浅谈勾股定理的发展史

浅谈勾股定理的发展史
章正敏 43号
(临沧师范高等专科学校05级数学教育四班)
提纲:
一、引言
浅谈勾股定理的发展史,勾股定理是初中数学中重要定理之一,它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系,它可以解决许多直角三角形中的计算与证明问题,是解决直角三角形问题的主要依据之一,在生产生活实际中用途很大,因而它是初中数学中,应该重视而且必须解决好的一个问题,我们对此要有深刻的认识和理解.同时,勾股定理也是几何学中的明珠,它充满魅力,千百年来,人们对它的发展和证明趋之若鸾,其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统对它的证明和发展有很深的探究。

二、正文
（一）中国最早的一部数学著作——《周髀算经》就介绍了有关勾股定理的发展史。

（二）1876年，美国的伽菲尔德也证明了勾股定理的存在。

（三）1940年，西方的毕达鲁斯在他的《毕达拉斯命题》中证明了勾股定理的存在。

（四）欧儿里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理。

（五）从勾股定理推广到费尔马定理。

三、总结
四、参考文献
浅谈勾股定理的发展史
09级数学与应用数学 0911********章正敏
摘要：在中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，就介绍了有关勾股定理的发展背景。

接着1876年一个周末的傍晚，伽菲尔德更进一步的证明了勾股定理的存在及勾股定理的内容：直角三角形两直角a、b的平方和等于斜边c的平方。

紧接着，很多的数学家在前人的基础上更进一步的证明了勾股定理的存在以及勾股定理推广到其它定理。

还有，勾股定理在数学方面也得到了广泛的应用。

关键词：浅谈勾股定理发展史
勾股定理又叫商高定理、毕氏定理，或称毕达哥拉斯定理：在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两直角边边长平方之和。

如果直角三角形两直边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2。

据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过四千年！
一、中国最早的一部数学著作——《周髀算经》就介绍了勾股定理。

在《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：‚我听说你对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？‛商高回答说：‚数的产生源于对方和圆这些形体的认识。

其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直边
‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。

这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的了。

‛这段文字描述了中国古代人民如何利用勾股定理在科学上进行实践。

钱伟长教授对这段文字作了详细的说明：‚…商高，陈子等利用立杆测定日影，再用勾股法推算日高的方法。

周髀商八尺，在镐京一带，夏至日太阳影长一尺六寸，再正南千里，影长一尺五寸。

正北千里，影长一尺七寸。

祖先天才地用测量日影的办法，推算了夏至日太阳离地的斜高，用同理测定了冬至日的太阳斜高。

又取中空竹管，径一寸长八尺，用来观测太阳，我们的祖先发现太阳圆影恰好充满竹管的视线，于是用太阳的斜高和勾股的原则，推算太阳的直径。

这些测定的数据虽然非常粗略，和实际相差很远，但在三千年前那样早的年代，有这样天才的创造和实践的观测精神，是我们应该学习的。

‛由此，中国人把这个定理称为勾股定理或商高定理。

二、1876年，美国的伽菲尔德也证明了勾股定理的存在。

1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。

他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。

由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。

只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。

于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边
长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。

”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。

于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。

他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。

1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。

后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为‚总统‛证法。

三、1940年，西方的毕达鲁斯在他的《毕达拉斯命题》中证明了勾股定理的存在。

在西方，勾股定理称为毕达哥拉斯定理，这是因为西方的数学及科学来源于古希腊，古希腊流使下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就在毕达哥拉斯的头上，要知道毕达哥拉斯被推崇为‚数论的始祖‛。

虽然，毕达哥拉
斯有不少杰出的证明，如利用反证法证明不是有理数，但最著名的就是证明勾股定理。

如果勾股定理的公式c2=a2+b2中的a,b,c未知数，是第一个不定方程（即未知数的个数多于方程的个数）也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。

四、欧儿里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理。

《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：‚直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和‛。

从上面这一定理可以推出下面的定理：‚以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于直角边上两个多面体表面积之和。

若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球面积之和等等。

五、从勾股定理推广到费尔马定理。

如果有人问起上世纪数学界中最重要的结果是什么，我相信很多人会说费尔马大定理。

这个悬置长达350多年的、比歌德巴赫猜想更著名的难题在1995年被英国数学家维尔斯彻底解决。

1996年3月维尔斯因此荣获沃尔夫奖。

首先，让我们来介绍费尔马大定理。

学过平面几何的人都知道，设a、b为直角三角形的两条边长，则斜边的边长跟a、b满足关系式c2=a2+b2。

中国人称它为《商高定理》，因为在古代的数学书籍《周髀算经》里记载古代数学家商高谈到这个关系式。

更普遍也称为勾股定理，这是因为在《周髀算经》中记载着‚勾三，股四，弦五‛，并且清楚地讨论了它们与直角三角形的关系，其后的著作中也有其他的勾股数。

费尔马对数学却有浓厚的兴趣，在公余时间常读数学书，并自己从事一些数学研究。

他在阅读希腊数学家丢番图的《算术》一书中论述求解x2+y2=z2的一般解的问题时，在书的空白处，用笔写下这样的心得：‚反过来说不可能把一个立方数分析为两个立方数的和，一个四方数分析成两个四方数之和。

更一般地，任何大于二的方数不能分析为同样方数的两个之和。

‛用数学语言来表达，费尔马结论是：当n≥3时，xn+yn=zn没有正数数解。

人们不相信费尔马找到了这个结论的证明，或者正如成千上万的后来人一样，自以为证明出来而实际上搞错了，因为许多有名的数学家都试图证明它。

1983年，史皮娄提出史皮娄猜想，并证明由史皮娄猜想可以推出，对于充分大的指数，费尔马大定理均成立。

1987年，塞尔由伽罗华表示出发提出一些更强的猜想，由它不仅可以推出费尔马大定理，还可推出许多其他猜想，但这条路最终也没有能走通。

1985年，符莱证明如果费尔马方程有非零解，则我们称之为模曲线。

模曲线有很好的性质。

我们希望任一椭圆曲线都是模曲线，这就是谷山一志猜想。

此后，数学家把证明费尔马大定理化为证明对某一类椭圆曲线。

英国数学家维尔斯正是沿着这一道路，在经过漫长的7年探索，终于在1993年6月取得突破。

最终在1995年完全证明费尔马定理。

总结：
勾股定理又叫商高定理、毕氏定理，或称毕达哥拉斯定理，它是初中数学中重要定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形的计算与证明问题，是解决直角三角形问题的主要依据之一。

参考文献：
[1]胡作玄主编《从毕达哥拉斯到费尔马》湖北教育出版社
[2]曲安京: 商高、赵爽与刘徽关于勾股定理的证明. 刊於《数学传播》20卷, 台湾, 1996年9月第3期, 20-27页。

[3]周髀算经, 文物出版社,1980年3月, 据宋代嘉定六年本影印,1-5页。

[4]陈良佐: 周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系. 刊於《汉学研究》, 1989年第7卷第1期, 255-281页。

[5]李国伟: 论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章. 刊於《第二届科学史研讨会汇刊》, 台湾, 1991年7月， 227-234页。

[6]李继闵: 商高定理辨证. 刊於《自然科学史研究》,1993年第12卷第1期,29-41页。