2020年内蒙古包头高三一模数学试卷(文科)

2020年内蒙古包头高三一模数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.设集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
2.已知是虚数单位，若，则（ ）．
A. B. C. D.
3.设等差数列的前项和为，若，，则（ ）．
A. B. C. D.
4.已知实数，满足，则的最大值为（ ）．
A.
B.
C.
D.
5.已知角的终边与单位圆交于点，则等于（ ）．
A.
B.
C.
D.
6.下列说法正确的是（ ）．
A.“若，则”的否命题是“若，则”
B.在中，“”是“”成立的必要不充分条件
C.“若，则”是真命题
D.存在，使得成立
7.在直三棱柱中，已知，，，则异面直线与
所成的角为（ ）．
A.
B.
C.
D.
8.当时，函数的图象大致是（ ）．
A.
B.
C.
D.
9.小张家订了一份报纸，送报人可能在早上~之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时
间在早上~之间．用表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为
，小张离开家的时间为，看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件的概率等于（ ）．
A.
B.
C.
D.
10.已知直线过抛物线：的焦点，且直线与的对称轴垂直，与交于，两点，
，为的准线上的一点，则的面积为（ ）．
A.
B.
C.
D.
11.在中， 为边上的中点，且，，，则（
）．
A.
B.
C.
D.
12.设是定义城为 的偶函数，且在单调递增，，，则（
）．
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知点是双曲线线渐近线上的一点，则双曲线的离心率为 ．
14.已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为
的正方形，则该圆柱的体积为 ．
15.正项等比数列
满足
，且
，
，
成等差数列，则
取得最小值时的
值为 ．
16.已知函数恰好有个不同的零点，则实数
的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）
（
1）（2）17.在中，角，
，的对边分别为，，，且 ．
求角的大小．已知
的外接圆半径
，且
，求
的周长．
（1）（2）18.每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以交通业为例，当天气太冷时，不少人都会选择利用手机上的打车软件在网上预约出租车出行，出租车公司的订单数就会增加．下表是某出租车公司从出租车的订单数据中抽取的天的日平均气温（单位：
）与网上预约出租车订单数（单位：份）：
日平均气温（
）
网上预约订单数
经数据分析，一天内平均气温（
）与该出租车公司网约订单数（份）成线性相关关系，
试建立关于的回归方程，并预测日平均气温为时该出租车公司的网约订单数．
天气预报未来天有天日平均气温不高于
，若把这天的预测数据当成真实的数据，根
据表格数据，则从这天中任意选取天，求恰有天网约订单数不低于份的概率．
附：回归直线
的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：
，
．
19.如图，点是以为直径的圆上异于、的一点，直角梯形
所在平面与圆所在平面
垂直，且
，
，
，
．
C
A
B
O
D
E
（1）（2）证明：
平面
．求点到平面
的距离．
（1）（2）（3）20.已知函数
的图象在
处的切线方程是
．
求，的值．若函数
，讨论的单调性与极值．
证明：
．
（1）（2）
21.已知椭圆的右焦点为
，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线
段长为
，且
与短轴两端点的连线相互垂直．
求椭圆的方程．若圆上存在两点
，
，椭圆上存在两个点，
满足：
，
，
三点
共线，，
，
三点共线，且
，求四边形
面积的取值范围．
：
：四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）
（1）（2）22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，直线的参数方程为
（
为参数）．直线与曲线交于
，两点．
写出曲线
的直角坐标方程和直线的普通方程．设
，若
，
，
成等比数列，求
的值．
（1）23.已知函数，
.
当
时，解关于的不等式
．
【答案】
解析:
，
，
∴．
故选．
解析:
由可知，
，
∴．
故选．
解析:
在等差数列中，首项为，公差为，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选．
解析:
如图所示阴影部分为约束条件所表示的可行域，
（2）若对任意，都存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．A
1.
A
2.
D
3.
B
4.
x
–1
1
2
y
–1
1
O 目标函数可化为，
其中
为直线
的纵截距，当纵截距最大时，最大，
故平移直线至点时，纵截距最大，
∵，
∴．
故选．解析:
∵角的终边与单位圆交于点
，
∴，即
，
∴，
，
∴．
故选．解析:方法一：
平面
，且为直三棱柱，，
∴可如图建立空间直角坐标系，
B 5.
C 6.C 7.
，
，，，
，
，
∴
，
∴异面直线与所成角为．
故选．方法二：连接
，
，
可知为异面直线与所成的角．
∵为直角三角形，且，
，，
∴
，得．
即异面直线与
所成的角为．
故选．解析:由函数，
则
，
B 8.
令，，
∴，
∴有两不同的根，可设为
，，
不妨设，
则当或时，
，
当时，
，
∴有两极值点，故排除，，
又∵当时，
，
，∴此时，故排除．
故选．解析:
设送报人到达的时间为，小明爸爸离家去工作的时间为，记小明爸爸离家前能看到报纸为事件；以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示小明爸爸离家时间，建立平面直角坐标系，小明爸爸离家前能得到报纸的事件构成区域如图示
离家时间
报纸送达时间
由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．
根据题意，只要点落到阴影部分，就表示小明爸爸在离开家前能得到报纸，即事件发生，所以;
故选：．解析:
设抛物线的解析式为（
），
则焦点为
对称轴为轴，准线为
，
D 9.C 10.
直线
∵直线经过抛物线的焦点，，是与的交点，又∵轴，
∴，
∴
，
又∵点在准线上，
，
．
故选．解析:
根据题意画出图形，并以为原点，
方向为轴，建立平面直角坐标系如下图所示：
x
y
∵，，
，
∴，
，
.
∵为
边上的中点，
∴
， ，
．
故选：．解析:
A 11.C 12.
∵是偶函数，且在单调递增，
∴在单调递减，
，
，
∴，∵，，，
∴，∴；
∵，
∵，∴，；
∵
，且，，，
∴即，
∴，
∴，
故选．
13.
解析:
由双曲线方程可知，
，，
∴渐近线方程为，
又∵点在渐近线上，
则有，即，
∴，即，
∴离心率．
14.
解析:
如图所示，
设圆柱的底面半径为，因为过的平面截该圆柱所得的截面是面积为
的正方形，
则
所以
，
，
所以该圆柱的体积为，
所以圆柱的体积为．
故答案为：．
解析:正项等比数列满足，
即，
由，
成等差数列，则
，，，
，
解得或（舍去），
将代入
中，得，
所以，
则
，
所以取得最小值时的值为．
解析:由函数
恰好有三个零点，
15.，
16.
（1）（2）当时，只有一个零点，不符合，
当时，即恰有三个解，即
与
有三个交点，
的图象如图，
要使与
有三个交点，临界点为与相切，设切点，，则切线斜率，
∴有解得，，∴当时，即
时，
与
有三个交点，即恰有个不同的零点，故答案为：．
解析:∵
，
∴，
即, ∴
，
又∵
，∴
．由正弦定理，得
， 则
，
∵
，
∴由余弦定理，得，即，
∴，
∵，∴
，
（1）．
（2）．
17.
（1）（2）（1）∴的周长．
（注：求出
后，可用正弦定理求出
，进而得到
为直角三角形，用勾股定理可求
出的值，最后求出周长．)
解析:
由表格可求出
，
，
，
，
，代入公式求出
，
所以 ，所以
，
当
时，
．
所以可预测日平均气温为
时该出租车公司的网约订单数约为
份．
记这天中气温不高于
的三天分别为，，，另外两天分别记为
，，则在这天中任意选取天有，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共
个
基本事件，
其中恰有天网约订单数不低于份的有，，，，，，共个基本事件，
所以所求概率
，
即恰有天网约订单数不低于
份的概率为．
解析:
如图，取
的中点
，连接
、，
C
A
B
O
D
E
M
在中，是的中点，
是
的中点，
∴
，
（1）；
份．
（2）．
18.（1）证明见解析．（2）．
19.
（2）（1）在直角梯形中，
，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴平面平面
，
又∵平面，∴
平面
．
∵
是圆的直径，点是圆上异于、的一点，
∴，
又∵平面平面，平面平面
，
∴平面，
可得
是三棱锥的高线．
在直角梯形中， ，
设到平面的距离为，则
，
即，
由已知得
，
，
，
由余弦定理易知：，
则，
解得，即点到平面的距离为
．
故答案为：
．解析:函数
的定义域为
，
由已知得
，（1），
．
（2）
单调递减区间为 ，单调递增区间为，
的极小值为
，无极大值．
（3）证明见解析．20.
（2）（3）（1）则，
解得
，
．
由题意得
（）,
则，当 时，，所以单调递减，当时，，所以
单调递增，
所以，
单调递减区间为 ，单调递增区间为
，
的极小值为
，无极大值．
要证
（
）成立，
只需证 （
） 成立
令 ，
则 ，当 时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以
的极大值为
，即由（）知，时，
，
且的最小值点与
的最大值点不同，
所以．
即 所以，
．
解析:
由焦点与短轴两端点的连线相互垂直及椭圆的对称性可知，
，
∵过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
，
∴ ．又
，解得
，．
∴椭圆的方程为
．
（1）．
（2）．
21.
（2）（1）由()可知圆的方程为
，
①当直线的斜率不存在时，直线的斜率为，
此时，
，
．
②当直线的斜率为零时，，
，
．
③当直线的斜率存在且不等于零时，设直线的方程为
，
联立，得，
设，
的横坐标分别为
，
，
则 ，
，所以，
(注：的长度也可以用点到直线的距离和勾股定理计算．)由
可得直线
的方程为
，
联立椭圆的方程，消去，得，
设，的横坐标为
，
，
则，，
∴
．，
∵，
∴，
∴
．
综上，由①②③得的取值范围是．
解析:曲线
，两边同时乘以，可得
，化简得
．
四边形
四边形
四边形
四边形
四边形
（1）曲线的直角坐标方程：，直线的普通方程：
．
（2）．
22.
（2）
（1）（2）直线的参数方程为（为参数），消去参数得．
将（为参数），代入并整理得
，设
，
对应参数分别为，，
则由韦达定理，得，
，
由题意得，即，
可得，
即
，，解得．
解析:当
时，
，
则，当时，由得，，解得，
当时，恒成立，当时，由
得，
，解得
，
所以
的解集为．
对任意
，都存在
，使得
成立，等价于，
因为，所以
，
且①，
当时，①式等号成立，即
，
又因为②，当时，②式等号成立，即，
所以
，即的取值范围为
．（1）解集为．
（2）的取值范围为．
23.。