集合的概念与表示(7类必考点)-2022-2023学年高一数学(苏教版2019必修第一册)

专题1.1 集合的概念与表示
【考点1：集合的含义】 (1)
【考点2：元素与集合的关系】 (2)
【考点3：集合中元素的个数】 (3)
【考点4：集合中元素的确定性、互异性、无序性】 (5)
【考点5：有限集与无限集】 (7)
【考点6：常用数集与点集】 (9)
【考点7：集合的表示方法】 (10)
【考点1：集合的含义】
【知识点：集合】
把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．1．（2022春•广南县期中）下列各对象可以组成集合的是（）
A．与1非常接近的全体实数
B．北附广南实验学校2020～2021学年度第二学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．中国著名的数学家
【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可．
【解答】解：对于选项A：其中元素不具有确定性，故选项A错误，
对于选项B：对于任何一个学生可以判断其是否属于{北附广南实验学校2020～2021学年度笫二学期全体高一学生}，故选项B正确，
对于选项C：其中元素不具有确定性，故选项C错误，
对于选项D：其中元素不具有确定性，故选项D错误，
故选：B．
2．（2021秋•湖北月考）判断下列元素的全体可以组成集合的是（）
①湖北省所有的好学校；
②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点；
③n的近似值；
④不大于5的自然数．
A．①②B．②③C．②④D．③④
【分析】由集合元素的特征可知：集合的元素具有确定性、互异性、无序性，据此即可选出．
【解答】解：“好学校”不具有确定性，n的近似值不具有确定性，因此①③不能组成集合；
直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点，不大于5的自然数，满足集合的元素的特征，因此②④能组成集合．
故选：C．
3．（2021秋•城关区校级月考）下列给出的对象中，能组成集合的是（）
A．一切很大的数B．好心人
C．漂亮的小女孩D．方程x2﹣1＝0的实数根
【分析】从集合的定义入手，由集合中的元素是确定性、互异性、无序性判定选项的正误即可．【解答】解：对于A：一切很大的数，B：好心人，C：漂亮的小女孩，
描述不够准确具体，元素不能确定，所以都不正确；
选项D：方程x2﹣1＝0的实数根为±1，元素是确定的，具体的，是正确的．
故选：D．
4．（2021秋•威宁县校级月考）下列语言叙述中，能表示集合的是（）
A．数轴上离原点距离很近的所有点
B．太阳系内的所有行星
C．某高一年级全体视力差的学生
D．与△ABC大小相仿的所有三角形
【分析】从集合的定义入手，由集合中的元素是确定性、互异性、无序性判定选项的正误即可．【解答】解：对于A：数轴上离原点距离很近的所有点，元素不能确定，故A不能表示集合；
对于B：太阳系内的所有行星，元素是确定的，能表示集合，故B正确；
对于C：某高一年级全体视力差的学生，元素不能确定，故C不能表示集合；
对于D：与△ABC大小相仿的所有三角形，元素不能确定，故D不能表示集合．
故选：B．
【考点2：元素与集合的关系】
【知识点：元素与集合的关系】
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．
(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．
1．（2022•长沙模拟）已知集合A＝{{∅}，∅}，下列选项中均为A的元素的是（）
（1）{∅}；
（2）{{∅}}；
（3）∅；
（4）{{∅}，∅}．
A ．（1）（2）
B ．（1）（3）
C ．（2）（3）
D ．（2）（4）
【分析】由元素与集合的关系逐一判断即可．
【解答】解：集合A ＝{{∅}，∅}，
则{∅}∈A ，∅∈A ，{{∅}}⊆A ，{{∅}，∅}＝A ，
故选：B ．
2．（2021秋•河北区期末）下列关系中正确的个数是（ ）
①12∈Q ；②√2∉R ；③0∈N *；④π∈Z ． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【分析】根据元素与集合的关系进行判断．
【解答】解：①12∈Q 正确，②√2∉R 不正确，③0∈N *不正确，④π∈Z 不正确． 故选：A ．
3．（2021秋•桂林期末）下列关系中，正确的是（ ）
A ．﹣2∈{0，1}
B ．32∈Z
C ．π∈R
D ．5∈∅
【分析】根据元素与集合的关系，用∈∉符号，可得结论．
【解答】解：根据元素与集合的关系，用∈∉符号，
﹣2∉{0，1}，32∉Z ，π∈R ，5∉∅，可知C 正确． 故选：C ．
【考点3：集合中元素的个数】
1．（2022•全国一模）已知集合A ＝{2，3，4，5，6}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，y ﹣x ∈A }，则B 中所含元素的个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
【分析】由集合B 中的元素所满足的条件，用列举法写出集合B 中的所有元素，则答案可求．
【解答】解：由A ＝{2，3，4，5，6}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，y ﹣x ∈A }，
当x＝2时，y＝4，5，6，
当x＝3时，y＝5，6，
当x＝4时，y＝6，
所以B＝{（2，4），（2，5），（2，6），（3，5）（3，6），（4，6）}，
所以B中所含元素个数为6个．
故选：D．
2．（2021秋•长寿区期末）设集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义P⊗Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P⊗Q中元素的个数为（）
A．3B．4C．5D．6
【分析】由集合的定义代入写出所有元素即可．
【解答】解：由题意知，
P⊗Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}＝{（3，6），（3，7），（4，6），（4，7），（5，6），（5，7）}，共有6个元素，
故选：D．
3．（2021秋•芜湖期末）集合A＝{x∈N*|x﹣5＜0}中的元素个数是（）
A．0B．4C．5D．6
【分析】列举法求集合A，从而确定元素个数．
【解答】解：A＝{x∈N*|x﹣5＜0}＝{1，2，3，4}，
故集合A中有4个元素，
故选：B．
4．（2021秋•三元区校级月考）如果集合M＝{x|mx2﹣4x+2＝0}中只有一个元素，则实数m的所有可能值的和为（）
A．4B．2C．1D．0
【分析】当m＝0时，经检验满足条件；当m≠0时，由判别式Δ＝16﹣8m＝0，解得m的值，由此得出结论
【解答】解：当m＝0时，显然满足集合{x|mx2﹣4x+2＝0}有且只有一个元素，
当m≠0时，由集合{x|mx2﹣4x+2＝0}有且只有一个元素，
可得判别式Δ＝16﹣8m＝0，
解得m＝2，
∴实数m的所有可能值的和为0+2＝2，
故选：B．
【考点4：集合中元素的确定性、互异性、无序性】
【知识点：集合中元素的确定性、互异性、无序性】
（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合．
（2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}．
（3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合．
1．（2021秋•汇川区校级月考）已知集合A中含有5和a2+2a+4这两个元素，且7∈A，则a3的值为（）A．0B．1或﹣27C．1D．﹣27
【分析】根据条件得“a2+2a+4＝7”，求出a的值，则易求a3的值．
【解答】解：依题意得：a2+2a+4＝7，
整理，得
（a+3）（a﹣1）＝0
解得a1＝﹣3，a2＝1．
故a3＝﹣27或a3＝1．
故选：B．
2．（2021•南充模拟）若集合S＝{a，b，c}（a、b、c∈R）中三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
【分析】由集合元素的特点可知a，b及c互不相等，所以a，b及c构成三角形的三边长，得到三角形的三边长互不相等，此三角形没有两边相等，一定不能为等腰三角形．
【解答】解：根据集合元素的互异性可知：
a，b及c三个元素互不相等，
若此三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是等腰三角形．
故选：D．
3．（2021秋•泗县校级月考）数集{1，2，x2﹣3}中的x不能取的数值的集合是（）A．{2，√5}B．{﹣2，−√5}C．{±2，±√5}D．{2，−√5}
【分析】利用集合中的元素具有互异性的性质可知x2﹣3≠1，且x2﹣3≠2，由此能求出数集{1，2，x2﹣3}中的x不能取的数值的集合．
【解答】解：由x2﹣3≠1解得x≠±2．
由x2﹣3≠2解得x≠±√5．
∴x不能取得值的集合为{±2，±√5}．
故选：C．
4．（2021•郓城县校级一模）在集合A＝{1，a2﹣a﹣1，a2﹣2a+2}中，a的值可以是（）A．0B．1C．2D．1或2
【分析】对于集合A＝{1，a2﹣a﹣1，a2﹣2a+2}中的三个元素必须互不相同，由此限定参数a的取值范围，即利用集合中元素的互异性即可解决本题．
【解答】解：当a＝0时，a2﹣a﹣1＝﹣1，a2﹣2a+2＝2，
当a＝1时，a2﹣a﹣1＝﹣1，a2﹣2a+2＝1，
当a＝2时，a2﹣a﹣1＝1，a2﹣2a+2＝2，
由集合中元素的互异性知：选A．
故选：A．
5．（2022•江西）定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B的所有元素之和为（）
A．0B．2C．3D．6
【分析】根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合A*B中的元素可能的情况；再由集合元素的互异性，可得集合A*B，进而可得答案．
【解答】解：根据题意，设A＝{1，2}，B＝{0，2}，
则集合A*B中的元素可能为：0、2、0、4，
又有集合元素的互异性，则A*B＝{0，2，4}，
其所有元素之和为6；
故选：D．
6．（2021秋•市中区校级期中）含有三个实数的集合可表示为{a，b
a，1}，也可表示为{a
2，a+b，0}，则
a2009+b2009的值为（）
A．0B．﹣1C．1D．±1
【分析】对于{a，b
a，1}，根据集合元素的互异性，可得a≠1，a≠0；进而由集合相等，可得b＝0；代
入两个集合中，可得a的值，由此可得答案．
【解答】解：根据题意，对于{a，b
a，1}，有a≠1，a≠0；
又有{a，b
a，1}={a
2，a+b，0}，
则有a＝0或b
a
=0；
又由a≠0；故b＝0；
代入集合中．可得{a，1，0}＝{a2，a，0}，
必有a2＝1，又由a≠1，则a＝﹣1；
则a2009+b2009＝﹣1，选B．
【考点5：有限集与无限集】
1．（2021秋•覃塘区校级月考）下列集合中有限集的个数是（）
①不超过π的正整数构成的集合；
②平方后等于自身的数构成的集合；
③高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合；
④所有小于2的整数构成的集合．
A．1B．3C．2D．4【分析】分析给定四个集合中个数是否有限，进而可得答案．
【解答】解：①不超过π的正整数构成的集合为{1，2，3}为有限集；
②平方后等于自身的数构成的集合为{0，1}为有限集；
③高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合为有限集．
④所有小于2的整数构成的集合为无限集，
故选：B．
2．（2021秋•青羊区校级期中）以下集合为有限集的是（）A．由大于10的所有自然数组成的集合
B．平面内到一个定点O的距离等于定长l（l＞0）的所有点P组成的集合C．由24与30的所有公约数组成的集合
D．由24与30的所有公倍数组成的集合
【分析】由集合的定义，对于一些比较简单的命题，可用简单的列举法进行排除，即可得到正确答案【解答】解：对于A：大于10的所有自然数：11、12、13…，一直到+∞，有无数个满足条件的自然数，所以A不合题意
对于B：满足题意点的轨迹是以点O为圆心，以l为半径的圆，即满足条件的点，是圆上的点，而圆上有无数个点，所以B不合题意
对于C：24与30的公约数有：1、2、3、6．有有限个，所以C满足题意
对于D：设m＝240×n（n∈N+），则m都可以是24与30的公倍数，所以24与30的公倍数有无数个，D不合题意
故选：C．
3．（2021秋•兴宁市校级月考）设集合A＝{面积为1的矩形}，B＝{面积为1的正三角形}，则正确的是（）A．A，B都是有限集B．A，B都是无限集
C．A是无限集，B是有限集D．A是有限集，B是无限集
【分析】由于面积为1的矩形有无数个，而面积为1的正三角形只有一个，易得结果．
【解答】解：由于面积为1的矩形有无数个，所以集合A为无限集，
而面积为1的正三角形只有一个，所以集合B为有限集．
故选：C．
4．（2021•涿鹿县校级开学）设集合M＝{大于0小于1的有理数}，
N＝{小于1050的正整数}，
P＝{定圆C的内接三角形}，
Q＝{所有能被7整除的数}，
其中无限集是（）
A．M、N、P B．M、P、Q C．N、P、Q D．M、N、Q
【分析】利用集合中元素的个数有限与无限进行判断，即可得出结论．
【解答】解：集合M＝{大于0小于1的有理数}，是无限集，
N＝{小于1050的正整数}，是有限集，
P＝{定圆C的内接三角形}，是无限集，
Q＝{所有能被7整除的数}，是无限集，
故选：B．
5．设集合A＝{周长为4cm的正方形}，B＝{面积为4cm2的长方形}，则正确的是（）
A．A，B都是有限集B．A，B都是无限集
C．A是无限集，B是有限集D．A是有限集，B是无限集
【分析】集合A：周长为4cm的正方形的边长1cm，这样的正方形只有1个，是有限集；集合B：面积为4cm2的长方形，长与宽可以任意变化，这样的长方形有无数个，是无限集．
【解答】解：集合A：周长为4cm的正方形，可以解得边长1cm，这样的正方形只有1个．所以为有限集．
集合B：面积为4cm2的长方形，长与宽可以任意变化，这样的长方形有无数个，所以为无限集．故选：D．
6．（2021秋•杨浦区校级期中）若整数集Z的子集S满足条件：对任何a，b∈S，都有a﹣b∈S，就称S是封闭集．下列命题中错误的是（）
A．若S是封闭集且S≠{0}，则S一定是无限集
B．对任意整数a，b，S＝{n|ax+by，x，y∈Z}是封闭集
C．若S是封闭集，则存在整数k∈S，使得S中任何元素都是k的整数倍
D．存在非零整数a，b和封闭集S，使得a，b∈S，但a，b的最大公约数d∉S
【分析】由封闭集定义可分析出A，B，C正确．
【解答】解：由封闭集定义可得0∈S，
若非零整数k∈S，则0﹣k即﹣k∈S，
进一步得k﹣（﹣k）＝2k∈S和﹣k﹣k＝﹣2k∈S，
从而±3k，±4k，±5k，…都在S中，
可知A，C正确，
对于B，由ax1+by1∈S，ax2+by2∈S，
可得（ax1+by1）﹣（ax2+by2）＝a（x1﹣x2）+b（y1﹣y2）∈S，
可知B正确，
故选：D．
【考点6：常用数集与点集】
1．集合M＝{（x，y）|xy＞0，x+y＜0，x∈R，y∈R}是（）
A．第一象限的点集B．第二象限的点集
C．第三象限的点集D．第四象限的点集
【分析】利用不等式的性质可得：x +y ＜0，xy ＞0，⇔x ＜0，y ＜0．进而判断出集合的意义．
【解答】解：由x +y ＜0，xy ＞0，⇔x ＜0，y ＜0．
故集合M ＝{（x ，y ）|xy ＞0，x +y ＜0，x ∈R ，y ∈R }是第三象限的点集．
故选：C ．
2．（2021秋•安康月考）方程组{x +y =1
x −y =3的解集是（ ）
A ．{2，﹣1}
B ．{x ＝2，y ＝﹣1}
C ．{（x ，y ）|（2，﹣1）}
D ．{（2，﹣1）}
【分析】先求出方程组的解，然后利用列举法表示集合即可．
【解答】解：由{x +y =1
x −y =3得{x =2y =−1，
即方程组构成的集合为{（2，﹣1）}，
故选：D ．
3．（2021秋•西城区期末）方程组{x +y =0
x 2+x =2的解集是（ ）
A ．{（1，﹣1），（﹣1，1）}
B ．{（1，1），（﹣2，2）}
C ．{（1，﹣1），（﹣2，2）}
D ．{（2，﹣2），（﹣2，2）}
【分析】解原方程组得出x ，y 的值，然后写出原方程组的解集即可．
【解答】解：解{x +y =0x 2+x =2得，{x =−2y =2或{x =1
y =−1，
∴原方程组的解集为：{（1，﹣1），（﹣2，2）}．
故选：C ．
4．（2021秋•垫江县校级月考）若用列举法表示集合A ＝{（x ，y ）|{2y −x =7
x +y =2}，则下列表示正确的是（
） A ．{x ＝﹣1，y ＝3} B ．{（﹣1，3）} C ．{3，﹣1} D ．{﹣1，3}
【分析】先解方程组，然后用列举法表示所求集合，需要注意集合中的元素．
【解答】解：{2y −x =7
x +y =2，解得{x =−1y =3，
所以A ＝{（x ，y ）|{2y −x =7
x +y =2}＝{（﹣1，3）}．
故选：B ．
【考点7：集合的表示方法】
【知识点：集合的表示方法】
列举法根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系
结构法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断
数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系
1．（2021秋•昌吉州期末）集合A={x∈N∗|
6
3−x
∈N∗}用列举法可以表示为（）
A．{3，6}B．{1，2}
C．{0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
【分析】根据x∈N*，
6
3−x
∈N∗可得出x的取值分别为1，2，从而得出A＝{1，2}．
【解答】解：∵x∈N*，
6
3−x
∈N∗，
∴A＝{1，2}．
故选：B．
2．（2021秋•合肥期末）集合{x∈N|x﹣2＜2}用列举法表示是（）
A．{1，2，3}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4}D．{0，1，2，3}【分析】化简集合，将元素一一列举出来即可．
【解答】解：集合{x∈N|x﹣2＜2}＝{x∈N|x＜4}＝{0，1，2，3}．
故选：D．
3．（2021秋•桂林期末）下列集合表示正确的是（）
A．{2，4}B．{2，4，4}C．（1，2，3）D．{高个子男生}【分析】根据集合的表示，及元素的特性，即可得出结论．
【解答】解：根据集合的表示，B不满足互异性，C应写在花括号内，D中元素不确定，故选：A．
4．（2022春•南关区校级期末）集合{x∈N|x﹣3＜2}，用列举法表示是（）A．{0，1，2，3，4}B．{1，2，3，4}
C．{0，1，2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}
【分析】化简集合，将元素一一列举出来．
【解答】解：集合{x∈N|x﹣3＜2}＝{x∈N|x＜5}＝{0，1，2，3，4}．
故选：A．
5．（2021秋•宜春期末）在数轴上与原点距离不大于3的点的坐标的集合是（）A．{x|x≤﹣3或x≥3}B．{x|﹣3≤x≤3}C．{x|x≤﹣3}D．{x|x≥3}【分析】在数轴上与原点距离不大于3的点的坐标的集合即满足|x|≤3的x的集合．
【解答】解：在数轴上与原点距离不大于3的点的坐标的集合是满足|x|≤3的x的集合，
解绝对值不等式可得：{x|﹣3≤x≤3}，
故选：B．。