课时跟踪检测(五十四) 圆锥曲线的综合问题(重点高中)

课时跟踪检测（五十四） 圆锥曲线的综合问题

(二)重点高中适用作业

A 级——保分题目巧做快做

1．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2

＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )

A ．2 B.455

C.4105

D.8105

解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，代入x 24＋y 2

＝1，消去y ，

得5x 2＋8tx ＋4t 2－4＝0，由题意得Δ＝(8t )2－20(4t 2－4)＞0，即t 2＜5，因为x 1＋x 2＝－8t

5，x 1x

2＝4t 2－45

，所以弦长|AB |＝

1＋1·

64t 225－16t 2

－16

5＝42·5－t 25≤4105

，当且仅当t ＝0时取等号．故|AB |的最大值为410

5

.

2．(2018·泉州质检)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 是双曲线C 的右焦点，过

F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，若l 与双曲线C 的左、右两支分别交于点D ，E ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( )

A ．(2，3)

B ．(2，＋∞)

C ．(2，2)

D.⎝⎛⎭

⎫1，

62 解析：选B 法一：由题意知，直线l ：y ＝－a b (x －c )，由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝－a b (x －c )，b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2，

得⎝⎛⎭⎫b 2

－a 4b 2x 2

＋2a 4c b 2x －⎝⎛⎭⎫a 4c 2

b 2＋a 2b 2 ＝0，由x 1x 2＝－⎝⎛⎭

⎫a 4c 2

b 2＋a 2b 2b 2－

a

4

b 2

＜0得b 4＞a 4，所以b 2＝c 2－a 2＞a 2，

所以e 2＞2，得e ＞ 2.

法二：由题意，知直线l 的斜率为－a

b ，若l 与双曲线左、右两支分别交于D ，E 两点，则－a b >－b

a ，即a 2<

b 2，所以a 2<

c 2－a 2，e 2>2，得e > 2.

3．已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b ＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，

若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－1

2，则m

的值为( )

A.32

B.52

C ．2

D ．3

解析：选A 由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2， 所以抛物线的方程为y ＝2x 2.

因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，

所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 2

2，

两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，

不妨设x 1＜x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称， 所以y 1－y 2

x 1－x 2＝－1，

故x 1＋x 2＝－1

2，

而x 1x 2＝－1

2，

解得x 1＝－1，x 2＝1

2

，

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)， 则x 0＝

x 1＋x 22＝－1

4， y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 2

22＝54

，

因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上， 所以54＝－14＋m ，解得m ＝32

.

4．已知直线y ＝1－x 与双曲线ax 2＋by 2＝1(a >0，b <0)的渐近线交于A ，B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为－

3

2，则a b 的值为( ) A ．－

3

2

B ．－

23

3

C ．－

93

2

D ．－

23

27

解析：选A 由双曲线ax 2＋by 2＝1知其渐近线方程为ax 2＋by 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，

y 2)，则有ax 21＋by 21＝0，ax 22＋by 22＝0，两式相减得a (x 21－x 22)＝－b (y 21－y 2

2)，即a (x 1＋x 2)(x 1－

x 2)＝－b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)，由题意可知x 1≠x 2，且x 1＋x 2≠0，∴y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－a b ，设AB 的

中点为M (x 0，y 0)，则k OM ＝y 0x 0＝2y 02x 0＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－32，又知k AB ＝－1，∴－3

2×(－1)＝－a b ，∴

a b ＝－3

2

，故选A. 5．(2018·长春调研)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 29＋y 2

5＝1的左、右顶点分别为A ，

B ，右焦点为F ，设过点T (9，m )的直线TA ，TB 与椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0，则直线MN 与x 轴的交点坐标为( )

A.⎝⎛⎭⎫13，0

B.⎝⎛⎭⎫

12，0 C ．(1,0)

D ．(2,0)

解析：选C 直线TA 的方程为y －0

m －0＝x ＋39＋3，即y ＝m

12(x ＋3)，直线TB 的方程为y －0m －0＝

x －3

9－3

，即y ＝m 6(x －3)，将TA ，TB 的方程分别与椭圆x 29＋y 2

5＝1联立，解得

M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3(80－m 2)80＋m 2，40m 80＋m 2，N ⎝ ⎛⎭

⎪⎫3(m 2－20)20＋m 2，－20m 20＋m 2.当x 1≠x 2时，直线MN 的方程为y ＋20m 20＋m

2

40m

80＋m 2

＋

20m

20＋m 2

＝

x －3(m 2－20)20＋m 2

3(80－m 2)80＋m 2－

3(m 2－20)

20＋m 2

，令y ＝0，解得x ＝1，此时直线MN 必过点(1,0)；

当x 1＝x 2时，得m 2＝40，直线MN 的方程为x ＝1，与x 轴的交点为(1,0)．所以直线MN 与x 轴的交点是(1,0)．

6．已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP ―→＝(λ－1)·OA ―→

(λ∈R)(O 是坐标原点)，

且OA ―→·OP ―→＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．