第二章平面力系
理论力学第2章平面任意力系
力系的平衡条件
1 平衡是什么？
当一个力系的合力和 力矩均为零时，力系 处于平衡状态。
2 两种平衡条件
3 例子带你理解
静力平衡：合力为零； 动力平衡：合力和力 矩均为零。
想象一根平衡的杆子 上有两个重物，它们 的合力和力矩必须为 零才能保持平衡。
力系的分解与合成1源自分解为矢量我们可以将力系拆分为矢量来计算各个力的作用效果。
3 举个例子！
假设我们有一辆汽车，它受到来自引擎、摩擦力和空气阻力的多个力的作用，这些力构 成了一个平面任意力系。
力系的合力和力矩
1 合力是什么？
合力指的是将力系中所有力的作用效果合成为一个力的过程。
2 力矩有何作用？
力矩描述了力对物体的旋转效应，它是力与力臂之乘积。
3 实际应用！
在建筑工程中，我们需要计算各个力的合力和力矩，以保证结构的稳定性和安全性。
2 应用广泛
平面任意力系的原理和方法在工程、建筑、力学等领域有着广泛的应用。
3 继续探索
通过实际问题的解题和应用，进一步深入理解和掌握平面任意力系的知识。
2
合成为合力
将分解后的矢量合成为一个力，即合力。
3
应用灵活多样
分解与合成的方法在解决实际问题时非常有用，可以简化复杂的力系分析。
力系的简化
简化示意图
通过使用简化的示意图，我们可以更清晰地表 示和分析复杂的力系。
矢量图
利用矢量图的方法，我们可以将复杂的力系简 化为几个简单的力的作用效果。
解题方法与实例
理论力学第2章平面任意 力系
欢迎来到理论力学第2章的精彩世界！在本章中，我们将了解平面任意力系的 定义、合力和力矩、平衡条件、分解与合成、简化、解题方法、实例以及总 结与应用。
第2章 平面力系-平面力对点之矩及平面力偶
即
MO(F) F d
O点为力矩的中心，称为矩心； d 为O点到力F 作用线的垂直
距离，称为力臂。 力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动时为正，反
之为负。
应注意： 在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋 转方向（力矩的正负），因此它是一个代数量。
力矩的单位： 国际制 N·m，kN·m 工程制 公斤力米（kgf·m）
偶矩的代数和等于零，即 ∑Mi=0
利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。
例题
两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 F1 = F2=1.5 kN , F3
=F4 = 1 kN, 求作用在板上的合力偶矩。
F 1 180mm
解：由式
F2
M = M1 + M2
F4
则
M =-F1 ·0.18 –F3 ·0.08
FBA
B
A
FAB
M1
FO
O
M2 D
FD
M1 - FABrcosq 0 - M 2 2FBArcosq 0
因为 FAB FBA
所以求得 M 2 2M1
思考题1 一力偶(F1,F1′)作用在Oxy平面内,另一力偶(F2 ，F2′)作用在
Oyz平面内,它们的力偶矩大小相等(如图)。试问此两力偶是否 等效，为什么？
F1
d1
F2 d2
F1′
=
F2′
M1 F1 d1 , M 2 -F2 d2
F22 d F11
F11′
=
F22′
d
FR
FR′
M1 F11 d , M 2 -F22 d
FR F11 - F22 , FR F11 - F22
第二章 平面力系
平面力系
§2-1 一般概念
一.力系分类
平面力系（汇交力系、平行力系、一般力系） 空间力系
二.工程实例 在工程地质和工程建筑物中，常遇到
的一些平面力系问题，如：
铁路绗架、水坝、坝基 空间问题一般简化为平面问题处理
W1
W2
1m
§2-2 平面汇交力系的合成与分解
一、二力合成 1、几何法：已知作用在物体上的两个力，F1、F2 ，它们
5.力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零.
§2-6 平面力系的合成
一、力的平移定理 作用在物体上的力可以平移到任意点，但必须附加上
一力偶，其矩大小等于此力对新作用点之矩。
M B M B (F ) F d （2 - 10）
二、平面任意力系向已知点简化（如下图）
1、简化方法：
2、简化结果：
主矢 FR Fi 主矩 M O M O (F i) （2 - 11）
P 2 10m
BT T
W1 R
N W2
T
P2
解：可以用解析法和图解法解此题 答案：Ｔ=7500KN，N=21500KN
§2-8 平面一般力系平衡条件和方程式
一、平面任意力系的平衡条件（充要条件）
R0， M00 二、平面任意力系平衡方程式 主矢
必有 主矩
R ( F x)2( F y)20
Fx 0
主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关
三、平面任意力系的合成
1、力和力偶合成一个力 2、合力矩定理：
平面力系的合力，对该平面任一点之矩，等于各分力 对同一点之矩的代数和。
n
M0 R m0(Fi) i1
3、简化结果分析，四种情况有三种结果
§2-7 重心
第二章 平面基本力系
23
例题2
A B
利用铰车绕过定滑轮
B的绳子吊起一货物重G = 20
30°
30° C
kN ， 滑轮由两端铰接的水平
刚杆 AB 和斜刚杆 BC 支持于点 B 。不计铰车的自重，试求杆 AB和BC所受的力。
G
a
24
y
FBC
解：
1.取滑轮 B 轴销作为研究对象。
x
B
30°
30°
2.画出受力图。 3.列出平衡方程：
9
两个特例 (1)力与坐标轴垂直，则力在该轴上投影为零；
(2)力与坐标轴平行，则力在该轴上投影的绝对值与 该力大小相等。
已知投影，反求力
若已知力F 在坐标轴上的投影X、Y，则该力 的大小及方向余弦为
F X 2 Y 2 X cos F
10
课堂思考
分力和投影有何联系和不同？
FR (X ) 2 (Y ) 2 1.11kN
解
方向为
X cos 0.977 FR
解得 α＝12º 12＇
19
课堂小结
解析法求平面汇交力系合力的几个注意点： 1、注意投影与分力的区别； 2、合力投影定理是揭示平面汇交力系中各力与力系合力关系的 重要定理，必须深刻理解其含义，并能正确应用； 3、解析法是建立在力的投影的基础之上的，所以必须建立合适 的平面直角坐标系，一般选取力系汇交点为坐标原点； 4、求力系合力时必须按照一定的步骤进行，以防出错。
30
F1
30
2、如图所示压榨机中，杆AB和BC
E D
的长度相等，自重忽略不计。A ，
B ， C 处为铰链连接。已知活塞 D
上受到油缸内的总压力为 F=3 kN ，
平面力系
平面力系——各力作用线都在同一平面内的力系。
空间力系——各力作用线不在同一平面内的力系。
汇交力系——作用线交于一点的力系。
平行力系——作用线相互平行的力系。
一般力系——作用线既不完全交于一点又不完全平行的力系。
2.1 平面汇交力系平面汇交力系的工程实例：2.1.1 力的分解按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。
2.1.2 力在坐标轴上的投影注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取负值。
2.1.3合力投影定理合力投影定理——合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
2.1.4 平面汇交力系的平衡条件平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。
显然，如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F等于零。
即即力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。
这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。
例2-1 如图所示为一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。
已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，与水平成30度角；F3=3000N，铅直向下，试求合力大小。
（仅是求合力大小）例2-2 图示为一简易起重机装置，重量G=2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。
试求当重物被匀速提升时，杆AB、AC所受的力。
解因为杆AB、AC都与滑轮接触，所以杆AB、AC上所受的力就可以通过其对滑轮的受力分析求出。
因此，取滑轮为研究对象，作出它的受力图并以其中心为原点建立直角坐标系。
由平面汇交力系平衡条件列平衡方程有解静力学平衡问题的一般方法和步骤：1.选择研究对象所选研究对象应与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力；2.画受力图根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。
第二章平面力22系
FB
C
5a
5a
4）联立求解：
A 5a D x
FA
5 F, 2
FD
F 2
FA
FD
FA为负值，说明图中所假设的指向与其实际指向
相反，FD为正值，说明图中所假设的指向与其实
际指向相同。
第三节 平面力偶系的合成与平衡
一、 力偶和力偶矩
1、力偶——大小相等的二反向平行力。
d
⑴、作用效果：引起物体的转动。
力矩的概念
例题
力矩的性质
例题：图中，如作用于扳手上的力F = 200 N，l = 0.40 m，α= 60°，试计算力F→ 对点O之矩。
解：
MO(F ) = - F ·d = - F ·l sinα= - 200×0.40×sin 60° N·m= - 69.3 N·m
y
Fy 0, FB cos 600 FC cos 300 - Q 0
5）联立求解： FB =15kN , FC 26kN
A x
Q
练习2
水平力F 作用在门式刚架的B点，如图所示，刚
架的自重忽略不计。试求A、D两处的约束力。
B
F
C
a
A
D
2a
练习2
水平力F 作用在门式刚架的B点，如图2.12a所示，
用扳手拧一螺母，使扳手连同螺母绕点O（实为绕通过点O 而垂直于图面的轴）转动。
由经验得知，力的数值愈大，螺母拧得愈紧；力的作用线 离螺母中心愈远，拧紧螺母愈省力。用钉锤拔钉子也有类 似的情况。许多这样的事例，使我们获得如下概念：力F→ 使物体绕点O转动的效应，不仅与力的大小有关，而且还与 点O到力的作用线的垂直距离d有关。故要用乘积Fd来度量 力的转动效应。
第二章 平面力系
FR F1 F2 Fn Fi
i 1
n
力FR对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。所以 称此力为汇交力系的合力。
如力系中各力作用线均沿同一直线，则此力系为共线力系， 它是平面汇交力系的特殊情况。显然力系的合力大小和方向 取决于各分力的代数和，即 n
FR Fi
i 1
24
静力学
例题 1-5
平面力系
合力的大小：
2 Rx 2 Ry
FR F F 171.3 N
合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
FRx cos( FR , i ) 0.754 FR
F2
y
F1
60
O
45
30
cos( FR , j )
FRy FR
45
x
F4
0.656
F3
平面力系
Fx Fx1 Fx 2 Fxn Fxi i 1 n Fy Fy1 Fy 2 Fyn Fyi i 1
n
合力矢FR的大小和方向余弦为
FR Fx2 Fy2 ( Fxi ) 2 ( Fyi ) 2
B
D
钢丝绳的另一端绕在铰车D上。 杆AB与BC铰接，并以铰链A，C 与墙连接。如两杆与滑轮的自重
4 .由力三角形图c可得：
I
F
q
FD
J
K
FB
(c)
sin 180 q FB F 750 N sin
11
静力学
例题 1-2
平面力系
水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于2 kN，方向与梁
的轴线成60º 角，支承情况如图a 所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束源自。梁的自重不计。3，
第二章 理论力学平面力系
特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出
负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，
力系分为：平面力系、空间力系 ①平面汇交力系 平面力系 ②平面平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况 ) ③平面一般力系(平面任意力系) 平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。 研究方法：几何法，解析法。
例：起重机的挂钩。
2.1 平面汇交力系的合成与平衡
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件 1、几何法
Y X
87.46 8.852, 83.55O 9.88
由于FRx为负，FRY为正，故 在第二象限，合力 FR的作用线通过汇交点O，如图2.12
【例2.5】
如图2.1 3所示为建筑工地使用的 井架把杆装置，杆AB的一端铰接在井架上， 另一端用钢索BC与井架连接。重物通过卷扬 机由绕过滑轮BC的钢索起吊。已知重物 Fw=2kN，把杆重量、滑轮的重量及滑轮的大 小不计，滑轮的轴承是光滑的。试求钢索BC 的拉力和把杆AB所受的力。
由图2.14(b)可知 DB CB cot l cot 30 0 tan 0.866 AB 2l 2l 40.90 将 40.90 代入方程并求解得 FA 13.2 KN FB 8.66 KN
解题技巧及说明： 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度
2、主矢和主矩
主矢：力系各力的矢量和，即 主矩：力系中各力对于任选简化中心O之矩的矢量和，即
理论力学(哈工大版本)第二章平面力系
解：注意到CB为二力构件，画受力图
M AC F Cd F C 2 12 F C 2
224 18 2F (NCcm) 0.255F 2
Mi 0 MAC M 0
F C 3137N
理论力学
.
C(Nm)
37
[例]图示杆系，已知M，l，求A、B处约束力。
l
l
FA 解：1、 AD为二力杆。
D
B
A
2、研究对象： 整体
解：取滑轮B为研究对象， 忽略滑轮的大小，画受力图。 FBA
y
FBC D
60
B
列平衡方程
B
F2 60
x
Fx 0， FBA F c1os 60 F2 cos 30 0
30
Fy 0，FBC F co1 s 30 F2 cos 60 0
F1
30
当由平衡方程求得
G
解方程得杆AB和BC所受的力: 某一未知力的值为
FR F1F2 Fn F
i
3、平面汇交力系平衡的几何法
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是： 该力系的合力等于零。
FR F1F2 Fn F 0 i
上述方程的几何表达为：该力系的力多边形自行封闭。
用几何方法求平面汇交力系平衡时，要做出自行封 闭的力多边形，一般只适合三个力的平衡问题。
理论力学
作出相应的力多边形。
F
FD
F
A
OE EA24 cm
FB
tan DE 6
OE 24
arctan 1 140
4
由力三角形图可得
O
B E FB
sin180
FB
F 750N FD
D
sin
建筑力学2平面力系
12
2.2 力对点之矩与平面力偶 2.2.1 力对点之矩—简称为：力矩 在力的作用下，物体将发生移动和转动。力 的转动效应用力矩来衡量，即力矩是衡量力转 动效应的物理量。 讨论力的转动效 应时，主要关心 力矩的大小与转 动方向。
13
1.定义 力臂—某定点O到力F的作用线的垂直距离。
矩心—该点O称为矩心。 力对点之矩—力使物体绕某点转动效应的度量。其 数值等于力的大小F与力臂d的乘积。其方向，规 定：力使物体绕矩心逆时钟方向转动时力矩为正， 反之为负。记为 MO(F)=±Fd
F F
y
0
FAC FAC
3
解得
x
4 2 32 63.2kN 4
FT 2
2 12 2 2 FT 2
FT 1 0
0
FAB FAC FAB
1 12 2 2
解得
4 2 32 41.6kN
0
力FAC 是负值，表示该力的假 设方向与实际方向相反 ， 因此杆AC是受压班。
力的等效平移的几个性质：
1、当力平移时，力的大小、方向都不改变，但附 加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的 位置的不同而不同。
2、力平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内
的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原
力大小相等的平行力。
3、力平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一 个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。
9
【例2-5】重W=20kN的重物被绞车匀速吊起，绞车 的绳子绕过光滑的定滑轮A,，滑轮由不计重量的 杆AB、AC支撑，A、B、C三点均为光滑铰链， 可忽略滑轮A的尺寸。求杆AB、AC所受的力。
B
4 A FBA B A FAB FAC F’AB y A x F’AC FT2 FT1
化工原理第二章平面力系
如图所示，平面上作用一力 F ，在同平面内任取一点O， 点O称为矩心，点O到力的作用线的垂直距离h称为力臂。
力对点的矩：
力对点之矩是一个代数量， 它的绝对值恒等于力的大小与力臂的乘积， 它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心逆时针转向转动 时为正，反之为负。 力 F 对于点O的矩
由右图容易看出，力F对点O的矩的大 小也可用三角形OAB面积的两倍表示， 即
(2)画受力图。
滑轮受到钢丝绳的拉力
＝
＝P；
由于滑轮的大小可忽略不计，故这些力可看作是汇交力系。
(3)列平衡方程 为使每个未知力只在一个轴上有投影， 在另一轴上的投影为零，坐标轴应尽量 取在与未知力作用线相垂直的方向。这 样在一个平衡方程中只有一个未知数， 不必解联立方程，故选取坐标轴如图所 示。 (a)
和
当Ox、Oy两轴不相垂直时，力沿两轴的分力 值上也不等于力在两轴上的投影X、Y。
、
在数
2．平面汇交力系合成的解析法
设由n个力组成的平面汇交力系作用 于一个刚体上。以汇交点O作为坐 标原点，建立直角坐标系Oxy 。
此汇交力系的合力
合矢量投影定理：合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在同 一轴上投影的代数和。 由此可得
例2—3 如图所示，重物P＝20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮 B上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并 以铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩 擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。
解：(1)取滑轮B为研究对象。 AB、BC两杆都是二力杆，假 设杆AB受拉力、杆BC受压力；
平面汇交力系可简化为一合力．其合力的大小与方向等于各分 力的矢量和(几何和)，合力的作用线通过汇交点。设平面汇交 力系包含n个力，以 表示它们的合力矢，则有
平面力系
证明：
F
F
F
F
Od A = O d A
=
mO A
F
F F F
m Fd m0F
§3–2
§2–7 力线平移定理
二、几个性质：
1、当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附
加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位
置的不同而不同。
2、力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内 的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力 大小相等的平行力。
中心。
F1
F2
A1 O
A2
A3
F1
=
F2
m1
m2
O
m3
=
F3
F3
R
O
LO
§2–8 平面任意力系的简化•主矢与主矩
共点力系F1、 F2、 F3的合成结果为一作用点在 点O 的力R。这个力矢R 称为原平面任意力系的主矢。
R F1 F2 F3
F1 F2 F3
1 2 3 3 1 0.768
y
F2
60°
A
22
B
F3
2m
R Rx2 Ry2 0.794
cosR、x Rx 0.614
R
R , x 526'
cosR、y Ry 0.789
R
R , y 3754'
F1
A
B F2
C
F3
D
R
F4
E
§2–2 共点力系合成与平衡的几何法
F1
A
B F2
R
C
F3
D
F4
第二章 平面力系
第二章平面力系第1节平面汇交力系合成与平衡的几何法若作用在物体上的力，其作用线均分布在同一平面内，则该力系称为平面力系。
若作用在同一平面内的各力作用线均汇交于一点，则该力系称为平面汇交力系。
一、合成的几何法应用力多边形法则，合力矢即是力多边形的封闭边，合力作用线通过力系的汇交点。
如图2-1-1-1所示。
图2-1-1-1若有n个力，则合力矢可以表示为F R = F 1 + F 2 +⋯+ F n = ∑ i=1 n F i二、平衡的几何法平面汇交力系平衡的充要条件是：力多边形自行封闭。
如图2-1-1-2所示。
若矢量表示即为F R =0图2-1-1-2第2节平面汇交力系合成与平衡的解析法一、力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦，如图2-2-1-1所示，它是一标量，即F x =Fcosθ; F y =Fcosβ力沿坐标轴的分力是一矢量，其合力与分力之间应满足力的平行四边形法则。
如图2-2-1-2所示。
当坐标轴为直角坐标轴时，力沿坐标轴分解的分力可以表示为F x = F x i; F y = F y i合力投影定理：合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和，即F x = ∑ i=1 n F xi ; F y = ∑ i=1 n F yi当投影轴x与y垂直时，其合力的大小与方向为F R = F x 2 + F y 2 , cos( F R ,i)= F x F R ; cos( F R ,j)= F y F R二、合成的解析法当为直角坐标轴时，可按以下方法来合成F R = F x 2 + F y 2 = ( ∑ F xi ) 2 + ( ∑ F yi ) 2cos( F R ,i)= F x F R = ∑ F xi F R ; cos( F R ,j)= F y F R = ∑ F yi F R三、平衡的解析法力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零，即∑ F x =0; ∑ F y =0上式称为平面汇交力系的平衡方程。
第二章 平面力系
④解平衡方程
cos 450 = 3.16 kN 19 cos α
[例3]
已知F1＝200N，F2＝300N，F3＝100N，F4＝250N。求图示
平面汇交力系的合力。 解 根据公式可得
o o o o
Fx = Fx1 + Fx 2 + Fx 3 + Fx 4 = F1 cos30 - F2 cos60 - F3 cos45 + F4 cos45 = 129.3 N o o o o Fy = Fy1 + Fy 2 + Fy3 + Fy 4 = F1 sin 30 + F2 sin 60 - F3 sin 45 - F4 sin 45 = 112.3 N
n R =∑i F i =1
平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的
作用线通过各力的汇交点。
8
3.平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的充要 条件是合力为零，即：
n R =∑i F i =1
在上面几何法求力系的合力中，
合力为零意味着力多边形自行封闭。所 以平面汇交力系平衡的必要与充分的几 何条件是：力多边形自行封闭。 或：力系中各力的矢量和等于零。
R = 0, R 2 + R 2 = 0 X Y
为平衡的充要条件，也叫平衡方程
18
[例] 已知 P=2kN 解：①研究AB杆 ②画出受力图 ③列平衡方程
求SCD , RA
∑X=0
RA·cosα-SCD· cos45°=0
∑Y=0
-P-RA·Sinα+SCD· Sin45°=0
α
由EB=BC=0.4m， EB 0.4 1 t gα = = = 解得： AB 1.2 3 P SCD = = 4.24 kN ； A = SCD R 0 cos 45 (1 - tgαα)
工程力学 第2版 第2章 平面力系的合成
平面汇交力系 பைடு நூலகம்主矢)
平面力偶系 (主矩)
➢ 结论
平面一般力系
➢ 合成 ① FR≠0,MO ≠0，此种情况利用力的平移定理还可以继续简化
为一个合力。
合力FR的大小等于原力系的主矢；合力FR的作用线位置d=MO/FR
② FR≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，简 化结果就是合力，而合力的作用线恰好通过简化中心。
第2章 平面力系的合成
平面力系的合成
平面力系的分类 平面力矩和力偶
平面汇交力系的合成和平衡 平面一般力系的合成和平衡
2.1 平面力系的分类
平面汇交力系
平面力偶系
平面平行力系
平面一般力 系
2.2平面力矩和力偶
➢ 平面力矩
力对物体可以产生的运动效应：
移动效应--取决于力的大小、方向； 转动效应--取决于力矩的大小、方向。
M = m1 + m2 + ••• + mn = ∑mn
2.平衡条件 平面力偶系可合成为一个合力偶。若物体在力偶系的作 用下处于平衡状态，则必须满足合力偶矩等于零。 因此，平面力偶系平衡的必要和充分条件是：合力偶矩
等于零。即
∑mn=0
2.3 平面汇交力系的合成和平衡
1 力在平面直角坐标轴上的投影
3 平面一般力系的合成步骤
①计算主矢的大小和方向。 ②选取一简化中心，计算主矩。 ③根据不同的简化情况，求出平面一般力系的合力。
4 平面一般力系的平衡条件
平面一般力系平衡的充分必要条件是： 力系的主矢和对任一点的主矩都等于零 ，即合力为零。
Fx 0
Fy 0
M O (F ) 0
谢谢欣赏
③ FR=0,MO≠0，即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚体
第二章 平面力系
F1 + F2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Fn
Rx = ∑ X k
k =1 n
n
R y = ∑ Yk
k =1
— 合力投影定理
则：
2 R = Rx2 + R y
Ry Rx cos(R , i ) = ,cos(R , j ) = R R
4、平面汇交力系的平衡方程 RX= ∑X=0 RY =∑Y =0 ∑X=0 ∑Y =0 解析条件的应用 平面汇交力系的平衡方程
X 2 = − F2 cos θ 2 Y2 = − F2 sin θ 2
cos(F , i ) =
(2) 平面汇交力系合成的解析法 求合力 R（R=Rxi+Ryj )可先求Rx，Ry。 已知： R = 则 ：
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ Rx ⋅ i + R y ⋅ j = ⎜ ∑ X k ⎟ ⋅ i + ⎜ ∑ Yk ⎟ ⋅ j ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠
第二章 平面力系
平面力系：各力作用线位于同一平面。 平面汇交力系 平面力偶系 平面平行力系 平面任意力系
§2-1、平面汇交力系
平面汇交力系：各力作用线位于同一平面且汇交于一点。
问题举例：
FAy
Q
FA
O B
Q
A
FAx
FC
C
1、平面汇交力系合成的几何法
R123
F2
F3
R12 F2
R
F3
A3
A2 A1
r
h
A
2、合力矩定理与力矩的解析表达式 合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩 等于力系中各分力对同一点 的矩的代数和。 即 ： 若F1+F2+……+Fn=R，则： MO（R）=
第二章 平面基本力系
平衡方程
Fx 0 Fy 0
第一节 平面汇交力系
例2-1 圆筒形容器重量为G，置于托轮A、B
上，如图所示，试求托轮对容器的约束反力。
第一节 平面汇交力系
解：取容器为研究对象,画受力图 容器自重G
托轮对容器是光 滑面约束，其约束 反力为FNA和FNB
FNA
FNB G
第一节 平面汇交力系
B F
a C
Fx
O
Fx
x
Fx=±Fcosa
Fy=±Fsina
y
b1
C
Fy
a1 B
Fx
A
F a
Fy
O
Fx
x
F Fx2 Fy2
tana Fy / Fx
第一节 平面汇交力系
2．合力投影定理
ad=ab+bc-cd 即 Fx=F1x+F2x+F3x Fy=F1y+F2y+F3y
第一节 平面汇交力系
c) 只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变,可 以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短, 而不改变力偶对刚体的作用。
d) 力偶对其作用面内任一点之矩恒为常数，且等 于力偶矩，与矩心的位置无关。
第三节 平面力偶系
二. 平面力偶系的合成和平衡条件
1.平面力偶系的合成 平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干力偶的总称。
M o (Fn ) Fn h Fn r cosa
2）合力矩定理 将力Fn分解为切向力Ft和法(径)向力Fr， 即
Fn Ft Fr
由合力矩定理得：
M o (Fn ) M o (Ft ) M o (Fr ) Ft r 0
考研复习—工程力学——第2章 平面力系
负号表示合力偶为顺时针转向。
图2-10
第2章
2.3 平面任意力系的简化
2.3.1 力的平移定理
平移定理：作用在刚体上的力，可以平移至刚体内任一指定点，若不改变该力对于 刚体的作用则必须附加一力偶，其力偶矩等于原力对新作用点的矩。
Fx 0
RAx R By P 0
RAx P RBx 20 kN 10 kN 10 kN
M A (F) 0 RBy a P a F 2a 0
RBy 2F P 20 kN 20 kN 0
（2）画ACD杆及CEB杆受力图,如图(b)、图(c)所示。
(3)研究CEB杆，如图（c）所示，则有
例2-16：图所示梯子，AB一端靠在铅垂的墙壁上，另一端搁置 在水平地面上。假设梯子与墙壁间为光滑约束，而梯子与地面之间存 在摩擦。已知：摩擦因数为 ，梯子长度AB=L,梯子重力为W。求：（ 1）若梯子在倾角 的位置保持平衡，求梯子与地面之间的摩擦力 和其 余约束力；（2）为使梯子不致滑倒，求倾角α的取值范围。
2 3 Fp
Fs1
Fs 2
1 3
Fp
(拉)
2 3
Fp (压)
（3）考察节点B的平衡： Fs3 0
第2章
2.7 考虑摩擦时的平衡问题
2.7.1 工程中的摩擦问题
1、摩擦平衡问题： 工程中有一类问题摩擦力不能忽略。例如车辆的制动、螺旋连接与锁 紧装置、楔紧装置、缆索滑动和传动系统等。这类平衡问题统称为摩擦平衡问题。
Fd fFN
第2章
2.7 考虑摩擦时的平衡问题
2.7.3 摩擦角与自锁现象
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第二章平面力系教学目标：掌握平面力系向一点简化的一般结果和最终结果；掌握平面任意力系的平衡方程；掌握平面特殊力系的平衡方程。
重点、难点：平面力系平衡方程求解力学问题。
学时分配：8学时。
§2-1 平面任意力系的简化一 平面任意力系向一点简化——主矢与主矩设刚体上作用有n 各力1F 、2F 、…、n F 组成的平面任意力系，如图3-2a 所示，在力系所在平面内任取点O 作为简化中心，由力的平移定理将力系中各力矢量向O 点平移，如图3-2b 所示，得到作用于简化中心O 点的平面汇交力系1F '、2F '、…、n F '，和附加平面力偶系，其矩为1M 、2M 、…、n M 。
图3-2平面汇交力系1F '、2F '、…、n F '可以合成为力的作用线通过简化中心O 的一个力RF '，此力称为原来力系的主矢，即主矢等于力系中各力的矢量和。
有∑=''''ni 1=+++=+++=1212i n n RF F F F F F F F 平面力偶系1M 、2M 、…、n M 可以合成一个力偶，其矩为o M ，此力偶矩称为原来力系的主矩，即主矩等于力系中各力矢量对简化中心的矩的代数和。
有∑=ni n o (M =M ++M +M =M 1i o 21)F结论：平面任意力系向力系所在平面内任意点简化，得到一个力和一个力偶，如图所示，此力称为原来力系的主矢，与简化中心的位置无关；此力偶矩称为原来力系的主矩，与简化中心的位置有关。
利用平面汇交力系和平面力偶系的合成方法，可求出力系的主矢和主矩。
如图所示，建立直角坐标系oxy ，主矢的大小和方向余弦为212122)F ()F (=F F =F ni yi ni xi Ry RxR ∑∑==+'+'Rn1i yiRRy R n1i xi R RxF FF F cos ,F F F F )cos ∑∑===''=⋅=''=⋅)((j F i F R R主矩的解析表达式为∑=-=ni xi i yi i o )F y F (x M 1)(R F二 平面任意力系简化结果讨论（1）当00≠='o M ,RF 时，简化为一个力偶。
此时的力偶矩与简化的位置无关，主矩M o 为原来力系的合力偶矩。
（2）当0,0=≠'o M RF 时，简化为一个力。
此时的主矢为原来力系的合力，合力的作用线通过简化中心。
（3）当0,0≠≠'o M RF 时，简化为一个力，此时的主矢为原来力系的合力，合力的作用线到O 点的距离d 为RoF M d '=如图3-4所示，合力对O 点的矩为))(i n1i o o R o (F M M d F M ∑====R F于是得合力矩定理：平面任意力系的合力对力系所在平面内任意点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。
（4）当0,0R=='o M F 时，平面任意力系为平衡力系。
由上面（2）、（3）可以看出不论主矩是否等于零，只要主矢不等于零，力系最终简化一个合力。
§2-2 平面力系的平衡方程一 平面任意力系平衡方程1．平面任意力系：工程上把作用在物体上的力的作用线都在同一个平面内，且成任意分布状态的力系，称为平面任意力系。
2．力系的平衡：（1）平衡条件：力系中所有的力，在两个不同方向的坐标轴X ，Y 上投影的代数和等于零，力系中所有的力对平面内任意一点O 的力矩代数和为零。
即∑F ix =0∑F iy =0 ∑Mo(F i )=0上式为平面任意力系的平衡方程。
两个投影式，一个力矩式，是平面任意力系的基本形式。
（2）二力矩式平衡方程：∑F ix=0∑M A(F i)=0∑M B(F i)=0注意：其中A， B两点的连线不能与X轴垂直。
(3)三力矩式平衡方程：∑ M A(F i)=0∑ M B(Fi)=0∑ MC(Fi)=0注意：A ，B ， C三点不能与同一条直线上。
例2-1 起重机的水平梁AB的A端以铰链铰接，B端用拉杆BC拉住，已知：梁重G=4KN，载荷G1=10KN，梁的尺寸如图所示，求拉杆的拉力和铰链A的约束反力。
解：（1）取AB梁为研究对象（2）画受力图（3）列平衡方程：∑Fix=0 F AX-F T cos30。
=0∑ Fiy=0 F AY+F T sin30。
-G-G1=0∑ Mo(Fi)=0 F T×ABsin30。
-G×AD-G1×AE=0(4) 解方程F T=（G×AD+G1×AE）/（ABsin30。
）=17.33KNF AX=F T cos30。
=15.01KNF AY=-F T sin30。
+G+G1=5.34KN3固定端约束的反作用力：固定端约束反力分解为两个互相垂直的分力F AX和F AY和一个力偶M A代替。
例2-2 如图所示，一车刀，刀杆夹持在刀架上，形成固定端约束，已知：长度l=60mm,F=5.2KN,a=25度试求：固定端的约束反力。
解：取车刀为研究对象，画受力图。
图4-4∑F ix=0 -Fsin25。
+F AX=0∑F iy=0 -Fcos25。
+F AY=0∑Mo(F i)=0 M A-Flcos25。
=0解得：F AX=Fsin25。
=5.2×0.4323=2.2KNF AY=FCOS25。
=5.2×0,906=4.7KNM A=Fcos25。
=5.2×0.06×0.906=283N.m例2-3 如图所示，支架的横梁AB与斜杆DC以铰链连接，并连接于墙上，已知：AC=CB，杆DC与水平面成45。
，载荷F=10KN，作用于B处，各杆自重不计，求：铰链A的约束反力和杆DC所受的力。
解：（1）取AB为研究对象，画受力图。
（2）列平衡方程：∑F ix=0 F AX+F C cos45。
=0∑F iy=0 F AY+F C-F=0∑Mo(Fi)=0 lF C sin45。
-2lF=0解得：F C=2F/sin45。
=28.28KNF AX=-F C cos45。
=-20KNF AY=F-F C sin45。
=10-20=-10KN4物体系的平衡问题在工程中，由若干个物体组成的结构称为物体系。
当系统平衡时，组成该系统的每一个物体都处于平衡状态，因此，对于每一个受平面任意力系作用的物体，均可以写出三个平衡方程。
对于这类问题，通常是先求解各个物体的平衡，在取整体为研究对象，列平衡方程，进行求解。
详见习题。
二特殊力系平衡方程（一）平面汇交力系：作用于物体上的力作用线都在同一平面内，而且相交于一点的力系，称为平面汇交力系。
1．平面汇交力系合成的几何法如图所示，选比例尺，画出合力，封闭的折线0abc称为力的多边形，表示合力F的有向线段OC称为力多边形的封闭边，用力的多边形求合力的作图规则称为力多边形法则。
结论：平面汇交力系合成的结果是一个合力，其大小和方向由力多边形的封闭边来表示，其作用线通过个力的汇交点。
即合力等于各分力的矢量和。
即：F=F1+F2+……+F N=∑F i平面共线力系：力系中各力的作用线沿同一直线作用，称为共线力系。
是平面汇交力系的特殊情况。
2．平面汇交力系平衡的几何条件：平面汇交力系平衡必要充分几何条件：力系中各力构成的力的多边形自行封闭。
矢量式表达：F=F1+F2+……+F N=∑F i=0几何法：按比例画出封闭的力多边形，根据几何关系或三角公式计算未知量的解题方法。
例2-4：如图所示，起重机吊起一减速端盖，端盖重为G=200N，钢丝绳与垂线夹角为α=60。
，β=30。
求钢丝绳AB和AC的拉力。
解：①取端盖为研究对象做受力图。
端盖受重力G，拉力F TB和F TC作用而平衡，交于A点。
②选取比例尺做铅垂矢量ab=200N,做平行于F TB和F TC的两条直线ac和bc，它们相交于c点，得到三角形abc.③按选取的比例尺量得F TB=bc=100N，F TC=ac=173N。
F TB=Gcos60。
=100N，F TC=Gsin30。
=173N.小结：（1）选取适当的物体为研究对象，画出受力图。
（2）作力封闭三角形或多边形，比例尺要适当。
（3）在图上量出或用三角公式计算未知量。
3．平衡的必要与充分条件：力系的合力等于零。
∑Fix=0∑Fiy=04．平衡的解析条件：力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和均等于零。
5．平衡方程：∑Fix=0∑Fiy=0例2-5 如图所示，平面刚架在C点处受一水平力F作用，F=20KN，不计自重，求刚架铰链支座A和活动铰链支座B处的约束反力。
解：（1）取刚架为研究对象，画收力图。
（2）选取坐标系，如图所示。
FA与X轴夹角为a。
（3）列方程：∑Fix=0 F+FAcosa=0∑Fiy=0 FB+FAsina=0∴FA=-F/cosa=(-5/4)F=-25KN(负号表示FA的假设方向与实际方向相反)∴FB=-FAsina=-(-25)×3/5=15KN例2-6 如图所示，重物G=20KN，用钢丝绳挂在支架的滑轮上，钢丝绳的另一端饶在绞车D上，杆AB与BC铰接，并与铰链A，C与墙铰接。
如果两杆和滑轮重量不计，求：杆AB 和BC所受的力。
（1）取研究对象 AB，BC 杆为二力杆（2）画受力图，选坐标轴。
（3）列方程：∑F ix=0 -F BA+F1cos60。
-F2cos30。
=0∑F iy=0 F BC-F1cos30。
-F2COS60。
=0∴ F BA=-0.366G=-7.32KN∴ F BC=1.366G=27.32KN解题步骤小结：(1)选取研究对象，按要求画受力图。
(2)选定适当的坐标轴，画在受力图上。
(3)列平衡方程，解方程求出未知量。
（二）平面平行力系：在平面力系中若干各力的作用线互相平行，这种力系称为平面平行力系。
是平面任意力系的特殊情况。
平面平行力系的平衡方程：∑F i=0 ∑Mo(F i)=0（三）平面力偶系平面力偶系：作用在同一个平面内的许多力偶，称为平面力偶系。
合力偶矩：等于平面力偶系中各力偶矩的代数和。
记作∑Mi,即M=M1+M2+M3+……M N=∑Mi (3--5)平面力偶系的平衡条件平衡的必要与充分条件：所有力偶矩的代数和等于零，即∑Mi =0。
§2-3 静定与超静定问题一静定与超静定概念在研究的平衡问题中，如果未知量的个数等于独立的平衡方程的个数，这时所有的未知量可用平衡方程求出，这类问题——静定问题，如图（c）所示；如果未知量的个数多于独立的平衡方程的个数，这时未知量不能或不能全部用平衡方程求出唯一解，这类问题——超静定问题，如图（d）所示。