2022-2023学年上海市虹口区八年级(下)期末数学试卷(含解析)

2022-2023学年上海市虹口区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 直线y =2x−1的截距是( )
A. 1
B. −1
C. 2
D. −2
2. 方程 x −2=2的解是( )
A. x =4
B. x =5
C. x =6
D. x =7
3. 用换元法解分式方程时x−1x −2x x−1+1=0，如果设x−1x =y ，将原方程化为关于y 的整式方
程，那么这个整式方程是( )
A. y 2+y−2=0
B. y 2−2y +1=0
C. 2y 2−y +1=0
D. 2y 2−y−1=04. 下列说法中，正确的是( )
A. 不可能事件的概率为0
B. 随机事件的概率为0.5
C. 概率很小的事件不可能发生
D. 概率很大的事件一定发生
5. 化简A B −A C +B C 是( )
A. B C
B. A C
C. 0
D. 06.
如图，在△ABC 中，∠B =45°，∠C =60°，AD ⊥BC 于点
D ，BD = 3.若
E ，
F 分别为AB ，BC 的中点，则EF 的长为( )A.
33B.
3
2C. 1D. 6
2
二、填空题（本大题共12小题，共24.0分）
7. 方程x 3+8=0的根是______．
8. 将二元二次方程x 2−5xy +6y 2=0化为两个一次方程为______．
9. 直线y =−x +6与x 轴的交点是______ ．
10. 如果直线y =2x +2m−1经过第一、三、四象限，那么m 的取值范围是______ ．11. 已知一次函数y =(1−m )x +2图象上两点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，当x 1<x 2时，y 1>y 2，那么m 的取值范围是______ ．12. 如果从多边形的一个顶点出发可以作3条对角线，那么它的内角和是______ ．
13. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，设O A=a,O B=b，
用向量a,b表示向量C B=______ ．
14.
如图，已知在△ABC中，点D是边AC的中点，设A D=a,B D
=b，用向量a、b表示向量C B=______ ．
15.
如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果∠AOD=
120°，AB=6，那么AC=______ ．
16.
如图，在梯形ABCD中，AB//CD，点E、F分别是AD、BC的
中点，如果AB=2，EF=3，那么CD=______ ．
17. 我们如下定义：如果一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，那么称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.如图，已知点O(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，如果格点四边形OAMB(即四边形的顶点都在格点上)是以OA、OB为勾股边
且对角线相等的勾股四边形，那么点M的坐标是______ ．
18.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是
AB的中点.将△ADC绕点A旋转得到△AD1C1(点D与点D1对应，点C
与点C1对应)，当点C1落在边AB上时，联结BD1，那么线段BD1的长
是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共64.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
解方程：x
x+3+18
9−x2
=1
x−3
．
20. (本小题8.0分)
解方程组：{x+2y=12
9x2−12x y+4y2=16．
21. (本小题8.0分)
一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．
(1)当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到白球的概率是______ ；
(2)从袋中随机摸出一个球，如果摸到绿球的概率是0.25，那么n的值是______ ；
(3)在(2)的条件下，从袋中随机摸出两个球，求摸出的两个球是不同颜色的概率．
22. (本小题9.0分)
已知甲、乙两地相距360千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发前往乙地，轿车比货车晚出发2小时，轿车每小时比货车多行驶30千米，最后同时到达．
(1)求货车的速度；
(2)设货车行驶时间为x小时，离甲地的距离是y千米，如图，线段OA、BA分别表示货车、轿车离甲地距离y(千米)与x(小时)之间的函数关系，那么点A的坐标是______ ；线段BA对应的函数解析式为______ .(不需要写出定义域)
23. (本小题9.0分)
如图，在▱ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，点E、F在对角线BD上，且MF//EN．
(1)求证：△DMF≌△BNE；
(2)如果EF=AB，求证：四边形ENFM是矩形．
24. (本小题10.0分)
如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=5，BC=13，点O是对角
线BD的中点.点E为边BC上一动点，连接EO．
(1)求AB的长；
(2)如果点E为边BC的中点，连接CO，求△OEC的面积；
(3)如图2，延长EO交射线DA于点F，连接DE、BF，如果EF平分∠BED，求四边形BEDF的周长．
25. (本小题12.0分)
x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=−1
2
(x<0)相交于点C，点C在第二象限且△CAO的面积为20.点D(−5,m)在双曲线上．
线y=k
x
(1)求点C的坐标以及k的值；
(2)联结CD，直线l向上平移交直线CD于点P，点Q为平面内任意一点，如果四边形ACPQ为菱形，求点P的坐标；
(3)点E为y轴上一动点，联结DE，以DE为边向DE右侧作正方形DEFG，在点E运动的过程中，当顶点F落在直线AB上时，求点E的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：当x=0时，y=2x−1=−1，
∴直线y=2x−1的截距为−1．
故选：B．
代入x=0求出与之对应的y值，此题得解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记截距的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：x−2=2，
方程两边平方得：x−2=4，
解得：x=6，
经检验x=6是原方程的解，
故选：C．
方程两边平方得出x−2=4，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键，注意：解无理方程一定要检验．
3.【答案】A
=y，则：
【解析】解：设x−1
x
+1=0．
y−2
y
∴y2+y−2=0．
故选：A．
先换元，再化成整式方程．
本题考查换元法，确定新未知数与方程中代数式的关系是求解本题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：A、不可能事件的概率为0，故A符合题意；
B、0<随机事件的概率<1，故B不符合题意；
C、概率很小的事件也可能发生，故C不符合题意；
D、概率很大的事件不一定会发生，故D不符合题意；
故选：A．
根据概率的意义，随机事件，概率公式，逐一判断即可解答．
本题考查了概率的意义，随机事件，概率公式，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A B−A C+B C
=A B+B C−A C
=A C−A C
=0，
故选：D．
根据平面向量的加减运算法则化简即可求解．
本题考查了平面向量的加减运算，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=45°，BD=3，
∴AD=BD=3，
∵∠C=60°，
∴DC=AD
tan60∘=3
3
=1，
∴AC=2，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF=1
2
AC=1．
故选：C．
由等腰直角三角形的性质求出AD=BD=3，由锐角三角函数的定义求出DC=1，由三角形的中
位线定理可求出答案．
本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，锐角三角函数，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
7.【答案】x=−2
【解析】解：(法1)方程可变形为x3=−8，
因为(−2)3=−8，
所以方程的解为x=−2．
故答案为：x=−2
(法2)方程可变形为x3=−8，
所以x=3−8=−2．
故答案为：x=−2
把方程变形为形为x3=−8，利用立方根求解即可．
本题考查了立方根的意义，解决本题可利用立方的办法．
8.【答案】x−2y=0，x−3y=0
【解析】解：∵x2−5xy+6y2=0，
∴(x−2y)(x−3y)=0，
∴x−2y=0，x−3y=0．
故答案为：x−2y=0，x−3y=0．
二元二次方程x2−5xy+6y2=0的中间项−5xy=−2xy−3xy，根据十字相乘法分解即可．
本题考查了高次方程，熟练运用十字相乘法，是解答本题的关键，考查了学生熟练分解因式的能力．
9.【答案】(6,0)
【解析】解：当y=0时，−x+6=0，
解得：x=6，
∴直线y=−x+6与x轴的交点是(6,0)．
故答案为：(6,0)．
代入y=0，求出x的值，进而可得出直线y=−x+6与x轴的交点坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=k x+b”是解题的关键．
10.【答案】m<1
2
【解析】解：∵2>0，
∴y=2x+2m−1经过一、三象限，
∵y=2x+2m−1经过第一、三、四象限，
∴2m−1<0，
∴m<1
．
2
．
故答案为：m<1
2
根据一次函数的性质和图象在的象限即可列出一元一次不等式，进而求出m的范围．
本题主要考查了一次函数的知识、一元一次不等式的知识，难度不大．
11.【答案】m>1
【解析】解：∵x1<x2时，y1>y2，
∴y随x的增大而减小，
∴1−m<0，
∴m>1．
故答案为：m>1．
先根据x1<x2时，y1>y2，得到y随x的增大而减小，所以x的比例系数小于0，那么1−m<0，解不等式即可求解．
本题考查一次函数上点的坐标特点：当k>0，y随x增大而增大；当k<0时，y将随x的增大而减小．
12.【答案】720°
【解析】解：∵从多边形的一个顶点出发可以作3条对角线，
∴该多边形的边数为3+3=6(条)，
则它的内角和为：(6−2)×180°=720°，
故答案为：720°．
由题意可得该多边形的边数，然后利用多边形内角和公式计算即可．
本题考查多边形的对角线与内角和公式，结合已知条件求得多边形的边数是解题的关键．
13.【答案】 b+a
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵O A=a，
∴O C=−a，
又∵O B=b，
∴C B=O B−O C=b−(−a)=b+a，
故答案为： b+a．
根据平面向量的三角形运算法则求解即可．
本题考查了平面向量的运算法则，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键．
14.【答案】−b−a
【解析】解：∵点D是边AC的中点，
∴D C=A D=a，
又∵B D=b，
∴C B=D B−D C=−b−a，
故答案为：−b−a．
根据平面向量的三角形运算法则求解即可．
本题考查了平面向量的三角形运算法则，熟练掌握平面向量的三角形运算法则是解题的关键．
15.【答案】12
【解析】解：∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AO=OC=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴AO=OB=OC=AB=6，
∴AC=12．
故答案为：12．
由条件可求得△AOB为等边三角形，则可求得AC的长．
本题主要考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．
16.【答案】4
【解析】解：在梯形ABCD中，AB//CD，点E、F分别是AD、BC的中点，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
(AB+CD)，
∴EF=1
2
∴CD=2EF−AB=6−2=4．
故答案为：4．
(AB+CD)，然后把AB=2，EF=3，代入可求出CD的长．
根据梯形中位线定理得到EF=1
2
(上底+下底)．
本题考查梯形中位线定理，解决本题的关键是掌握梯形中位线=1
2
17.【答案】(3,4)或(4,3)
【解析】解：如图：
∴点M(3,4)或(4,3)．
故答案为：(3,4)或(4,3)．
利用勾股定理计算画出即可．
本题考查了勾股定理，解题的关键是理解并运用新定义“勾股四边形”、“勾股边”，正确寻找全等三角形解决问题．
18.【答案】35
【解析】解：延长D1C1交BC于点E，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=AC2+BC2=82+62=10，
∵点D是AB的中点，
∴AD=CD=1
2
AB=5，
∴∠DAC=∠DCA，
由旋转得：D1C1=CD=5，AC=AC1=8，∠ACD=∠AC1D1，∴BC1=AB−AC1=10−8=2，∠DAC=∠D1C1A，
∴DE//AC，
∴∠BEC1=∠BCA=90°，∠BC1E=∠BAC，
∴△BC1E∽△BAC，
∴BC1
BA =C1E
AC
=BE
BC
，
∴2 10=C1E
8
=BE
6
，
∴C1E=1.6，BE=1.2，
∴D1E=D1C1+C1E=5+1.6=6.6，
在Rt△D1EB中，BD1=BE2+ED21=1．22+6．62=35，
故答案为：35．
延长D1C1交BC于点E，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AB=10，再利用直角三角形斜边上的
中线性质可得AD=CD=5，从而可得∠DAC=∠DCA，然后根据旋转的性质可得：D1C1=CD= 5，AC=AC1=8，∠ACD=∠AC1D1，从而可得BC1=2，∠DAC=∠D1C1A，进而可得DE//AC，再利用平行线的性质可得∠BEC1=∠BCA=90°，∠BC1E=∠BAC，从而可得△BC1E∽△BAC，最后利用相似三角形的性质可得C1E=1.6，BE=1.2，从而可得D1E=6.6，再在Rt△D1EB中，利
用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：x
x+3+18
9−x2
=1
x−3
，
方程两边都乘(x+3)(x−3)，得x(x−3)−18=x+3，
整理得：x2−4x−21=0，
解得：x1=−3，x2=7，
检验：当x=−3时，(x+3)(x−3)=0，当x=7时，(x+3)(x−3)≠0，
所以分式方程的解是x=7．
【解析】方程两边都乘(x+3)(x−3)，得x(x−3)−18=x+3，求出方程的解，再进行检验即可．本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
20.【答案】解：{x+2y=12①
9x2−12x y+4y2=16②，
由②，得(3x−2y)2=16，
开方，得3x−2y=±4③，
由①和③组成两个二元一次方程组{x+2y=12
3x−2y=4，{x+2y=12 3x−2y=−4，
解得：{x=4
y=4或{x=2 y=5，
所以原方程组的解是{x1=4
y1=4，{x2=2 y2=5．
【解析】由②得出(3x−2y)2=16，方程两边开方得出3x−2y=±4③，由①和③组成两个二元一次方程组，求出两个方程组的解即可．
本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．
21.【答案】1
3
2
【解析】解：(1)一共有3种情况，摸到白球的情况有1种，它的概率是1
3
；
故答案为：1
3
；
(2)0.25=1
1+1+n
，
则n=2，
故答案为：2；
(3)列树状图如下：
∴一共有12种等可能得情况，摸出的两个球是不同颜色的情况有10种，
∴摸出的两个球是不同颜色的概率=10
12=5
6
．
(1)一共有3种情况，摸到白球的概率是1
3
；
(2)根据绿球的概率=绿球个数/总球数，求解n即可；
(3)列出树状图，根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法、概率公式，掌握概率公式是解题的关键．
22.【答案】(6,360)y=90x−180
【解析】解：(1)设货车的速度为x千米/小时，则轿车的速度为(x+30)千米/小时，
由题意可得：360
x −2=360
x+30
，
解得x1=60，x2=−90，
答：货车的速度为60千米/小时；
(2)设货车行驶时间为x小时到达，则轿车行驶时间为(x−2)小时到达，60x=90(x−2)
x=6，
60×6=360，
∴A(6,360)，
∵B(2,0)，
设线段BA对应的函数解析式为y=ax+b，
把A(6,360)，B(2,0)代入解析式得，
{360=6a+b
0=2a+b，
解得{a=90
b=−180，
∴线段BA对应的函数解析式为y=90x−180，
故答案为：(6,360)，y=90x−180．
(1)设货车的速度为x千米/小时，则轿车的速度为(x+30)千米/小时，列出方程解答即可；
(2)根据图象算出A的坐标，求出线段BA对应的函数解析式即可．
本题考查了一次函数的应用，能函数解析式是解题的关键．
23.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵M、N分别是边AD、BC的中点，
∴DM=BN=AM，
∵MF//EN，
∴∠EFM=∠FEN，
∴∠DFM=∠BEN，
在△DMF和△BNE中，
{∠M D F=∠N B E
∠D F M=∠B E N
，
D M=B N
∴△DMF≌△BNE(AAS)；
(2)连接MN，
∵△DMF≌△BNE，
∴MF=NE，
∵MF//EN，
∴四边形ENFM是平行四边形，
∵AM=BN，AM//BN，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∴AB=MN，
∵EF=AB，
∴MN=EF，
∴四边形ENFM是矩形．
【解析】(1)由平行四边形的性质结合已知条件证得AD//BC，DM=BN=AM，由平行线的性质证得∠ADB=∠CBD，∠EFM=∠FEN，根据AAS定理即可证得结论；
(2)连接MN，证得四边形ENFM是平行四边形，四边形ABNM是平行四边形，得到AB=MN，进而得到MN=EF，根据矩形的判定定理即可证得结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
24.【答案】解：(1)如图1，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，
∴∠AMB=∠AMC=∠DNC=∠DNB=90°，AM//DN，
∵AD//BC，
∴四边形AMND平行四边形，
又∠AMC=90°，
∴四边形AMND是矩形，
∴AM=DN，MN=AD=5，
在Rt△AMB和Rt△DNC中，
{A B=DC
A M=DN，
∴Rt△AMB≌Rt△DNC(HL)，
∴BM=CN，
∵MN=5，BC=13，
∴BM=CN=4，
∵∠ABC=60°，∠AMB=90°，
∴∠BAM=30°，
(2)如图1，连接OC ，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，
∵DN ⊥BC ，
∴OH //DN ，
∵点O 是对角线BD 的中点，
∴点H 是对角线BN 的中点，
∴OH 是△BDN 的中位线，
∴OH =12DN ，
由(1)知，AB =8，BM =4，
由勾股定理得AM = AB 2−BM 2= 82−42=4 3，
∴DN =AM =4 3，
∴OH =12DN =2 3，
∵E 为边BC 的中点，BC =13，
∴CE =12BC =
132，∴S △O E C =1
2CE ⋅OH =12×132×2
3=13
32
；(3)如图2，由(2)知DN =4 3，
∵AD //BC ，∴∠DFE =∠FEB ，
∴∠FEB=∠DEF，
∴∠DFE=∠DEF，
∴DF=DE，
∵点O是对角线BD的中点，
∴DO=BO，
又∵∠DOF=∠BOE，∠DFE=∠FEB，
∴△DOF≌△BOE(AAS)，
∴DF=BE，
∵DF//BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵DF=DE，
∴四边形BEDF是菱形，
∴DE=BE，
设DE=BE=x，
由(1)知CN=4，
∵BC=13，
∴BN=9，
∴EN=BN−BE=9−x，
在Rt△DNE中，由勾股定理得DE2=DN2+EN2，∴x2=(43)2+(9−x)2，
解得x=43
6
，
∴菱形BEDF的周长4×43
6=86
3
．
【解析】(1)过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，先证四边形AMND是矩形，得出A M=DN，MN=AD=5，再利用HL证得Rt△AMB和Rt△DNC全等，即可得出BM的长，最后根据直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可求出AB的长；
(2)过点O作OH⊥BC于点H，先根据勾股定理求出AM的长，即得出DN的长，再证OH是是△BDN 的中位线，即可求出OH的长，最后根据三角形的面积公式即可求出△OEC的面积；
(3)先证四边形BEDF是菱形，设DE=BE=x，再在Rt△DNE中利用根据勾股定理求出x的值，即
可求出四边形BEDF 的周长．
本题考查了梯形的性质，三角形全等的判定与性质，菱形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握这些性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)把y =0代入y =−12x +4，得x =8，
∴点A 的坐标为(8,0)，
∵S △C A D =12A ⋅|y C |=20，
|y C |=5，
∵点C 在第二象限，
∴y C =5，
把y =5代入y =−12x +4，得x =−2，
∴C (−2,5)，
把点C 的坐标代入y =k x 中得k =−10；
(2)由(1)知，双曲线的解析式为y =−10x ，
把D (−5,m )代入y =−10x 得，m =2，
∴D (−5,2)，
设直线CD 的解析式为y =kx +b ，
∴{5=−2k +b 2=−5k +b ，
解得{k =1b =7，
∴直线CD 的解析式为y =x +7，
∵四边形ACPQ 是菱形，
∴CP =AC ，
设P (x ,x +7)，则 (x +2)2+(x +7−5)2= (−2−8)2+(5−0)2，
解得x 1=5
102−2，x 2=−5 102−2(不合题意舍去)， ∴P (5 102−2,5 1102
+5)；
(3)设E (0,t )，
①当点E 在点D 的下方时，
如图，过E 作EM //x 轴，过DM ⊥EM 于M ，过F 作FN ⊥EM 于N ，
则∠DME =∠ENF =90°，
∵D 点的坐标为(−5,2)，
∴EM =5，DM =2−t ，
∵四边形DEFG 是正方形，∴DE =EF ，∠DEF =90°，
∴∠DEM +∠FEN =90°，
∴∠DEM +∠EDM =90°，
∴∠FEN =∠EDM ，
∴△DME≌△ENF (AAS )，
∴FN =EM =5，EN =DM =2−t ，
∴F 点的坐标为(2−t ,t +5)，
把F (2−t ,t +5)代入直线l A B ：y =−12x +4得t +5=−12
(2−t )+4，
解得，t =−4，
∴E (0,−4)；
②当点E 在点D 的上方时，同理可得F (t−2,t−5)，
代入直线l A B 可得t =
203，点E (0,203)，
综上所述，E (0,−4)或(0,203).
【解析】(1)先求出A 的坐标，根据三角形CAD 的面积公式得到C 的纵坐标，把C 的坐标代入即可得到结论；
(2)先求出D 的坐标，再求出直线CD 的解析式为y =x +7，设点P (x ,x +7)，根据菱形的性质得到C P =CA ，列方程即可得到结论；
(3)设E (0,t )，分两种情况：①当点E 在点D 的下方时，②当点E 在点D 的上方时，分别求解即可．本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，两点间的距离公式等知识，综合性 强，熟练掌握相关性质并灵活掌握，正确作出
图形添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
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