2019中考复习：《平行四边形、矩形菱形、正方形》计算类典型题汇总

最全《平行四边形、矩形菱形、正方形》计算类典型题汇总一、平行四边形中，边(周长)的计算
例1：在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC＝10，BD＝8，则AD 的取值范围是_________．
解析：利用平行四边形的性质，对角线互相平分，得AO＝5，DO＝4．借助三角形三边关系，AO－DO＜AD＜AO＋DO，则1＜AD＜9
变式：
1.已知平行四边形ABCD的周长是12，AC，BD交于点O，△ABO的周长比△BOC 的周长大1，求AB，BC的长．
解析：对照上图，我们知道AO＝CO，BO为公共边，则△ABO的周长与△BOC的周长之差就是AB与BC之差，设AB＝x，BC＝x－1，根据周长＝12，可得2(x＋x－1)＝12，x＝3.5，AB＝3.5，BC＝2.5
例2：如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC，BD相交于点O，OE⊥AC于O，则△BCE的周长为_________．
解析：由OE⊥BD，BO＝DO，可知OE垂直平分BD，则BE＝DE，C△BCE＝BC＋CE ＋BE＝ BC＋CE＋DE＝BC＋CD＝8
变式：如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，分别交AD于E，交BC于点F，若OE＝5，四边形CDEF的周长为25，则平行四边形ABCD的周长为________．
解析：首先，可证△AEO≌△CFO，则OE＝OF．
(事实上，经过平行四边形对称中心的线段，既平分平行四边形的周长，也平分面积．)
EF＝2OE＝10，AE＝CF，C四边形CDEF＝CD＋DE＋CF＋EF＝CD＋DE＋AE＋EF＝CD ＋DA＋EF＝25
CD＋DA＝15，C平行四边形ABCD＝30
例3：在平行四边形ABCD中，AD＝11，∠A、∠D的角平分线分别交BC于E、F，EF＝3，则AB＝__________．
解析：
本题是典型的易错题，极易漏解，我们应该想到，AE，DF必然相交，且夹角为90°，但交点可以在平行四边形内，也可在形外．故而要分类讨论．
同时，这里面隐藏着一个常见的基本模型，平行＋角平分，构造等腰，△ABE和△FCD是等腰三角形，且腰相同，AB＝BE＝DC＝CF．
如图，当AE，DF交于形内，BE＋CF－EF＝11，2BE－3＝11，BE＝7，AB＝7
如图，当AE，DF交于形外，BE＋CF＋EF＝11，2BE＋3＝11，BE＝4，AB＝4
综上，AB＝7或4
变式：
1.平行四边形ABCD的周长为32，∠ABC的角平分线交边AD所在直线于点E，且AE：ED＝3：2，则AB＝______．
解析：看到“所在直线” 这样的字眼，第一时间应该想到两解了吧．
如图，AD＜AB，则E在AD延长线上，AE＝AB，
∵AE：ED＝3：2，
∴AE：AD＝3：1，AB：AD＝3：1，
设AD＝x，AB＝3x，3x＋x＝16，
x＝4，AB＝3x＝12．
如图，AD＞AB，则E在AD上，AE＝AB，
∵AE：ED＝3：2，
∴AE：AD＝3：5，AB：AD＝3：5，
设AB＝3x，AD＝5x，3x＋5x＝16，
x＝2，AB＝3x＝6．
综上，AB＝6或12.
二、平行四边形面积类问题
例1：平行四边形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，若DE＝2，DF＝3，四边形ABCD 的周长是30，求其面积．
解析：本题其实早在小学阶段，可能就有同学做过，知道平行四边形周长，则知道了邻边之和为其一半，有了2条高，自然想到面积，用等积法解决．
如图，设AB＝x，BC＝15－x，
2x＝3(15－x)，x＝9，S＝2x＝18
例2：如图，M、N是平行四边形ABCD的边AB、AD的中点，连接MN、MC，若阴影四边形的面积为10，则图中空白部分的面积是____________．
解析：面对一般四边形的面积问题，我们通常转化为熟悉的平行四边形求面积，或者将四边形分割成2个小三角形，分别求面积，再求和．
本题显然不能转化，尝试分割，若连接NC，则△NMC的面积不好求，所以连接MD．
例3：
解析：初次拿到这样的题目，很难下手，没有具体的底边和高长，我们求不出各图形的面积，但既然平行四边形对边平行，我们不妨过点P再作一次平行．如图，过点P作EF∥AD，则EF∥BC，四边形AEFD，四边形EBCF均为平行四边形．
本题重要结论：S1＋S3＝S2＋S4
三、矩形正方形线段和的计算、菱形中面积，最值类问题
例1：在矩形ABCD中，AB＝3， BC＝4，对角线AC，BD交于点O，点P是BC边上的一点，PE⊥BO，PF⊥CO，求PE＋PF＝_________．
解析：拿到题目，有些同学立刻反应，说是“将军饮马”问题，但这里是求值，是定值，而将军饮马属于求最值问题．PE，PF分别是高，则想到面积，这才应该是第一反应．
如图，连接OP
变式：
1.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，对角线长为10，P是BC边上的一点，PE⊥BO，PF⊥CO，求PE＋PF＝_________．
解析：
本题同样也能用上题思路，
PE＋PF＝BO＝5，
也能证明四边形EPFO是矩形，
PF＝EO，∠EBP＝∠EPB＝45°，
则BE＝PE，
PE＋PF＝BE＋EO＝BO＝5
例2：已知菱形ABCD的周长为20，面积为20，求对角线AC，BD的长．
解析：由周长为20，我们可以知道，边长是5，由面积是20，我们可以知道对角线乘积的一半是20，因此，不妨设AC＝2x，BD＝2y，x＞y，
例3：如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM＋PN的最小值是________．
解析：这才是标准的将军饮马问题，作点M关于AC的对称点M’，则PM＋PN＝P M’＋PN≥M’N(当M’，P，N三点共线时可取等号)，则最小值即为M’N＝5
变式：
1.如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P、N是AC，BC上的一个动点，点M是边AB的中点，则PM＋PN的最小值是________．
解析：变成了一定(点M)一动问题(点N)，方法与之前一致，确定AD边上的点M’，则当M’N⊥BC时，M’N最短，过点M’作M’Q⊥BC，利用面积法，S菱形ABCD ＝24，BC＝5，M’Q＝4.8，PM＋PN的最小值是4.8
特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形【知识要点】
一. 教学内容：
几种特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形
［目标］
1. 理解矩形、菱形的定义与性质。

2. 掌握矩形、菱形的判定方法。

二. 重点、难点：
1. 矩形、菱形性质的综合应用。

特别是菱形性质和直角三角形的知识的综合应用。

2. 矩形、菱形的判定方法的综合应用。

三. 知识要点：
1. 矩形
（1）矩形的概念
有一个角是直角的平行四边形叫矩形。

（2）矩形的特殊性质
①矩形的对角线相等
②矩形四个角都是直角
（3）矩形性质的应用
①矩形的一条对角线将矩形分成2个全等的直角三角形；
②矩形的2条对角线将矩形分成4个等腰三角形；
③有关矩形的问题往往可以化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决；
④矩形的面积计算公式：
宽长矩形⨯=S
（4）矩形的判定条件
①有三个角是直角的四边形是矩形
②对角线相等的平行四边形是矩形
注意：
1）在判定四边形是矩形的条件中，平行四边形的概念是最基本的条件，其他的判定条件都是以它为基础的。

2）四边形只要有3个角是直角，那么根据多边形内角和性质，第四个角也一定是直角。

（在判定四边形是矩形的条件中，给出“有3个角是直角”的条件，是因为数学结论的表述中一般不给出多余条件。

）
3）将两个判定条件比较，后者的条件中，除了“有3个角是直角”的条件外，只要求是“四边形”，而前者的条件却包括“平行四边形”和“两条对角线相等”两个方面。

4）矩形的判定与性质的区别
2. 菱形
（1）菱形的概念
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。

（2）菱形的特殊性质
①菱形的四条边都相等
②菱形的对角线相互垂直，且每一条对角线平分一组对角
（3）菱形性质的应用
由于菱形的对角线互相垂直平分，菱形的2条对角线就将菱形分成了四个全等的直角三角形，结合图形向学生介绍菱形的一个面积计算公式。

两条对角线的乘积菱形=S 的一半
思考归纳：计算菱形的面积有哪些方法？
（4）菱形的判定条件
①四边都相等的四边形是菱形；
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形
（5）四边形、平行四边形、菱形之间的关系如图：
3．正方形
（1），定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2），性质：①边：对边平行，四边相等；
②角：四个角都是直角；
S （2）对角线乘积的一半
③正方形面积公式：（1）2a
（3），判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；
②对角线相等的菱形是正方形；
③有一组邻边相等的矩形是正方形．
④对角线垂直的矩形是正方形；
4．三角形中位线
（1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．每个三角形都有三条中位线．（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．5. 直角三角形特殊性质
（1）斜边上的中线等于斜边的一半。

（2)300所对的直角边等于斜边的一半。

（3）勾股定理及逆定理。

从四边形到正方形的递进式关系出发，以特殊四边形的判定定理为线索，进行复习回顾。

6．特殊的平行四边形知识点归纳
长*宽对角线乘积的一半/底乘高边长或对角线乘积的一半
【典型例题】
例1. 等边三角形、矩形、菱形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形和圆 B. 等边三角形、矩形、菱形 C. 菱形、矩形和圆 D. 等边三角形、菱形、矩形和圆 例2. 如图，过□ABCD 的对角线的交点O 作两条 互相垂直的直线EF 、GH 、分别与□ABCD 的四条 边交于E 、F 和G 、H ，求证EGFH 为菱形。

例3. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，CD 为AB 边上的高，∠CAB 的平分线交CD 于E ，交CB 于F ，过点F 作FG ⊥AB 于G ，连GE 。

试说明四边形CEGF 为菱形。

A
B
C
F
D
G
E
例4. 如图，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点， ∠B=∠EAF=60°。

试说明∠CEF=∠BAE 。

例5. 菱形以特殊的对称美而受人们的喜爱，在生产生活中有其广泛的应用。

张伟同学家里有一面长4.2m ，宽2.8m 的墙壁准备装修，现有如图（甲）所示的型号瓷砖，其形状是一块长30cm ，宽20cm 的长方形，点E ，F ，G ，H 分别是边BC 、CD 、DA ，AB 的中点，阴影部分为淡蓝色花纹，中间部分为白色。

试问：
（1）这面墙壁最少要贴这种瓷砖多少块？
（2）全部贴满后，这面墙壁最多会出现多少个面积相等的菱形，其中有花纹的菱形有多少个？
D
A G
(甲)
例6. 如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE= 15°，求∠BOE的度数
例7. （1）菱形的一边和等腰直角三角形的一直角边等长，若菱形一边上的高等于这边的一半，则菱形与三角形的面积之比为（）
A. 1︰2
B. 1︰1.5
C. 1︰1
D. 3︰4
（2）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，BF∥DE若AD=12cm，AB=7cm，且AE︰EB=5︰2。

则阴影部分EBFD的面积为cm2
例8. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过顶点C作BD的垂线与∠BAD 的平分线相交于点E。

试说明AC=CE。

例9. 如图，在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。

如果P、Q同时出发，用t （秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰三角形？
（2）求四边形QAPC的面积；并提出一个与计算结果有关的结论。

例10．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且OQ＝OC，连接CQ并延长CQ交边AB 于点P，则点P的坐标为( ，)．
【辅导练习】（答题时间：40分钟）
1. 将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将
①展开后得到的平面图形是（ ）
A. 矩形
B. 三角形
C. 梯形
D. 菱形
2. 如图，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMKP 的面积S 1与矩形QCNK 的面积S 2的大小关系是S 1 S 2（填“＞”或“＜”或“＝”）
（第2题）
（第7题） 3. 已知平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，分别添加下列条件： （1）∠ABC=90°；（2）AC ⊥BC ；（3）AB=BC ；（4）AC 平分∠BAD ；（5）AO=DO ， 使得四边形ABCD 是矩形的条件的序号有
4. 在菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=8，则菱形的面积为______
5. 四边形ABCD 为菱形，且∠A=60°，BD=8cm ，则此菱形的周长为 cm
6. 若菱形的周长为16，两邻角度数之比为1：2，则该菱形较短的对角线长为
7. 如图，小华剪了两条宽度相同的纸条，交叉叠放在一起，则它们重叠部分的形状为___________。

8. 矩形ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 垂直BD 于E ，若∠DAE=3∠BAE ，则∠EAC=
9. 如图，矩形的周长为2 ，一边中点与对边两顶点连线所夹角为直角，则矩形各边的长分别为_______ _
（第9题）
10. 下列说法错误的是（ ）
A. 任何一个具有对称中心的四边形是平行四边形；
B. 平行四边形即是轴对称图形又是中心对称图形；
C. 线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形；
D. 正三角形、矩形、菱形都是轴对称图形，且对称轴都不只一条 11. 矩形具有的平行四边形不具有的性质是（ ）
A. 对角相等；
B. 对角线互相平分；
C. 对边平行且相等；
D. 对角线相等 12. 矩形两条对角线的交点到小边距离比到大边的距离多4，若矩形的周长为56，则矩形的两邻边的长为（ ）
A. 19和9；
B. 10和8；
C. 16和12；
D. 18和10
13. 如图，设等边△AEF 与菱形ABCD 有一公共顶点A ， 且边长相等， 三角形另两角的顶点E 和F 分别在菱形的边BC 和CD 上。

求∠BAD 的度数。

14. 如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥BC ，交AB 于E ，DF ∥AB ，交BC 于F 。

试说明 BD ⊥EF 。

F
E D
C
B
A
15. 如图，已知M 、N 分别是平行四边形ABCD 的对边AD 、BC 的中点， 且AD=2AB ， AN 、BM 交于点P ，DN 、CM 交于Q 。

试说明四边形PMQN 为矩形。

16. 如图，已知在四边形ABCD 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且CF=AE 。

（1）试探究四边形BECF 是什么特殊的四边形？ （2）当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECF 是正方形？请回答并证明你的结论（表示角最好用数字）。

参考答案：
例1．分析：因为等边三角形是轴对称图形而不是中心对称图形，明确了这一点，就很容易排除A、B、D，只选C了
例2．解：菱形、矩形、圆这三种图形，都是轴对称图形，且又都是中心对称图形，故选C。

分析：关键在于证明四边形EGFH为平行四边形，由中心对称图形性质易得OH＝OG，OE＝OF。

证明：O是□ABCD的对称中心，GH经过O点与BC交于G，与AD交于H
∴G、H是以O点为对称中心的对称点，∴OG＝OH
同理：OE＝OF，∴四边形EGFH为平行四边形
又∵EF⊥GH，∴四边形EGFH为菱形
例3．解：如图，∵AF平分∠CAB，CF⊥AC，FG⊥AB，
∴CF=GF，∠CFA=∠GFA，
又∵DE∥FG，∴∠AFG=∠CEF。

∴∠CEF=∠CFE，则CE=CF，∴CE=FG，
∴四边形ECFG为平行四边形，又CF=FG，∴四边形CEGF为菱形
例4．解：连结AC，四边形ABCD是菱形（已知），
∴AB=BC=CD=AD，∠D=∠B=60°（菱形的四边相等、对角相等）
∴△ABC与△CDA为等边三角形，则AB=AC，∠ACF=∠BAC=∠B=60°
又∠EAF=60°，∠BAE=∠CAF，∴△ABE≌△ACF
∴AE=AF。

而∠EAF=60°∴则△EAF为等边三角形；
∴∠AEF=60°，又∠AEC=∠AEF＋∠CEF=∠B＋∠BAE，∴∠CEF=∠BAE
例5．分析：通过拼图，运用由特殊到一般以及分类讨论的数学思想，解决图形的组合问题。

例如，（1）墙面上有多少个淡蓝色菱形？先根据每相邻4块、6块、9块瓷砖可分别构成1、2、4个淡蓝色菱形，再确定当每行有14块、每列14块瓷砖时，可构成淡蓝色菱形的个数为13×13=169（个）；（2）白色的菱形的个数与瓷砖的块数相同，有196块解：（1）因为墙壁总面积为4.2×2.8=11.76m2；每块瓷砖的面积为0.3×0.2=0.06m2，则最少需要这种瓷砖11.76÷0.06=196（块）
（2）如下图（1），4块瓷砖构成一个淡蓝色菱形，即（2－1）×（2－1）=1；如图（2），6块瓷砖构成2个淡蓝色菱形，（3－1）×（2－1）=2；如图（3），9块瓷砖构成4个淡蓝色菱形，（3－1）×（3－1）=4。

所以在长4.2m，宽2.8m的墙壁上铺长30cm，宽20cm的长方形的瓷砖每行需14块，每列需14块，可构成淡蓝色菱形的个数为（14－1）×（14－1）个，共有13×13=169（个），同时，白色的菱形的个数与瓷砖的块数相同，有196块，故面积相等的菱形共有169+196=365（个）
(1) (2)
(3)
答：（1）这面墙壁最少要贴这种瓷砖196块；（2）全部贴满后，这面墙壁最多会出现365个面积相等的菱形，其中有花纹的菱形有169个。

例6．分析：先推出△ABE为等腰直角三角形，再说明AB=OB=BE，则∠BOE=75°
解：在矩形ABCD中，∠DAB=∠ABE=90°
∵AE 平分∠BAD ，∴∠EAB=
2
1
∠DAB=45°，而∠AEB=180°-∠ABE-∠EAB=45° ∴△ABE 为等腰直角三角形 ∴AB =BE 在直角三角形ABC 中，OB=
2
1
AC=AO ∵AO=BO ，∠OAB=∠EAB +∠CAE =45°+15°=60°，∴AB=OB=BE 而∠OBE=∠ABE-∠ABO=30°，∴在等腰三角形BOE 中，∠BOE=75° 例7．（1）分析：此菱形的面积等于边长平方的一半，与等腰直角三角形面积相等 解：选C
（2）分析：先说明四边形BEDF 是平行四边形，从而EB=2 解：阴影部分面积为BE ×AD=2×12=24 例8．解：过A 作AF ⊥BD 于点F ，
∵GE ⊥BD ，∴AF ∥CE （两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行）， ∴∠FAE=∠AEC （两直线平行，内错角相等），
在Rt △ABD 中，∠BAF+∠ABD=90°，∠ABD+∠ADB=90°，∴∠BAF=∠ADB 又∵四边形ABCD 是矩形，∴OA=OD ，∴∠BDA=∠CAD ，∴∠BAF=∠DAC 而AE 平分∠BAD ，∴则∠BAE=∠DAE ，
∴∠BAE －∠BAF=∠DAE －∠DAC 即∠FAE=∠CAE ，∴∠CAE=∠CEA ，故CA=CE 。

例9．解：（1） ∵AP=2 t ，DQ= t ，则QA=6－t
只有当QA=AP 时△QAP 为等腰三角形， 从而6－t=2t ，解得：t=2（秒）， ∴当t=2秒时，△QAP 为等腰三角形；
（2） 在△QAP 中，QA=6－t ，QA 边上的高DC=12，
则S △QAC =
21QA ·DC=2
1
（6－t ） ·12=36－6t ， 在△APC 中，AP=t ，BC=6， 则S △APC =21AP · BC=2
1
· 2t · 6=6t ，
∴S △QAC ＋S △APC =（36－6t ）＋6t=36（厘米2）
由计算结果发现：当P 、Q 两点在移动的过程中， 四边形QAPC 的面积始终保持不变。

例10．解：∵四边形OABC 是边长为2的正方形，∴OA=OC=2，OB=2，
∵QO=OC ，∴BQ=OB ﹣OQ=2﹣2，∵正方形OABC 的边AB ∥OC ，∴△BPQ ∽△OCQ ，
∴
=
，即
=
，解得BP=2
﹣2，∴AP=AB ﹣BP=2﹣（2
﹣2）=4﹣2
，
∴点P 的坐标为（2，4﹣2）．故答案为：（2，4﹣2）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的对角线等于边长的倍的性质，以及坐标与图形的性质，比较简单，利用相似三角形的对应边成比例求出BP 的长是解题的关键．
【辅导练习】参考答案
1. D （点拨：因为四边都相等（或对角线互相垂直平分）的四边形是菱形）
2. S 1=S 2（点拨：图中有五个矩形，根据矩形的一条对角线将其分成两个面积相等的直角三角形，则S △ABD = S △BCD ，S △PDK = S △DNK ，S △BMK = S △BQK ，而S 1= S △ABD －S △PDK －S △BMK ，S 2= S △BCD －S △DNK － S △BQK ，所以S 1=S 2）
3. （1） （5）（点拨：有一个角是直角（或对角线相等）的平行四边形是矩形）
4. 24（点拨：菱形的面积等于两对角线乘积的一半）
5. 32（点拨：△ABD 是等边三角形，则AB=BD=8㎝，菱形的周长为32㎝）
6. 4（点拨：由菱形的周长为16可知AB=4，△ABC 是等边三角形，AC=AB=4）
7. 菱形（点拨：由图形知，重叠部分的四边相等）
8. 45°（点拨：因为四边形ABCD 是矩形，则OA=OD ，∠ADO=∠BAE=22.5°，从而∠EAC=90°－2×22.5°=45°） 9.
31、32、31、3
2
（点拨：图中的三个三角形都是等腰直角三角形） 10. B （点拨：平行四边形是中心对称图形，矩形、菱形的对称轴有两条） 11. D （点拨：平行四边形的对角线互相平分但不一定相等）
12. D （点拨：设矩形对角线的交点到大边的距离等于x ，到小边的距离等于x+4，矩形的长和宽分别为：2（x+4）、2x ，则4（x+x+4）=56，x=5） 13. 100°（点拨：设∠BAE=x ，由AE=AB 得∠ABE=2
1
（180°－x ）。

根据∠DAB+∠ABC= 180°得2x ＋60°＋
2
1
（180°－x ）=180°， x=20°， ∠BAD=100°） 14. 先推出EB=ED ，再说明四边形BFDE 是菱形，EF ⊥BD
15. 连MN ，由DM ∥BN ，DM=BN ，得到四边形DMBN 为平行四边形，则PM ∥NQ ；同理可得PN ∥MQ 。

所以四边形PNQM 为平行四边形AM=MD=MN ，∠AND=90°，故PNQM 为矩形
16. 解（1）四边形BECF 是菱形。

∵EF 垂直平分BC ，∴BF=FC ，BE=EC ，∴∠1=∠2
∵∠ACB=90°，∴∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，∴∠3=∠4，∴EC=AE ∵CF=AE ，∴BE=EC=CF=FB ，∴四边形BECF 是菱形。

（2）当∠A=45°时，菱形BECF 是正方形。

∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠1=45°，∴∠EBF=2∠A=90°，∴菱形BECF 是正方形。

备选试题：已知菱形ABCD 中（如图），∠A ＝72°，请设计三种不同的分法，将菱形ABCD 分割成四个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形。

（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明分法所得三角形内角的度数；不要求写出画法，不要求说明理由（注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法））
画法如图所示：
［课外阅读］
用纸折黄金矩形
长宽之比约为1.6的矩形称为黄金矩形。

它看上去协调、匀称、舒适，在建筑、美术造型等方面有许多这样的矩形。

你能用纸折出这样的矩形吗？请按以下的步骤折叠：
找一张矩形的纸，它的长宽之比要大于1.6，不妨用四边形ABCD 代表它。

（1）把纸片折一个角，使DA 边落在DC 上折痕为DE （如图（1））； （2）过点E 将ABCD 对折，得到正方形ADFE （如图（2））；
（3）将正方形ADFE 对折，使AD 与EF 重合，得到折痕GH （如图（3））； （4）使HC 过点E ，把矩形HCBG 再折一次（如图（4）），HC 上与点E 重合的点记为J ；
（5）过I 、J 点对折矩形，得到折痕IJ （如图（5））；
（6）沿I 、J 剪开，所得矩形AIJD 就是一个黄金矩形（如图（6））
图(1)
图(2)
图(3)
图(4)
图(5)
D
图(6)
A I
J
平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形
1．图形既关于点O 中心对称，又关于直线AC ，BD 对称，AC ＝10，BD ＝6，已知点E ，M 是线段AB 上的动点（不与端点重合），点O 到EF ，MN 的距离分别为h 1，h 2．△OEF 与△OGH 组成的图形称为蝶形．
（1）求蝶形面积S 的最大值；
（2）当以EH 为直径的圆与以MQ 为直径的圆重合时，求h 1与h 2满足的关系式，并求h 1的取值范围．
2．如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点，P （0，m ）是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ． （1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；
（3）设过
P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从点O 向点C 运动时，点H 也随之运动，请直接写出点H 所经过的路径长．
（不必写解答过程） 图1
C A
B
G P
E
M N F Q
H O
3．以平行四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ，设∠ADC ＝α（0°＜α
＜
90°）．
（1）求∠HAE 的大小（用含 α 的代数式表示）； （2）求证：HE ＝HG ； （3）判断四边形EFGH 是什么四边形？并说明理由．
4．在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ． （1）在图1中证明CE ＝CF ； （2）若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数 （3）若∠ABC ＝120°，FG ∥CE ，FG ＝CE ，分别连结DB 、DG （如图3），求∠BDG 的度数．
5．如图，有一张长为5宽为3的矩形纸片ABCD ，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积
相等的正方形．
（1）该正方形的边长为____________；
（2）现要求只能用两条裁剪线．请你设计一种裁剪的方法．在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼的过程．
6．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在射线BM 上．
（1）连接OE ，与边CD 交于点F ．若CE ＝OC ，求CF 的长；
（2）连接DE 、AE ，AE 与对角线BD 相交于点P ．若△ADE 为等腰三角形，求DP 的长．
E B
F G
D
H
A C 图3
A D
B
C E 图2 A B C F
D
E G 图1 A B C D E B C
D B
C
D A O
F
B
C D
A O
7．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD＝2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB 于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连结EG、AF．
（1）求EG的长；
（2）求证：CF＝AB＋AF．
8．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0）．
（1）求证：h1＝h3；
（2）设正方形ABCD的面积为S，求证：S＝(h1＋h2)2＋h12；
（3）若3
2h1＋h2＝1，当h1变化时，说明正方形ABCD的面积为S随h1的变化情况．
9．如图，已知四边形ABDE、ACFG都是△ABC外侧的正方形，连接DF，若M、N分别为
DF、BC的中点，求证：MN⊥BC且MN＝1
2BC．
10．矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，现将这张纸片按下列图示方式折叠，AE是折痕．（1）如图1，P，Q分别为AD，BC的中点，点D的对应点F在PQ上，求PF和AE的长；
（2）如图2，DP＝1
3AD，CQ＝
1
3BC，点D的对应点F在PQ上，求AE的长；
A
B C
D
G
E
F
l
l
l
l
C
A
F
B
D
E
G
M
N
（3）如图3，DP ＝
1
n
AD ，CQ ＝
1
n
BC ，点D 的对应点F 在PQ 上． ①直接写出AE 的长（用含n 的代数式表示）；
②当n 越来越大时，AE 的长越来越接近于_________．
11．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ＝4，BC ＝9，∠B ＝45°．动点P 从点B 出发沿BC 向点C 运动，动点Q 同时以相同速度从点C 出发沿CD 向终D 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． （1）求AB 的长；
（2）设BP ＝x ，问当x 为何值时△PCQ 的面积最大，并求出最大值；
（3）探究：探究：在AB 边上是否存在点M ，使得四边形PCQM 为菱形？请说明理由．
12．如图①，将矩形ABCD 折叠，使点B 落在边AD （含端点）上，落点记为E ，此时折痕与边BC 或边CD （含端点）交于点F ，然后展开铺平，则以B 、E 、F 为顶点的△BEF 称为矩形ABCD 的“折痕三角形”． （1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD 的任意一个“折痕△BEF ”是一个_________三角形；
（2）如图②，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，当它的“折痕△BEF ”的顶点E 位于AD 的中点时，画出这个“折痕△BEF ”，并求出点F 的坐标； （3）如图③，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF ”？若存在，说明理由，并求出此时点E 的坐标？若不存在，为什么？
13．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝90°，AB ＝3，CD ＝6，BE ⊥BC 交直线AD 于点E ．
（1）当点E 与D 恰好重合时，求AD 的长； （2）当点E 在边AD 上时（E 不与A 、D 重合），设AD ＝x ，ED ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 取值范围；
（3）是否可能使△ABE 、△CDE 与△BCE 都相似？若能，请求出此时AD 的长；若不能，请说明理由．
图1 C A F
B D E P Q 图2
C A F B
D
E P Q
图3
C A F B
D E
P Q
图①
图②
图③
14．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，M 为CD 中点，点E 在线段MC 上运动，FG 垂直平分AE ，垂足为O ，分别交AD 、BC 于F 、G ．
（1）求
AE
FG
的值； （2）设CE ＝x ，四边形AGEF 的面积为y ，求y 关于x
的函数关系式；当y 取最大值时，判断四边形AGEF 的
形状，并说明理由．
15．如图1，矩形ABCD 中，AB ＝10cm ，BC ＝6cm ，在BC 边上取一点E ，将△ABE 沿AE 翻折，使点B 落在DC 边上的点F 处． （1）求CF 和EF 的长；
（2）如图2，一动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿AF 向终点F 作匀速运动，过点P 作PM ∥EF 交AE 于点M ，过点M 作MN ∥AF 交EF 于点N ．设点P 运动的时间为t （0＜t
＜10），四边形PMNF 的面积为S ，试探究S 的最大值？
（3）以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图3，在（2）的条件下，连接FM ，若△AMF 为等腰三角形，求点M 的坐标．
16．如图，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（6，0），（0，2），M 是线段BC
上的动点（与端点B 、C 不重合），过点M 的直线y ＝－
2
3
x ＋m 交折线OAB 于点N ． （1）记△MOE 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出m 的取值范围；
（2）当点N 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线MN 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1． ①当m 为何值时，B 、N 、B 1三点在同一直线上；
②试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
D
A B
C E
E
（图2） D
（图1） D B C E F A 备用图
备用图
17．如图，边长为1的正方形ABCD 中，以A 为圆心，1为半径作BD ︵
，将一块直角三角板
的直角顶点P 放置在BD ︵
（不包括端点B 、D ）上滑动，一条直角边通过顶点A ，另一条直
角边与边BC 相交于点Q ，连接PC ，设PQ ＝x ．
（1）△CPQ 能否为等边三角形？若能，求出x 的值；若不能，说明理由； （2）求△CPQ 周长的最小值；
（3）当△CPQ 分别为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形时，求x 的取值范围．
18．如图，菱形ABCD 中，AB ＝10，sin A ＝
4
5
，点E 在AB 上，AE ＝4，过点E 作EF ∥AD ，交CD 于F ，点P 从点A 出发，以每秒1个单位长的速度沿线段AB 向终点B 匀速运动，同时点Q 从点E 出发，以相同的速度沿线段EF 向终点F 匀速运动，设运动时间为t （秒）． （1）当t ＝5秒时，求PQ 的长；
（2）当BQ 平分∠ABC 时，直线PQ 将菱形ABCD 的周长分成两部分，求这两部分的比； （3）以P 为圆心，PQ 长为半径的⊙P 是否能与直线AD 相切？如果能，求此时t 的值；如果不能，说明理由．
19．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为菱形，AB ＝10，AB 边在x 轴上，点D 在y 轴上，点A 的坐标是（－6，0）． （1）求点C 的坐标；
（2）连接BD ，点P 是线段CD 上一动点（点P 不与C 、D 两点重合)，过点P 作PE ∥BC 交BD 于点E ，过点B 作BQ ⊥PE 交PE 的延长线于点Q ．设PC 的长为x ，PQ 的长为y ，求y 与x 之间的函数关系式（直接写出自变量x 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，连接AQ 、AE ，当x 为何值时，S △BQE
＋
S △AQE
＝
4
5
S △DEP
？并判断此时以点P 为圆心，以5为半径的⊙P 与直线BC 的位置关系，请说明理由．
A P
B
C
D Q A B C D 备用图 A
B
C
D
备用图
A D C
B
E 备用图 F。