福建省部分重点中学2019届高三第二次联考数学(文)试题

福建省部分重点中学2019届高三第二次联考
数学（文）试题
本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合{}0lg |>=x x M ，{}
4|2
≤=x x N ，则N M ⋂（ ）
A. ()2,1
B. [)2,1
C.(]2,1
D.[]2,1 2．已知，其中i 是虚数单位，则的虚部为（ ）
A ．
B. 54
C ．
D ．i
5
4
3．已知平面向量()()1,3,,3a b x ==-，且//a b ，则2a b +=（ ）
4.数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项的和，若7703
S π
=
，则4sin a =（ ）
A ．
B ．12
-
C ．
12 D
5. 在下列区间中，函数34)(-+=x e x f x 的零点所在的区间为（ ）
A ．)0,41(-
B ．)41,0( C. )21,41( D ．)4
3,21( 6．下列说法正确的是（ ）
A ．“p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的充分不必要条件
B ．
，“
”是“1>a ”的必要不充分条件
C ．命题“R x ∈∃，使得0322<++x x ”的否定是：“R x ∈∀，0322>++x x ”
D ．命题p ：“R x ∈∀，2cos sin ≤+x x ”，则p ⌝是真命题
7．已知实数y x ,满足1
218y y x x y ≥⎧⎪
≤-⎨⎪+≤⎩
，则目标函数y x z
-=的最小值为( )
A ．6
B ．5
C ． -2
D ．7 8.要得到函数()cos(2)6
f x x π
=-
的图象，只需将函数()sin 2g x x =的图象（ ）
A ．向左平移
6π
个单位 B ．向右平移
6π
个单位 C ．向左平移3
π
个单位
D ．向右平移3
π
个单位
9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A
． B
． C
D
10. 已知函数()ln ||f x x x =-，则()f x 的图象大致为（ ）
11.对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：
33313
73152394517
1119
⎧⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩， ， ，...仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是2017，则m 值为（ ）
A ．45
B ．46
C ．47
D ．48
12.若函数()y f x =的图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则称点对[]A B ，为()y f x =的“友情点对”，点对[]A B ，与[]B A ，可看作同一个“友情点对”，若函数
2
10()20x f x x ax a x <⎧=⎨-+⎩，，
，≥恰好有两个“友情点对”，则实数a 的取值范围是（ ） A
．(1 B
．)+∞
C.1) D
．)+∞ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知函数⎩⎨
⎧≤>=0
,30
,log )(4x x x x f x
，则=))4
1((f f __________.
14．如图，在矩形ABCD
中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，
点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=AE BF ⋅的值是 .
15.已知x >0，y >0，且xy y x =+82且，则y x +的最小值是 ．
16．对任意x R ∈，不等式2
2
2x x a a +-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、(本小题满分10分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前三项和为6，且248,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
1n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n
S ，求使
1415n S <的n 的最大值．
18、 (本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD -中， PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E 为PD 的中点．（1）证明：PB ∥平面AEC ； （
2）设，AD =A 到平面PBC 的距离．
19、（本小题满分12分）已知函数f )0,(2
1
cos )cos sin 3()(>∈-+=ωωωωR x x x x x .若)(x f 的最小正周期为π4. （1）求函数)(x f 的单调递增区间；
（2）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足C b B c a cos cos )2(=-，求函数)(A f 的取值范围.
20、（本小题满分12分）某机械厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每年生产x 台,需另投入成本为()x C 万元,当年产量不足80台时,()x x x C 10312+=（万元）；当年产量不小
于80台时，()1998750
299503
+-=x x x C （万元）.通过市场分析，若每台售价为50万元，该厂当年生产的该产品能全部销售完.
（1）写出年利润()x L 万元关于年产量x 台的函数解析式；
（2）年产量为多少台时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是
多少?
21、（本小题满分12分）在∆ABC 中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ,已知
23cos cos 23sin sinC 2cos B C B A +=+.
(1)求角A 的大小；(2)若5
5,sin sin ,7
==b B C ,求△ABC 的面积S .
22、（本小题满分12分）已知函数是常数），此函数对应的曲线
在点
处的切线与轴平行.
（1）求的值，并求
出的最大值；
（2）设，函数
，若对任意的，总存在，
使 ，求实数的取值范围.
参考答案
三、解答题
17、(本小题满分10分)
（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ，依题意可得
,02
61218
22
4321⎩⎨⎧=-=+⎩⎨⎧==++d a d d a a a a a a a 即 ................................................................................3分 n a d a d n =∴==∴≠1,101 .....................................................................................5分
(2) 由（1）可得()1
1
111+-=+=
n n n n b n
111111
3121211+-=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴n n n S n .............................................8分
131415
14
111的最大值为令n n n ∴<∴<+-
.............................................................10分 18、解：（1）证明：设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ， ∵ABCD 是矩形，∴O 为BD 的中点∵E 为PD 的中点，∴EO ∥PB ．
EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ∴PB ∥平面AEC ；————————————-—————6分 （2）作AH ⊥PB 交PB 于H ，由题意可知BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥AH ， 故AH ⊥平面PBC ．又在三角形PAB 中，由射影定理可得：
A 到平面PBC 的距离————————————————————————12分
19、解：（1）2
1
cos cos sin 3)(2-
+=x x x x f ωωω )6
2sin(2cos 212sin 23πωωω+=+=
x x x . 41,422=∴==
ωπωπT ，由Z k k x k ∈+≤+≤-,226222π
ππππ，得Z k k x k ∈+≤≤-,3
24344ππππ................................6分
)(x f ∴的单调递增区间为Z k k k ∈+-],324,344[ππππ. （2）由正弦定理得，)sin(cos sin 2,cos sin cos )sin sin 2(C B B A C B B C A +=∴=-，
2
1
cos ,cos cos cos 2,cos cos )2(=
∴-+==-B a B c C b B a C b B c a 又3
20,3
,0ππ
π<
<∴=
∴<<A B B ， )1,2
1
()(,2626
∈∴<+<
∴
A f A πππ
..........................12分 20．（本小题满分12分）解：（1）由题意知：
()()
()()
⎪⎩
⎪⎨⎧∈≥-+--∈≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=**N x x x x x N x x x x x x L ,8025019987502995050,80025010315032 ()
()
⎪⎩
⎪⎨⎧∈≥-+-∈-+-=**N x x x x N x x x x ,80199900030000,800250403132
…………………………6分 （2）当800<≤x 时，()()950603
125040312
2+--=-+-
=x x x x L ∴当60=x 时，()x L 取到最大值()95060=L …………………………8分
当80≥x 时，()1999000
300003-+-=x x x L ∴()()
()()100100310000330000322/-+-=--=+-=x x x x x L ∴当10080 x ≤时，()0/ x L ，函数()x L 在[)100.80上为增函数； 当100 x 时，()0/ x L ，函数()x L 在()+∞,100上为减函数；
∴ 函数()x L 在100=x 处取到最大值()1000100=L ……………11分
∴ 综上所述：当100=x 时，函数()x L 取到最大值()1000100=L 。

………12分
答：当年产量为100台时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是1000万元。

…………………12分 21、试题解析： (I)由23cos cos 23sin sinC 2cos B C B A +=+，得
22cos 3cos 20A A +-=，即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=…………………………2分
解得1
cos cos 2()2
A A =
=-或舍去……………………………………………………4分 因为0A π<<，所以3
A π
=
……………………………………………………………6分
(II)由又由正弦定理，得225
sin sin sin sin sin 7
b c bc B C A A A a a a =
==…………8分 由余弦定理，得222
2cos a b c bc A =+-,又5b =，所以25
44
c c ==
或
…………10分 1sin
2S bc A =
S S ==
…………12分 22、（1）对求导，得
，
由题意可得，
解得，
所以， 定义域为，且
，
当时，，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以当时，
有极大值，也为最大值且
. …………6分
（2）设的值域为的值域为,
由题意“对于任意的，总存在使得”，等价于，由（1）知，
因为，所以，故在上单调递减，
所以，
即，所以，
因为，
所以，
因为，故，
所以在上是增函数，
所以，
即，故
由，得，解得，
所以实数的取值范围是.……………………………………………12分。