由定积分的定义可知，这个数值是()b
a
s t dt ⎰．由此可知()()()()'
b
b
a
a
S t dt s t dt S b S a ==-⎰⎰．一般地有如下结论：
如果()f x 是[],a b 上的连续函数，并且有()()F x f x '=，则
()()()b
a
f x dx F b F a =-⎰．这就是微
积分基本定理，是微积分学最为辉煌的定理，是数学发展史的一个重要里程碑，利用这个定理可以很方便的计算定积分，其关键是找到一个函数使其导数等于被积函数，下面举例说明它在计算定积分上的应用．
例１ 计算定积分()1
x
x e
e dx --⎰
分析：()
'
x x e e =，()'
x x e e --=-，故()'
x x x x e e e e --+=-．
解：
()()1
1
'
1
1
2x
x
x
x x
x e
e
dx e
e
dx e
e e e
---⎡⎤-=+=+=+-⎣⎦
⎰⎰．
点评：关键是找()F x ，使()'
x x
F x e e -=-，可以通过求导运算求探求．
例２ 计算定积分2
20cos sin 22x x dx π
⎛
⎫- ⎪⎝
⎭⎰．
分析：被积函数比较复杂，我们可以先化简，再探求．由于
2
22cos sin cos 2cos sin sin 1sin 222222x x x x x x x ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝
⎭，而'1x =，()cos 'sin x x =-，故()2
cos '1sin cos sin 22x x x x x ⎛⎫
+=-=- ⎪⎝
⎭．
解：
()()[]2
'2222
000cos sin 1sin cos cos 221
2
x x dx x dx x x dx x x π
ππ
ππ
⎛⎫-=-=+=+ ⎪⎝⎭=
-⎰⎰⎰
点评：被积函数较为复杂时要先化简在求解． 掌握如下的定积分计算公式对解题是有帮助的．①
111
b
m m a
b x dx x
a m +=
+⎰
（,1m Q m ∈≠-），②
1ln b
a
b dx x a x =⎰
，③b x x a b e dx e a =⎰，④ln x n x
m n a a dx m
a =
⎰，⑤cos sin b
a
b xdx x
a
=⎰
，⑥
()sin cos b
a
b
xdx x a
=-⎰．例如 例３ 计算定积分
()1
2
23x x dx -⎰
．
分析：先展开再利用上面的定积分公式． 解：
()
1
2
2
3
x
x dx -⎰=()1
04269x
x
x
dx -⋅+⎰=1
46920ln 4
ln 6ln 9x x x ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭ 3108
ln 4ln 6ln 9
=
-+
． 点评：根据定积分公式结合定积分的运算性质是计算定积分的根本．
从上面不难看出利用微积分基本定理计算定积分比用定义计算要方便的多，在实际解题中要注意对被积函数的化简展开以及有意识的利用定积分的三条运算性质，以起到化难为易的作用．
三、定积分的三条性质
根据定积分的定义不难得到定积分的三条性质 性质1．常数因子可提到积分号前，即：
()()b
b
a
a
kf x dx k f x dx =⎰
⎰（k 为常数）；
性质2．代数和的积分等于积分的代数和： 即：
()()()()b
b b
x a
a a f x g x dx f x d g x dx ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰；
性质3．（定积分的可加性）如果积分区间[],a b 被点c 分成两个小区间[],a c 与[],c b ， 则：
()()()b
c d
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+⎰
⎰⎰。

这三条性质为我们计算定积分带来了很大的方便，下面举例说明． 例4 计算定积分
1
0431x dx x ⎛
⎫+ ⎪+⎝
⎭⎰． 分析：根据定积分的性质２知道1
11000443311x dx xdx dx x x ⎛
⎫+=+ ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰，再根据性质１
1
1111000004413334111x dx xdx dx xdx dx x x x ⎛
⎫+=+=+ ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰，下面只需根据微积分基本定理计算即可．
解析：
()1
111100000211
00
4413334111334ln 14ln 222x dx xdx dx xdx dx x x x x x ⎛⎫+=+=+ ⎪+++⎝⎭=⋅+⋅+=+⎰⎰⎰⎰⎰． 点评：微积分基本定理结合定积分的性质是我们计算定积分的主要方法．
例5 计算定积分
22
sin xdx π
⎰
．
分析：利用微积分基本定理计算的话，我们就要找到一个函数，使其导数等于2
sin x ，这个函数不好找，为此我们对被积函数进行变形2
1cos 2sin 2
x
x -=
，而()'
sin 22cos 2x x =，即'
sin 2cos 22x x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，再根据定积分的性质和微积分基本定理加以
解决．
解析：
2
222
20
00
220
1cos 211sin 1cos 222211sin 2222
4
x xdx dx dx xdx x x π
π
ππ
πππ
-==-=
⋅-⋅=
⎰
⎰
⎰⎰．
点评：在计算三角函数的定积分时，进行恰当的三角恒等变换往往能起到意想不到的作用．
例6 计算定积分
2
20
1x dx -⎰
．
分析：由于在[]0,1上2211x x -=-，而在[]1,2上2211x x -=-，我们不能直接在
[]0,2上计算该定积分，为此我们可以用定积分的性质３和性质２结合微积分基本定理进行
计算．
解析：
2
1
2
1
2
2
2
2
2
20
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1111(1)(1)17
11112
33
x dx x dx x dx x dx x dx
dx x dx x dx dx -=-+-=-+-=-+-=-+-=⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
点评：含有绝对值的函数实际上是分段函数，我们可以根据积分区间的可加性，将其转化为各段上的定积分再进行计算．
从上面不难看出，合理地使用定积分的三条性质，再结合微积分基本定理就能使我们在进行定积分计算时得心应手，如鱼得水，使看似复杂的定积分计算变得简单起来．。