《多元函数积分学》练习题参考答案

∫ ∫
2 1 2
dx ∫ dy ∫
2
4− x 1 4− y 1
f ( x, y ) dy f ( x, y ) dx
2 4− y 1
（B） （D）
∫
2 1 2 1
dx ∫
4− x
x
2
f ( x, y ) dy
1
∫
dy ∫ f ( x, y ) dx
y
2 4− y 1 1
∫
2
1
dx ∫ f ( x, y ) dy + ∫ dy ∫
0 < r < R, 顺时针 ，沿 L 与 L1 围成 D ，
I =� ∫=
L
L + L1
− ⎟ dσ − � � ∫ −� ∫ = =∫∫ ⎜ ∫ ⎝ ∂x ∂y ⎠
L1 D
⎛ ∂Q
∂P ⎞
L1
y dx − x dy y dx − x dy = ∫∫ 0dσ − � 2 2 ∫ L1 x + 4y r2 D
） ． （ D） I 4
（ A） I 1 解：由对称性 I 2 =
（B） I 2
（C） I 3
∫∫ y cos xdxdy = 0 ，
D2 D1
I 4 = ∫∫ y cos xdxdy = 0 ，
D4
在 D1 上， y cos x > 0 ，所以 I1 = 在 D3 上 y cos x < 0 ， 所 以 I 3 =
则 f ( x, y ) = xy +
1 8
P105-练习 3 计算 I = 解
2 2
∫∫ x
D
2
+ y 2 − 1 dσ ，其中 D : 0 ≤ x ≤ 1 ， 0 ≤ y ≤ 1 ．
：
2 2 2 2 2 2 2 2
I = ∫∫ (1 − x − y )dσ + ∫∫ ( x + y − 1)dσ = ∫∫ (1 − x − y )dσ + ∫∫ ( x + y − 1)dσ − ∫∫ ( x + y − 1) dσ
z
div( grad u )
(1,−2,2)
=
⎞ ∂ ⎛ y ⎟+ ⎜ ⎟ ∂y ⎜ x 2 + y 2 + z 2 ⎠ ⎝
⎞ ∂⎛ z ⎟+ ⎜ ⎟ ∂z ⎜ x 2 + y 2 + z 2 ⎠ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
(1,−2,2)
=
2 x + y2 + z2
2
(1, −2,2)
33
D1 D2 D1 D D1
π
0
= 2∫ 2 dθ ∫ (1 − r 2 )rdr + ∫ dθ ∫ (r 2 − 1)rdr =
0 0 0
1
1
1
π 1 − 4 3
P105-练习 4 计算 I =
∫
π2 2 0
[∫
2x
x
sin
π2 π x x dy ] dx + ∫ π 2 [ ∫ sin dy ] dx ． x y y 2
P115-练习 11 I =
� ∫
L
y dx − x dy 2 2 2 ，其中 L : x + y = R ( R > 0) 正向． 2 2 x + 4y
解法 1： L : ⎨
⎧ x = R cos t , 0 ≤ t ≤ 2π ， 代入即可 ⎩ y = R sin t
2 2 2
解法 2：补 L1 : x + 4 y = r , 由多连通区域的格林公式
32
I=
⎤ 1 1⎡ π axdydz + ( z + a)2 dxdy = ⎢ ∫∫∫ [ a + 2( z + a)] dV − ∫∫ a2 dxdy ⎥ = − a3 ∫∫ a Σ a⎢ 2 ⎥ Σ1 ⎣ Ω ⎦
P121- 练 习 14 计 算 曲 面 积 分 I =
∫∫ xz dydz + 2 zy dzdx + 3xy dxdy
x
y
f ( x, y ) dx = ∫ dy ∫
30
f ( x, y )dx
P106- 练 习 6 设 平 面 区 域 D 由 直 线 y = x ， 圆 x 2 + y 2 = 2 y 及 y 轴 所 组 成 ， 则 二 重 积 分
∫∫ xydσ =
D
．
π 2 π 4
（2011）
π 2 π 4
解：
∫∫ y cos xdxdy > 0 ， ∫∫ y cos xdxdy < 0
D3
故
max { I k } = I1 ，选(A)
1≤ k ≤ 4
31
P113-练习 10 分
已知曲线 L 的方程为 y = 1 − x , x ∈ [ −1,1] ，起点是 (−1,0) ，终点是 (1,0) ，则曲线积 ． （2010） ；
P104-练习 1 设 D : 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1, 则
1
∫∫ min { x, y}dσ =
D y
Байду номын сангаас1 3 0 0
．
解
∫∫ min { x, y}dσ = ∫∫ xdσ + ∫∫ ydσ = ∫ dy ∫ xdx + ∫ dy ∫ ydx =
D D1 D2
0
y
4 . 3
P105-练习 2 设 f ( x, y ) 连续，且 f ( x, y ) = xy + 围成，求 f ( x, y ) ． 解：设
Σ
D
= −12∫∫ dxdy = −24
D
P122-练习 16 设 u = 解： u =
x 2 + y 2 + z 2 ，求 div( grad u )
(1, −2,2)
．
x2 + y2 + z2 ， y x2 + y2 + z 2
, ⎫ ⎪ ⎬ 2 2 2 x +y +z ⎪ ⎭
⎧ ∂u ∂u ∂u ⎫ ⎧ x ⎪ grad u = ⎨ , , , ⎬=⎨ 2 2 2 x + y + z ⎩ ∂x ∂y ∂z ⎭ ⎪ ⎩ ∂ ⎛ x ⎜ 2 ⎜ ∂x ⎝ x + y 2 + z 2 = 2 3
= 0+
1 r2
� ∫
L1−
y dx − x dy =
1 r2
− ⎟ dσ = ∫∫ −2dσ = ∫∫ ⎜ r r ⎝ ∂x ∂y ⎠
2
⎛ ∂Q
∂P ⎞
1
−2
2
⋅π r ⋅
D
D
r = −π 2
． （2007）
P118-练习 12 设曲面 ∑ : x + y + z = 1 ，则 解： Σ1 : x + y + z = 1
= ∫ ( x 6 − 1)dx = −
0
1
6 7
P108-练习 9 如图，正方形 ( x, y ) : x ≤ 1, y ≤ 1 被其对角线划分为四个区域 Dki ( k = 1,2,3,4) ．令
{
}
I k = ∫∫ y cos x dxdy ，则 max{I k } = （
Dk
1≤ k ≤ 4
2
解： I =
∫∫ ydσ
D
=
D + D1
∫∫
ydσ − ∫∫ ydσ = 4 −
D1
π 2
P108-练习 8 计算 I = 解：如图
∫∫ y[1 + xe
D
3
x2 + y 2
] dσ ， D 由 y = −1 ， y = x 3 ， x = 1围成．
1 −x I = 2 ∫∫ ydσ = 2∫ ⎡ ydy ⎤ dx ∫ ⎥ 0⎢ − 1 ⎣ ⎦ D3
∫
L
xy dx + x 2 dy =
解： L1 : y = 1 + x
x : −1 → 0
0
L2 : y = 1 − x x : 0 → 1
1
2 2 2 ∫ L xy dx + x dy =∫L1 + ∫L2 = ∫−1 ⎡ ⎣ x(1 + x) + x ⎤ ⎦ dx + ∫0 ⎡ ⎣ x(1 − x) − x ⎤ ⎦ dx = 0
∫∫ f (u, v) dudv ，其中 D 由 y = 0 ， y = x
D
2
， x =1
∫∫ f (u, v)dudv = A ，则 f ( x, y) = xy + A ，两边在 D 上二重积分，有
D
1 x2 1 x2 1 A = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ ( xy + A )dxdy = ∫ dx ∫ xydy + A∫ dx ∫ dy ⇒ A = ， 0 0 0 0 8 D D
∫∫ xydσ = ∫
D
cos θ sin θ dθ ∫
2sin θ
0
r dr = 4 ∫
3
2 cos θ sin θ dθ = (sin 6 θ ) 3
5
π 2 π 4
=
7 12
P107-练习 7 计算 I =
∫∫ y dσ
D
， D 由 y = 0 ， y = 2 ， x = −2 ， x = − 2 y − y 所围成． （1999）
dydz ∂ ∂x 2 y − z2
dzdx dxdy ∂ ∂ ∂y ∂z 2 2 2 2 z − x 3x − y 2
= ∫∫ (−2 y − 4 z )dydz + (−6 x − 2 z )dzdx + (−2 x − 2 y )dxdy
Σ
= ∫∫ [ (−2 y − 4 z ) + (−6 x − 2 z ) + (−2 x − 2 y )] dxdy = −2∫∫ (6 + x − y )dxdy
∑
， 其 中 ∑ 为 曲 面
z = 1 − x2 −
1 2 y (0 ≤ z ≤ 1) ，取上侧． （2007） 4
解：补 Σ1 :
z = 0 ，方向向下
I = ∫∫ xz dydz + 2 zy dzdx + 3xy dxdy = ∫∫∫ 3zdV − ∫∫ 3xy dxdy
∑ 1 Ω ∑1
= ∫ dz ∫∫ 3zdxdy +
从 x 轴正向看去， Γ 逆时针． （2001） 解：设 Σ 是平面 x + y + z = 2 上被柱面 x + y = 1 所截下部分的上侧，由 stokes 公式，
2 2 2 2 2 2 I =� ∫ ( y − z ) dx + (2 z − x ) dy + (3x − y ) dz = ∫∫ Γ Σ
1 2
，其中 Σ ： z = − a − x − y
2
2
2
(a > 0) ， Σ 取上
解：不能直接用 gauss 公式
I = ∫∫
Σ
axdydz + ( z + a)2 dxdy
(x2 + y2 + z )
2 12
=
1 axdydz + ( z + a) 2 dxdy a ∫∫ Σ
补 Σ1 :
z = 0 ， x 2 + y 2 ≤ a 2 ，方向向上
解： I
π y2 x = ∫ [ ∫ y 2 sin dx]dy = 2(π − 1) 0 y 2
P106-练习 5 设函数 f ( x, y ) 连续，则 （ A） （C） 解：
∫
2 1
dx ∫ f ( x, y ) dy + ∫ dy ∫
x
1
2
2
4− y
y
f ( x, y ) dx = （
） ．
∫∫ ( x + y ) dS =
∑
� ∫∫ ( x + y ) dS = 8∫∫ yds =8∫∫ y
∑ ∑1
D
3dxdy =8 3 ∫ dx ∫
0
1
1− x
0
ydy =
4 3 3
P120-练习 13 计算 I = 侧． （1998）
∫∫
Σ
axdydz + ( z + a) 2 dxdy
(x2 + y 2 + z 2 )
0
Dz
1 x + y 2 ≤1 4
2
∫∫
3xydxdy = 3∫ z ⋅ 2π (1 − z )dz + 0 = π
0
1
P121-练习 15 计算积分 I =
∫ (y
Γ
2
⎧ x + y = 1, − z 2 ) dx + (2 z 2 − x 2 ) dy + (3x 2 − y 2 ) dz ， 其中 Γ : ⎨ ⎩ x + y + z = 2,