概率论与数理统计、概率论03-第46讲 估计量的评价准则,无偏性_47

例1：设总体X的一阶和二阶矩存在，
E X , DX 2.
(1)证明:样本均值X和样本方差S 2分别是
和 2的无偏估计； (2)判断:B2是否为 2的无偏估计?
是否为 2的渐近无偏估计?
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(1)证:因X1, X2 ,, Xn与X同分布,故有:
E
X
E
1 n
n i 1
X
i
1 n
n i1
由ˆ X1 ,, X n 给出的估计的平均恰是，
从 而 无 偏 性 保 证 了 ˆ没 有 系 统 误 差 .
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例如，工厂长期为商家提供某种商品， 假设生产过程相对稳定，产品合格率为 θ，虽然一批货的合格率可能会高于θ ， 或低于θ ，但无偏性能够保证在较长一 段时间内合格率接近θ，所以双方互不 吃亏。但作为顾客购买商品，只有二种 可能，即买到的是合格品或不合格品， 此时无偏性没有意义。
E
Xi
1 n
n
故X 是的无偏估计.
E S2 2 ——见第42讲例2
故 S 2是 2的 无 偏 估 计 .
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(2) B2
n 1S2 n
E(B2)
n 1 n
E
S2
n
1 n
2
2
故B2不是 2的无偏估计.
故lnimBE2是(B2
) lim n 的 n渐 近
2
无n1偏
2
估计
2
.
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例2:设总体X 服从均匀分布U (0, ),是
则称ˆ是的一个无偏估计量.
若E ˆ ,那么 E ˆ 称为估计量ˆ的偏差, 若 lim E ˆ ,则称ˆ是的渐近无偏估计量.
n
3
• 无偏性：E ˆ
无偏
有偏
A
B
若ˆ1的概率密度如红线所示，则ˆ1是的无偏估计
若ˆ的概率密度如蓝线所示，则ˆ是.的有偏估计.
2
2
4
无偏性的统计意义是指在大量重复试验下，
X的概率密度
L 1n ,
0 x ,,x ,
1
n
fX x; 1, 0 x ,
0, 其它.
0,
其它.
L( )关于 >0递减,
而的范围为: x(n) max{x1,..., xn},
所以， 的极大似然估计量
ˆL Xn maxX1, X2,, Xn.
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根据第26讲，X n的分布函数为
0, x 0,
第46讲 估计量的评价准则,无偏性
从前两讲看到，对总体的未知参数可用不同 方法求得不同的估计量，如何评价不同估计量 的好坏？
常用的评价准则有如下四条： (1)无偏性准则 (2)有效性准 则 (3)均方误差准则 (4)相合 性准则
2
定义：若参数的估计量ˆ ˆX1, X2 ,, Xn ,满足
E ˆ ,
FXn
x
F
x n
x
n n
,
0 x ,
1, x .
求导数得密度函数为
fXn x nxnn1 , 0 x ,
0, 其它. 13
因此有:
E ˆL
E
X n
x nxn1 dx
0 n
n
n
1
所 以 ˆL X n作 为 参 数 的 估 计 是 有 偏 的 .
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➢ 纠偏方法
如果E ˆ a b, ,其中a,b是常数,且a 0,
则1 a
ˆ b
是的无偏估计.
在上例中, E(X (n)) nn1,
取X n
n
1 n
X
n,则X
n
是的, Xn .
(1)求的矩估计,判断是否无偏; (2)求的极大似然估计,判断是否无
偏.
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(1) 矩估计:
由1
E
X
0
1
xdx
2
2 1 的 矩 估 计 ˆ 2 X
因为E(ˆ) E2X 2E(X ) 2E(X ) ,
所以ˆ 2 X 是的无偏估计.
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(2) 极大似然估计: