第4章 机电控制系统的时域性能指标

第4章 机电控制系统的时域分析
Monday, August 19, 2013
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本章主要内容


典型输入作用和时域性能指标 一阶系统的瞬态响应 二阶系统的瞬态响应 高阶系统分析 稳定性和代数稳定判据 稳态误差分析
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第一节 典型输入作用和时域性能指标
y () 2
tr td ts
t
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稳态过程的性能指标
对一个控制系统的要求
稳态过程的性能指标 主要是稳态误差。ss lim e(t ) lim sE ( s ) e
t s 0
式中：e(t)=给定输入值-实际输出值（单位反馈）；E(s)是系统 的偏差。 对一个控制系统的要求 系统应该是稳定的； 系统达到稳态时，应满足给定的稳态误差的要求； 系统在瞬态过程中应有好的快速性。
⒌ 调节时间或过渡过程时间
ts ：
y () 当 y(t ) 和 之间的误差达到规定的范围之内［一般取 y ( ) 的±5%或±2%，称允许误差范围，用D表示］且以后不再 t 超出此范围的最小时间。即当 ，有： t s
| y(t ) y() | y() D% ( D 2或5)
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瞬态过程的性能指标
⒍ 振荡次数N： 在调节时间内，y(t)偏离 y ( ) 的振荡次数。
y
ymax
y () y () 2
0
0.05 y () 0.02 y ()
或
t td tr tp ts
在上述几种性能指标中，t p , tr , t s表示瞬态过程进行的快慢，是 快速性指标；而 %, N 反映瞬态过程的振荡程度，是振荡性指 标。其中 % 和 t s 是两种最常用的性能指标。
y
0.05 y ( ) 或 0.02 y ( )
⒋ 最大超调量(简称超调量) % ： 瞬态过程中输出响应的最大值 超过稳态值的百分数。 t 0 ymax y () tp ts % 100% y ( ) 式中：ymax —输出响应的最大值； y () lim y (t ) —稳态值； t
y
y
瞬态过程
稳态
0
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瞬态过程的性能指标（衰减振荡）
瞬态过程的性能指标 通常以阶跃响应来衡量系统控制性能的优劣和定义瞬态过 程的时域性能指标。稳定的随动系统（不计扰动）的单位阶跃 响应函数有衰减振荡和单调变化两种。 y （一）衰减振荡： 具有衰减振荡的瞬态过程 如图所示： y () ⒈ 延迟时间 t d ： 输出响应第一次达到稳 态值的50%所需的时间。
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概述

控制系统的性能指标是对控制系统的品 质进行评价的依据，包括时域性能指标、 频域性能和综合性能指标等。
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时域分析
什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入信号作用下，根据输出量的时域 表达式，分析系统的稳定性、瞬态性能和稳态性能。 时域分析是一种在时间域中对系统进行分析的方法，具有直 观和准确的优点。由于系统的输出量的时域表达式是时间的函 数，所以系统的输出量的时域表达式又称为系统的时间响应。
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典型输入作用
典型输入作用 阶跃函数：
x(t ) A阶跃幅度，A=1 A 称为单位阶跃函 数，记为1（t）。 A 其拉氏变换后的像函数为： L[ x(t )]
s
0, t 0 x(t ) A, t 0
t
B 其拉氏变换后的像函数为： L[ x(t )] 2 s
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采用典型信号分析的优点



数学模型简单，在给定典型信号作用下， 易确定系统的性能指标，便于系统分析 和设计。 在典型信号作用下的瞬态响应，往往可 以作为分析系统在复杂信号作用下的依 据。 便于进行系统辨识，确定位置环节的参 数和传递函数。
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线性微分方程的解
线性微分方程的解 时域分析以线性定常微分方程的解来讨论系统的特性和 性能指标。设微分方程如下： an y(n) (t ) an1 y(n1) (t ) ... a0 y(t ) bm x(m) (t ) bm1x(m1) (t ) ... b0 x(t ) 式中，x(t)为输入信号，y(t)为输出信号。
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系统输出量的时域表示可由微分方程得 到，也可由传递函数得到。在初值为零 时，可利用传递函数进行研究，用传递 函数间接的评价系统的性能指标。 控制系统的性能指标，可以通过在输 入信号作用下系统的瞬态和稳态过程来 评价。系统的瞬态和稳态过程不仅取决 于系统本身的特性，还与外加输入信号 的形式有关。
x(t ) 1 2 x(t ) Ct 2 t
C 其拉氏变换后的像函数为： L[ x(t )] 3 s
[提示]：上述几种典型输入信号的关系如下： d d2 d3 1 2 A (t ) [ A 1(t )] 2 [ At] 3 [ At ] dt dt dt 2
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[提示]：上述几种典型响应有如下关系： 单位脉冲 函数响应
积分
微分
单位阶跃 函数响应
积分
微分
单位斜坡 函数响应
积分
单位抛物线 函数响应 15
微分
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典型信号系统的选择原则


究竟采用哪种典型信号来分析和研究系统，可 以参照系统正常工作时的实际情况。 如果控制系统的输入量是突变的，采用阶跃信 号。如果控制系统的输入量是随时间等速变变 化，采用斜坡信号作为实验信号，如果控制系 统的输入量是随时间等加速变化的，采用抛物 线信号作为实验信号。如果控制系统为冲击输 入量，则采用脉冲信号。如果控制系统的输入 随时间往复变化，则应采用正弦信号。
斜坡函数（速度阶跃函数）： 0, t 0 B=1时称为单位斜 x(t ) Bt, t 0 坡函数。
x(t ) x(t ) Bt
t
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典型输入作用
抛物线函数（加速度阶跃函数）： 0, t 0 C=1时称为单位抛 x(t ) 1 2 物线函数。 2 Ct , t 0
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典型输入信号

一般系统可能收到的外加作用有控制输入和扰 动，扰动通常是随机的，即使对控制输入，有 时函数形式也不可能事先获得。在时间域进行 分析时，为了比较不同系统的控制性能，需要 规定一些具有典型意义的输入信号建立比较分 析的基础，这些控制信号称为典型输入信号。 所谓典型输入信号，是指根据系统常遇到的输 入信号，在数学上加以理想化的一些基本输入 函数。
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典型输入作用
脉冲函数：
0 r (t ) A h
t 0及t 0 0 单位脉冲函数 (t ) 0t h
t0 t0
其拉氏变换为：
R(s) L[r (t )] 1
x 正弦函数：(t ) ASint ，式中，A为振幅， 为频率。
其拉氏变换后的像函数为： L[ A sin t ]
简称为：稳、准、快
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第二节 控制系统的稳定性


1、系统稳定的条件 1）稳定的概念 原来处于平衡状态的系统受到扰动后会 偏离原来的平衡状态，扰动消失后，系 统能否回到原来的平衡状态或者达到新 的平衡状态的性能成为稳定性 。
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小扰动恢复到原平衡状态， 大扰动不能恢复到原平衡状 态，系统为小范围稳定。 线性系统，小范围稳定， 必然大范围稳定。 扰动消失后，输出与原平衡 状态间存在恒定的偏差或输出 维持等幅振荡，系统处于临界 稳定状态。 经典控制论中，临界稳定视 为不稳定。
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⒉ 上升时间
y ( ) 2
t
0
tr ：
t d tr
输出响应第一次达到稳态值y(∞)所需的时间。或指由稳态值 的10%上升到稳态值的90%所需的时间。 19 Monday, August 19, 2013
瞬态过程的性能指标（衰减振荡）
⒊ 峰值时间 t p ： ymax 输出响应超过稳态值达到第 一个峰值ymax所需要的时间。 y ()
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典型初始状态
典型初始状态: 规定控制系统的初始状态均为零状态，即在 t 0 时
c (0 ) c (0 ) c (0 ) 0
这表明，在外作用加入系统之前系统是相对静止的，被控制 量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零。
n 2 s 2 n
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分析系统特性究竟采用何种典型输入信号，取决于实际系统 在正常工作情况下最常见的输入信号形式。
当系统的输入具有突变性质时，可选择阶跃函数为典型输入 信号；当系统的输入是随时间增长变化时，可选择斜坡函数为 典型输入信号。 讨论系统的时域性能指标时，通常选择单位阶跃信号作为典 型输入信号。
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瞬态过程的性能指标
（二）单调变化 单调变化响应曲线如图所示： 这种系统就无需采用峰值时 间和最大超调量这两个指标。此 时最常用的是调节时间这一指标 来表示瞬态过程的快速性。有时 也采用上升时间这一指标。
y
0.05 y ()
y ()
或 0.02 y ()
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线性微分方程的解
综上所述，对于稳定的系统，对于一个有界的输入，当时 间趋于无穷大时，微分方程的全解将趋于一个稳态的函数，使 系统达到一个新的平衡状态。工程上称为进入稳态过程。 系统达到稳态过程之前的过程称为瞬态过程。瞬态分析是 分析瞬态过程中输出响应的各种运动特性。理论上说，只有当 时间趋于无穷大时，才进入稳态过程，但这在工程上显然是无 法进行的。在工程上只讨论输入作用加入一段时间里的瞬态过 程，在这段时间里，反映了主要的瞬态性能指标。 某系统单位阶跃响应曲线如下：
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时间响应由哪些部分组成

控制系统的时间响应由瞬态响应和稳态 响应两部分组成。
瞬态响应—是系统在某一典型信号输入 作用下，其输出量从初始状态到稳定状 态的变化过程。瞬态响应也称作动态响 应或过渡过程或暂态响应。 稳态响应—是系统在某一典型输入信号 作用下，当时间趋于无穷大时的输出状 态，稳态响应也称为静态响应。
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典型响应
典型响应： ⒈ 单位脉冲函数响应： ⒉ 单位阶跃函数响应： ⒊ 单位斜坡函数响应： ⒋ 单位抛物线函数响应：
C(s) G(s) 1
1 C ( s) G( s) s 1 C (s) G(s) 2 s 1 C (s) G (s) 3 s
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系统受到扰动偏离了平衡状态，扰动消失后，又恢复到 平衡状态，称系统是稳定的。 线性系统的稳定性由系统的结构和参数决定，与初始条 件及外作用无关。
稳 定 的 摆
不 稳 定 的 摆
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不论扰动引起的初始偏差有 多大，扰动取消后，系统都能 够恢复到原有的平衡状态是大 范围稳定。
y 我们知道，微分方程的解可表示为： (t ) yh (t ) y p (t ) ，其 y 中， h (t ) 为对应的齐次方程的通解，只与微分方程（系统本身 的特性或系统的特征方程的根）有关。对于稳定的系统，当时 间趋于无穷大时，通解趋于零。所以根据通解或特征方程的根 可以分析系统的稳定性。 y p (t )为特解，与微分方程和输入有关。一般来说，当时间 趋于无穷大是特解趋于一个稳态的函数。