2010年江西省高考数学试卷(文科)答案与解析

2010年江西省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2010•江西）对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式．
【分析】不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac2＞bc2”必须有c2＞0这一条件．
【解答】解：主要考查不等式的性质．当C=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边
故选B
【点评】充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．
2．（5分）（2010•江西）若集合A={x||x|≤1，x∈R}，B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|x≥0} C．{x|0≤x≤1} D．∅
【考点】交集及其运算．
【分析】考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算．常见的解法为计算出集合A、B的最简单形式再运算．
【解答】解：由题得：A={x|﹣1≤x≤1}，B={y|y≥0}，
∴A∩B={x|0≤x≤1}．
故选C．
【点评】在应试中可采用特值检验完成．
3．（5分）（2010•江西）（1﹣x）10展开式中x3项的系数为（）
A．﹣720 B．720 C．120 D．﹣120
【考点】二项式定理的应用．
【专题】计算题．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求出展开式中x3项的系数．
【解答】解：二项展开式的通项为T r+1=C10r（﹣x）r=（﹣1）r C10r x r，
令r=3，
得展开式中x3项的系数为（﹣1）3C103=﹣120．
故选项为D
【点评】考查二项式定理展开式中特定项问题，解决此类问题主要是依据二项展开式的通项，
4．（5分）（2010•江西）若f（x）=ax4+bx2+c满足f′（1）=2，则f′（﹣1）=（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【考点】导数的运算．
【专题】整体思想．
【分析】先求导，然后表示出f′（1）与f′（﹣1），易得f′（﹣1）=﹣f′（1），结合已知，即可求解．
【解答】解：∵f（x）=ax4+bx2+c，
∴f′（x）=4ax3+2bx，
∴f′（1）=4a+2b=2，
∴f′（﹣1）=﹣4a﹣2b=﹣（4a+2b）=﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了导数的运算，注意整体思想的应用．
5．（5分）（2010•江西）不等式|x﹣2|＞x﹣2的解集是（）
A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】计算题．
【分析】方法一：特殊值法，把x=1代入不等式检验，把x=3代入不等式检验．
方法二：利用一个数的绝对值大于它本身，这个数一定是负数．
【解答】解：方法一：特殊值法，把x=1代入不等式检验，满足不等式，故x=1在解集内，排除答案C、D．
把x=3代入不等式检验，不满足不等式，故x=3 不在解集内，排除答案B，故答案选A．方法二：∵不等式|x﹣2|＞x﹣2，∴x﹣2＜0，即x＜2
∴解集为（﹣∞，2），
故选答案A
【点评】对于含绝对值不等式主要是去掉绝对值后再求解，可以通过绝对值的意义、零点分区间法、平方等方法去掉绝对值．
6．（5分）（2010•江西）函数y=sin2x﹣sinx﹣1的值域为（）
A．[﹣1，1]B．[，﹣1]C．[，1] D．[1，]
【考点】函数的值域；三角函数的最值．
【专题】计算题；转化思想；换元法．
【分析】令t=sinx，将函数y=sin2x﹣sinx﹣1的值域的问题变为求y=t2﹣t﹣1在区间[﹣1，1]上的值域的问题，利用二次函数的单调性求之．
【解答】解：令sinX=t可得y=t2﹣t﹣1，t∈[﹣1，1]
y=t2﹣t﹣1的对称轴是t=
故≤y≤y（﹣1）
即≤y≤1
即值域为[，1]
故应选C．
【点评】本题考点是复合函数的单调性，考查求复合函数的值域，本题直接证明复合三角函数的单调性比较困难，故采取了换元法求值域的技巧，对于解复合函数的值域的问题，换元法是一个比较好的技巧．
7．（5分）（2010•江西）等比数列{a n}中，|a1|=1，a5=﹣8a2，a5＞a2，则a n=（）A．（﹣2）n﹣1B．﹣（﹣2n﹣1）C．（﹣2）n D．﹣（﹣2）n
【考点】等比数列的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据等比数列的性质，由a5=﹣8a2得到等于q3，求出公比q的值，然后由a5＞
a2，利用等比数列的通项公式得到a1大于0，化简已知|a1|=1，得到a1的值，根据首项和公比利用等比数列的通项公式得到a n的值即可．
【解答】解：由a5=﹣8a2，得到=q3=﹣8，解得q=﹣2，
又a5＞a2，得到16a1＞﹣2a1，解得a1＞0，所以|a1|=a1=1
则a n=a1q n﹣1=（﹣2）n﹣1
故选A
【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．8．（5分）（2010•江西）若函数y=的图象关于直线y=x对称，则a为（）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．任意实数
【考点】反函数．
【专题】计算题．
【分析】因为图象本身关于直线y=x对称故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数再与原函数比较系数可得答案．
【解答】解：∵函数y=的图象关于直线y=x对称
∴利用反函数的性质，依题知（1，）与（，1）皆在原函数图象上，
（1，）与（，1）为不同的点，即a≠2；
∴
∴a=﹣1或a=2（舍去）
故可得a=﹣1
【点评】本题主要考查反函数，反函数是函数知识中重要的一部分内容．对函数的反函数的研究，我们应从函数的角度去理解反函数的概念，从中发现反函数的本质，并能顺利地应用函数与其反函数间的关系去解决相关问题．
9．（5分）（2010•江西）有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p （0＜p＜1），假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为（）
A．（1﹣Pp）n B．1﹣p n C．p n D．1﹣（1﹣）n
【考点】互斥事件与对立事件；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
【专题】概率与统计．
【分析】根据题意，“至少有一位同学通过测试”与“没有人通过通过测试”为对立事件，先由独立事件的概率乘法公式，可得“没有人通过通过测试”的概率，进而可得答案．
【解答】解：根据题意，“至少有一位同学通过测试”与“没有人通过通过测试”为对立事件，记“至少有一位同学通过测试”为A．则=“没有人通过通过测试”，
易得P（）=（1﹣p）n，
则P（A）=1﹣（1﹣p）n，
故选D．
【点评】本题考查对立事件的概率，一般在至多、最多、最少、至少等情况下运用对立事件的概率，可以简化运算．
10．（5分）（2010•江西）直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）
A．[﹣，0]B．C．[﹣]D．[﹣，0]
【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式；直线和圆的方程的应用．
【专题】压轴题．
【分析】先求圆心坐标和半径，求出最大弦心距，利用圆心到直线的距离不大于最大弦心距，求出k的范围．
【解答】解：解法1：圆心的坐标为（3，2），且圆与x轴相切．
当，弦心距最大，
由点到直线距离公式得
解得k∈；
故选A．
解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可，不取+∞，排除B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，
故选A．
【点评】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考查数形结合的运用．解法2是一种间接解法，选择题中常用．
11．（5分）（2010•江西）如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题
①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；
②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．
其中真命题是（）
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【考点】直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的性质．
【专题】压轴题；数形结合．
【分析】点M不在这两异面直线中的任何一条上，所以，过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交，①正确．
②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，正确．
过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，③不正确．
④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，正确．
【解答】解：直线AB与B1C1是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：
取C1C的中点N，则MN∥AB，且MN=AB，设BN 与B1C1交于H，则点A、B、M、N、H 共面，
直线HM必与AB直线相交于某点O．
所以，过M点有且只有一条直线HO与直线AB、B1C1都相交；故①正确．
过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，此垂线就是棱DD1，故②正确．
过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，故③不正确．
过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面，故④正确．
综上，①②④正确，③不正确，
故选C．
【点评】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想．
12．（5分）（2010•江西）如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数y=sin2x，，的图象如下．结果发现其中有一位同学作出的图象有错误，那么有错误的图象是（）
A．
B．
C．
D．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】作图题．
【分析】可采用排除法，取一个特殊点来观察，如当y=sin2x的图象取最高点时其他两函数对应的点一定不是最值点或零点，从而只有C不合适
【解答】解：y=sin2x的图象取最高点时，x=kπ+，k∈Z
此时，x+=kπ+，x﹣=kπ﹣
∴，的函数值一定不是1或0，
即y=sin2x的图象取最高点时，其他两函数对应的点一定不是最值点或零点，而C不适合，故选C
【点评】本题考查了三角函数的图象及性质，y=Asin（ωx+φ）型函数的对称性，排除法解图象选择题
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）（2010•江西）已知向量，满足||=2，与的夹角为60°，则在上的投影
是1．
【考点】向量的投影．
【专题】常规题型；计算题．
【分析】根据投影的定义，应用公式||cos＜，＞=求解．
【解答】解：根据向量的投影定义，在上的投影等于||cos＜，＞=2×=1
故答案为：1
【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．
14．（4分）（2010•江西）将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有90种（用数字作答）．
【考点】排列、组合的实际应用．
【专题】计算题．
【分析】根据分组分配问题的思路，先将5人分成3组，计算可得其分组情况，进而将其分配到三个不同场馆，由排列公式可得其情况种数，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，首先将5人分成3组，
由分组公式可得，共有=15种不同分组方法，
进而将其分配到三个不同场馆，有A33=6种情况，
由分步计数原理可得，不同的分配方案有15×6=90种，
故答案为90．
【点评】本题考查排列组合里分组分配问题，注意一般分析顺序为先分组，再分配．15．（4分）（2010•江西）点A（x0，y0）在双曲线的右支上，若点A到右焦点
的距离等于2x0，则x0=2．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由题设条件先求出a，b，由此能求出x0的值．
【解答】解：a=2．c=6，∴右焦点F（6，0）
把A（x0，y0）代入双曲线，得y02=8x02﹣32，
∴|AF|=
∴．
故答案为：2．
【点评】本题考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，解题时要注意公式的合理运用．
16．（4分）（2010•江西）长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点均在同一个球面上，AB=AA1=1，BC=，则A，B两点间的球面距离为．
【考点】球面距离及相关计算．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】考查球面距离的问题，可先利用长方体三边长求出球半径，在三角形中求出球心角，再利用球面距离公式得出答案．
【解答】解：设球的球心为O，球的直径即为长方体的对角线长，
即2R=，
∴R=1，
在等腰三角形OAB中，
球心角∠AOB=，
∴利用球面距离公式得出：
距离公式=．
答案：．
【点评】本题主要考查球的性质、球面距离，属于基础题．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）（2010•江西）设函数f（x）=6x3+3（a+2）x2+2ax．
（1）若f（x）的两个极值点为x1，x2，且x1x2=1，求实数a的值；
（2）是否存在实数a，使得f（x）是（﹣∞，+∞）上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【专题】计算题．
【分析】（1）先求原函数的导函数，根据导函数在极值点处的值为零建立等式关系，求出参数a即可；
（2）根据二次函数的判别式进行判定能否使导函数恒大于零，如果能就存在，否则就不存在．
【解答】解：f′（x）=18x2+6（a+2）x+2a
（1）由已知有f′（x1）=f′（x2）=0，
从而，
所以a=9；
（2）由△=36（a+2）2﹣4×18×2a=36（a2+4）＞0，
所以不存在实a，使得f（x）是R上的单调函数．
【点评】本题主要考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识，是高考中常考的问题，属于基础题．
18．（12分）（2010•江西）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．
（1）求走出迷宫时恰好用了1小时的概率；
（2）求走出迷宫的时间超过3小时的概率．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】计算题．
【分析】（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的所有事件数为3，而满足条件的事件数是1，根据古典概型的概率公式得到结果．
（2）走出迷宫的时间超过3小时这一事件，包括三种情况，且这三种情况是互斥的，一是进入2号通道，回来后又进入3号通道，二是进入3号通道，回来后又进入2号通道，三是进入3号通道，回来后又进入1号通道的概率，根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到结果．
【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率
∵试验发生包含的所有事件数为3，
而满足条件的事件数是1，
设A表示走出迷宫时恰好用了1小时这一事件，
∴P（A）=．
（2）设B表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件，
本事件包括三种情况，且这三种情况是互斥的，
一是进入2号通道，回来后又进入3号通道的概率是=
二是进入3号通道，回来后又进入2号通道的概率是=
三是进入3号通道，回来后又进入1号通道的概率是=
则P（B）==．
【点评】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查．
19．（12分）（2010•江西）已知函数f（x）=（1+cotx）sin2x﹣2sin（x+）sin（x﹣）．（1）若tanα=2，求f（α）；
（2）若x∈[，]，求f（x）的取值范围．
【考点】同角三角函数基本关系的运用；正弦函数的定义域和值域．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】（1）利用正切化为正弦、余弦，利用两角和与差的三角函数展开，二倍角公式的应用化为，通过tanα=2，求出sin2α，cos2α，然后求出f（α）；
（2）化简函数为：，由x∈[，]，求出2x+的范围，然后求f（x）的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=（1+cotx）sin2x﹣2sin（x+）sin（x﹣）=sin2x+sinxcosx+cos2x
=+=
∵tanα=2，∴sin2α=2sinαcosα===，
cos2α==
所以．
（2）由（1）得
由得，所以
从而．
【点评】三角函数的化简，包括降幂扩角公式、辅助角公式都是高考考查的重点内容，另外对于三角函数的化简到最简形式一定要求掌握．熟练利用正余弦函数的图象求形如y=Asin （ωx+φ）性质．
20．（12分）（2010•江西）如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2．
（1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小；
（2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．
【专题】计算题．
【分析】（1）取CD中点O，连OB，OM，延长AM、BO相交于E，根据线面所成角的定义可知∠AEB就是AM与平面BCD所成的角，在三角形AEB中求出此角即可；
（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线，作BF⊥EC于F，连AF，根据二面角的平面角的定义可知∠AFB就是二面角A﹣EC﹣B的平面角，在三角形AFB中求出此角的正弦值，从而求出二面角的正弦值．
【解答】解：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD．
又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD，
所以MO∥AB，A、B、O、M共面．延长AM、BO相交于E，
则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角．
OB=MO=，MO∥AB，则，，所以，故∠AEB=45°．
（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线．
由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形．
作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A﹣EC﹣B的平面角，
设为θ．
因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°．
．
所以，所求二面角的正弦值是．
【点评】本题主要考查了考查立体图形的空间感、线面角、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力．
21．（12分）（2010•江西）已知抛物线C1：x2+by=b2经过椭圆C2：+=1（a＞b＞0）
的两个焦点．
（1）求椭圆C2的离心率；
（2）设Q（3，b），又M，N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若△QMN的重心在抛物线C1上，求C1和C2的方程．
【考点】圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．
【专题】计算题；综合题；压轴题；方程思想；待定系数法．
【分析】（1）根据椭圆C2：+=1写出其焦点坐标，代入抛物线C1：x2+by=b2，求得b，
c的方程，由a2=b2+c2，可求得椭圆C2的离心率；
（2）联立抛物线C1的方程椭圆C2的方程，求出M，N的坐标，求出△QMN的重心坐标，代入抛物线C1，即可求得C1和C2的方程．
【解答】解：（1）因为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），
所以c2+b×0=b2，即c2=b2，由a2=b2+c2=2c2
得椭圆C2的离心率．
（2）由（1）可知a2=2b2，椭圆C2的方程为：
联立抛物线C1的方程x2+by=b2得：2y2﹣by﹣b2=0，
解得：或y=b（舍去），所以，
即，所以△QMN的重心坐标为（1，0）．
因为重心在C1上，所以12+b×0=b2，得b=1．
所以a2=2．
所以抛物线C1的方程为：x2+y=1，
椭圆C2的方程为：．
【点评】此题是个中档题，考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程．
22．（14分）（2010•江西）正实数数列{a n}中，a1=1，a2=5，且{a n2}成等差数列．
（1）证明数列{a n}中有无穷多项为无理数；
（2）当n为何值时，a n为整数，并求出使a n＜200的所有整数项的和．
【考点】数列的求和；等差数列的性质．
【专题】压轴题；创新题型．
【分析】（1）由a1=1，a2=5且{a n2}成等差数列，求出a n2的通项公式，由通项公式分析出无理数；
（2）由a n的表达式讨论使a n＜200的整数项，从而求出所有整数项的和．
【解答】（1）证明：由已知有：a n2=1+24（n﹣1），从而，
方法一：取n﹣1=242k﹣1，则
用反证法证明这些a n都是无理数．
假设为有理数，则a n必为正整数，且a n＜24k，
故a n﹣24k≥1．a n﹣24k＞1，与（a n﹣24k）（a n+24k）=1矛盾，
所以都是无理数，即数列a n中有无穷多项为无理数；
（2）要使a n为整数，由（a n﹣1）（a n+1）=24（n﹣1）可知：
a n﹣1，a n+1同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有a n﹣1=6m或a n+1=6m
当a n=6m+1时，有a n2=36m2+12m+1=1+12m（3m+1）（m∈N）
又m（3m+1）必为偶数，所以a n=6m+1（m∈N）满足a n2=1+24（n﹣1）
即（m∈N）时，a n为整数；
同理a n=6m﹣1（m∈N+）有a n2=36m2﹣12m+1=1+12（3m﹣1）（m∈N+）
也满足a n2=1+24（n﹣1），即（m∈N+）时，a n为整数；
显然a n=6m﹣1（m∈N+）和a n=6m+1（m∈N）是数列中的不同项；
所以当（m∈N）和（m∈N+）时，a n为整数；
由a n=6m+1＜200（m∈N）有0≤m≤33，
由a n=6m﹣1＜200（m∈N+）有1≤m≤33．
设a n中满足a n＜200的所有整数项的和为S，则
S=（5+11+…+197）+（1+7+…+199）=
【点评】对一个正整数数能否写成另一个整数的平方的形式，是难点；对整数的奇偶性分析也是难点；故此题是中档题．。