自动控制原理参考答案-第4章

d) 与虚轴交点：
特征方程： s3 + 2s2 + (2 + Kg )s + 3Kg = 0
s3
1
2+ Kg
s2
2
3Kg
s1 2 − 0.5Kg
s0
3Kg
当 Kg = 4 时， 2s2 +12 = 0 ⇒ s = ±2.45 j
e) 出射角： βsc = ±180(1+ 2n) − ∑ β + ∑α
s3
1
7
s2
2
Kg −10
s1 12 − 0.5Kg
s0 Kg −10
当 Kg = 24 时， 2s2 +14 = 0 ⇒ s1,2 = ±2.65 j
劳斯表的 s0 行为正 ⇒ Kg > 10 ，即10 < Kg < 24 根轨迹如下图：
题 4-6：已知负反馈控制系统的开环传递函数为
G(s)H(s)
b) 根轨迹趋向： n − m≥ 2 ，则极点-5，-10 之间的根轨迹向右渐进．
c)
渐近线： ⎧⎪⎨ϕk
=
±180(1 + 2
2n)
=
±90o
⎪⎩−σ k = −6.5
d) 分离点与会合点：令 ∂Kg = 0 ∂s
即： 2s3 + 21s2 + 60s +100 = 0 ⇒ s1 = −7.34 ； s2,3 = −1.5794 ± 2.0776j (舍去) 根轨迹如下图：
(4) 稳态速度误差系数是多少？
(5) 系统指标比该点的二阶指标大还是小？如果要求系统有该点二阶指标
的超调量，能否通过改变阻尼线而获得？是增大阻尼比还是减小它？
(1) 根轨迹方程： s + 2 = − 1 s(s +1)(s + 3) Kg
零点与极点： z1 = −2 , p1 = 0 , p2 = −1 , p3 = −3
⇒ 根轨迹方程： s = − 1 = − 1 s2 + 2s + 8 8τ Kg
零点与极点： z1 = 0 ， p1,2 = −1± 2.65 j
分离点与会合点：令 ∂Kg ∂s
= 0 ⇒ s1
= −2.828 (会合点)； s2
= 2.828 (舍去)
出射角： βsc = ±200.7o
当τ 逐渐增大时，首先系统由欠阻尼状态( 0 < ξ < 1，系统有两个共轭
利用辐角条件：
点(-1，j2) 在 = arctan 2 − 45o − arctan 7 − (180o − arctan 2) = −180o 符合幅角条件．
点(-1，j3) 不在根轨迹上：
α − β1 − β2 − β3 = arctan 3 − arctan 3 − arctan 9 − (180o − arctan 3) = −192.1o
⎧⎪⎨⎪⎩ϕ−σk
=
k
±60o , ±180o = −0.33
d) 分离点与会合点：令 ∂Kg = 0 ∂s
即 3s2 + 2s + 0.25 = 0 ⇒ s1 = −0.17 (分离点)， s2 = −0.5 (舍去) e) 与虚轴交点：
s3 + s2 + 0.25s + 0.25a = 0 由劳斯判据可以得出，当 a = 1 ， s1,2 = ±0.5 j 系统临界稳定，所以当
= ±180o − 90o −135o + 26.6o = m18.43o 根轨迹如下图：
(3) 根轨迹方程：
s+2
=− 1
(s +1+ j)(s +1− j) Kg
a) 零点与极点： z1 = −2 ， p1 = −1+ j ， p2 = −1− j
b) 分离点与会合点：
在实轴上只有一个零点，在其右侧无根．则两个极点一个趋向负无穷，
第四章
题 4-1：试绘制如下负反馈控制系统开环传递函数以 K( K g )为参变量的闭环根
轨迹。
(1)
G(s)H(s)
=
K(0.5s + 1) s(0.1s + 1)(0.2s
+
1)
(2)
G(s)H(s) = K g (s + 3) s(s 2 + 2s + 2)
(3) G(s)H(s) = K g (s + 2) (s 2 + 2s + 2)
μ
=
Re(s3 ) Re( s1 )
=
−2.848 −0.576
>
3．
这说明所确定的点能充当闭环主导极点．
实际系统根轨如下：
(2) 根据闭环主导极点：
ωn =| s |= 0.5762 + 0.5762 = 0.81
− ξπ
− 0.707π
σ % = e 1−ξ 2 ×100% = e 1−0.7072 ×100% = 4.33%
s4
1
11 4Kg
s3
6
6+ Kg
s2
10
−
1 6
Kg
4Kg
s1
360
− 90Kg
−
K
2 g
60 − Kg
s0
4Kg
令 360
− 90Kg
−
K
2 g
=
0 ，解得
K g1
=
3.84
，
Kg2
=
−93.84
(舍去)
当 Kg = 3.84 时， 9.36s2 +15.36 = 0 ⇒ s = ± j1.28
由特征方程1+ G(s)H (s) = s3 + s2 + 0.25s + 0.25a = 0
得到广义根轨迹方程：
1
=− 1 =− 1
s2 (s +1) + 0.25s 0.25a Kg
a) 零点与极点： p1 = 0 ； p2,3 = −0.5
b) 根轨迹趋向： n − m≥ 2 ，见图
c)
渐近线：
s→0
=
lim s
s→0
Kg (s + 2) s(s +1)(s + 3)
(4)
G(s)H(s)
=
s(s
K g (s + 4) + 1)(s + 2)(s
+
3)
(5) G(s)H(s) =
K g (s + 2)
(s − 1)(s 2 + 4s + 16)
(1) 根轨迹方程：
s+2
=− 1
s(s +10)(s + 5) Kg
K g = 25K
a) 零点与极点： z1 = −2 ， p1 = −10 ， p2 = −5 ， p3 = 0
环极点沿着负实轴向右趋向于原点(系统开环零点)，当τ 足够大时，原二阶
系统可近似为一个由第二个闭环极点(即沿着负实轴向右趋向于原点的负
实数闭环极点)所描述的一阶系统，此时原系统的性能主要由这个近似的一
阶系统决定。
根轨迹如下图(以原点为圆心的圆弧)：
题 4-4：某负反馈控制系统的开环传递函数具有如下的形式
不符合幅角条件． 补偿方法：添加一对开环零极点，所偿角为12.1o ． 根轨迹如下图：
8
6
4
2
Im ag A x is
0
-2
-4
-6
-8
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Real Axis
题 4-5：已知负反馈控制系统的开环传递函数分别为
(1)
G(s)H(s) =
Kg
s(s 2 + 2s + 10)
(2) G(s)H(s) =
Kg
(s − 1)(s 2 + 3s + 10)
试绘制它们的根轨迹并确定使系统稳定的 K g 值范围。
(1)
根轨迹方程：
1
s(s2 + 2s +10)
=− 1 Kg
零点与极点： p1,2 = −1± 3 j ， p3 = 0
渐近线：
⎧⎪⎨⎪⎩ϕ−σk
=
k
±60o , ±180o = −0.67
根轨迹如下图：
(5) 根轨迹方程：
s+2
=− 1
(s −1)(s + 2 + 2 3 j)(s + 2 − 2 3 j) Kg
a) 零点与极点： z1 = −2 ， p1 = 1 ， p2 = −2 + 2 3 j ， p3 = −2 − 2 3 j b) 根轨迹趋向： n − m≥ 2 ，见图
c)
即： 3s4 + 28s3 + 83s2 + 88s + 24 = 0
⇒ s1 = −0.4108 (分离点)； s2 = −2.686 (分离点)； s3 = −4.6911 (会合点)； s4 = −1.5455 (舍去)
e) 与虚轴的交点：
特征方程： s4 + 6s3 +11s2 + (6 + Kg )s + 4Kg = 0
=
Kg s(s +
(s + 1)(s
2) + 3)
试绘制以 K g 为参变量的根轨迹，在根轨迹上确定具有二阶阻尼比为 ζ = 0.707 的 点，并回答：
(1) 所确定的点能否充当闭环主导极点？
(2) 由该点确定的二阶响应性能 σ% 、 t s 是多少？ (3) 该点的 K g 和开环放大系数 K 是多少？
a ∈(0,1) 系统稳定．
a 的改变会影响闭环主导极点的ξ 、ωn ；a 越大[在 (0,1) 之间]，ξ 越小， 超调量越大，系统震荡越剧烈；同时ωn 越大，闭环主导极点距离虚轴越近， 调节时间越长。
根轨迹如下图：
题 4-3：试绘制题 3-3 所示系统以τ为参变量的根轨迹，并讨论τ逐渐增大时的
效应。 系统特征方程： s2 + (8τ + 2)s + 8 = 0
s(s +1)(s + 2)(s + 3) Kg
a) 零点与极点： z1 = −4 ， p1 = −1 ， p2 = −2 ， p3 = −3 ， p4 = 0
b) 根轨迹趋向： n − m≥ 2 ，见图
c)
渐近线：
⎧⎪⎨⎪⎩ϕ−σk
=
k
±60o , ±180o = −0.67
d) 分离点与会合点：令 ∂Kg = 0 ∂s
一个趋向 − 2 ，令 ∂Kg = 0 ∂s
即： s2 + 4s + 2 = 0 ⇒ s1 = −3.41； s2 = −0.5858 (舍去) c) 渐近线：ϕk = ±180o d) 出射角： βsc = m135o 根轨迹如下图(以(-2，0)为圆心的圆弧)：
(4) 根轨迹方程：
s+4
=− 1
渐近线：
⎧⎪⎨⎪⎩ϕ−σk
=
k
±90o = −1
分离点与会合点： ∂Kg = 0 ⇒ s = −0.534 (分离点) ∂s
作ξ = 0.707 的阻尼线交根轨迹于 s1 = −0.576 + 0.576 j ， s2 = −0.576 − 0.576 j
由于
s1
+
s2
+
s3
=
−4
，则
s3
=
−2.848 ，
复数闭环极点)过渡到临界阻尼状态(ξ = 1，此时根轨迹到达会合点，系统
有两个相等的负实数闭环极点)，这期间ωn 不变，系统的性能是由这两个共 轭复数闭环极点或这两个相等的负实数闭环极点共同决定；随着τ 继续增
大，系统变为过阻尼状态(ξ > 1)，此时系统有两个不相等的负实数闭环极
点，其中一个负实数闭环极点沿着负实轴向左趋向于 −∞ ，另一个负实数闭
出射角： βsc = m18.4o
与虚轴交点：
特征方程： s3 + 2s2 +10s + Kg = 0
s3
1
10
s2
2
Kg
s1 10 − 0.5Kg
s0
Kg
当 Kg = 20 时， 2s2 + 20 = 0 ⇒ s1,2 = ±3.16 j 所以 0 < Kg < 20 ；当 Kg = 0 系统的开环极点等于系统的闭环极点． 根轨迹如下图：
渐近线：
⎧⎪⎨⎪⎩ϕ−σk
=
k
±90o = −0.5
d) 出射角： βsc = ±49.1o 根轨迹如下图：
题 4-2：试绘制如下负反馈控制系统开环传递函数以 a 为参变量的根轨迹，并
讨论 a 的改变对系统性能产生的影响，指出系统稳定的 a 值范围。
G(s)H(s) = 0.25(s + a) s 2 (s + 1)
ts
=
3 ξωn
= 5.24
(3) 该点对应的根轨迹放大倍数和开环放大倍数：
Kg
=
|
s
|⋅|
s +1|⋅| s |s+2|
+3|
=
0.943 (计算这个值，可代入该阻尼比的根轨迹上任
意一个根，为了计算方便代 s3
=
−2.848 )； K
=
2 3
Kg
=
0.63
(4) 稳态速度误差系数：
Kv
=
lim sG(s)H (s)
G(s)H(s) = K g (s + 2) s(s 2 + 3s + 4.5)
试判断点(-1,j2)、(-1,j3)是否在根轨迹上？如果有不在根轨迹上的点，试计算该点
满足相角条件尚需的差额。
根轨迹方程：
s+2
=− 1
s(s2 + 3s + 4.5) Kg
零点与极点： z1 = −2 ， p1,2 = −1.5 ±1.5 j ， p3 = 0
(2) 根轨迹方程：
s+3
=− 1
s(s +1+ j)(s +1− j) Kg
a) 零点与极点： z1 = −3 ， p1 = −1+ j ， p2 = −1− j ， p3 = 0
b) 根轨迹趋向： n − m≥ 2 ，见图
c)
渐近线： ⎧⎪⎨ϕk
=
±180(1 + 2
2n)
=
±90o
⎪⎩−σ k = 0.5
(2)
根轨迹方程：
1
(s −1)(s2 + 3s +10)
=− 1 Kg
零点与极点： p1,2 = −1.5 ± 2.78 j ， p3 = 1
渐近线：
⎧⎪⎨⎪⎩ϕ−σk
=
k
±60o , ±180o = −0.67
出射角： βsc = m42o
与虚轴交点：
特征方程： s3 + 2s2 + 7s + Kg −10 = 0