最新高一数学竞赛试题5

高一数学竞赛试题（1）
(注意:共有二卷,时间100分钟, 满分150)
第一卷（本卷100分）
一、选择题（每小题5分，共50分）
1．下列结论中正确的是（ ）
A ．{}{}3,2,1,00∈
B ．{}无理数∈2
C ．{}φ==0|2x x
D ．{}{}
等腰直角三角形等腰三角形∈
2．若集合M={x │x 2-3x+2≥0}，N={x|5<x ,R x ∈}，则M ∩N 是（ ）
A ．}15|{≤<-x x B. }52|{<≤x x
C. }5215|{<≤≤<-x x x 或
D. φ
3．函数2-=x y 的图象是( )
4. 一个教室的面积为x m 2, 其窗子的面积为y m 2
, (x>y), 如果把y/x 称为
这个教室的亮度, 现在教室和窗子同时增加z m 2, 则其亮度将( ) A. 增加 B. 减小 C. 不变 D. 不确定
5．奇函数)()0,(,)(),0()(x f x x x f x f 上的则在上的表达式为在-∞+
=+∞的 表达式为f(x)=( )
A ．x x +
- B ．x x -- C ．x x -+- D ．x x ---
6．函数()22--+=x x x f 是( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数
7．已知x x 322-≤0，则函数f (x ) = x 2 +x +1 ( )
A. 有最小值43
, 但无最大值 B. 有最小值43
, 有最大值1
C. 有最小值1，有最大值419
D. 以上选项都不对
8. 方程ax 2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是（ ）
A. 0<a ≤1
B. a<1
C. 0<a ≤1或a<0
D. a ≤1
9. 已知)2(log ax y a -=在[0，1]上为x 的减函数，则a 的取值范围为（
） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（0，2） D ．)
,2[+∞ 10．若 02log 2log <<b a ，则( )
A. 0＜a ＜b ＜1
B. 0＜b ＜a ＜1
C. a ＞b ＞1
D. b ＞a ＞1
二．填空题（每小题5分，共15分）
11．数y=)1(log 2
1--x x 的定义域是____________________
12．“若0)2)(1(=+-y x ，则21-==y x 或”的否命题是
_________________________________________________
13．函数y=131
3+-x x 的反函数是______________________________
三．解答题(共35分. 需要写出详细求解过程)
14．（10分）
（1）求函数4236
)(22-++-=x x x x f 的定义域；
（2）已知函数43)(-=x x f 的值域为[-1，5]，求函数)(x f 的定义域。

15．（10分）设集合},01)2(|{2R x x p x x A ∈=+++=，若A ∩φ=+
R ，
求实数p 的取范围。

16．（15分）某商人如果将进货单价为８元的商品按每件10元售出时，每天可销售100
件，现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件涨价1元，其销售数量就减少10个，问他将售价定为多少时，才能使每天所赚得的利润最大？最大利润是多少？
第二卷（共50分）
四．选择题（每小题5分，共15分）
17．已知))1,0((,,∈===a a z a y a x a a a ，那么，下列式子成立的是（ ）
A ．x < y < z B. z < y < x C. z < x < y D. x < z < y
18．已知N n ∈，且=)(n f ⎩
⎨⎧<+≥-)10()]5([)10(3n n f f n n ，则)5(f 的值等于 A ．9 B ．10 C ．7 D ．8
19. 甲乙两人同时到同一商店分两次购买面粉, 甲每次都购买10千克, 乙每次 都购买10元钱的。

已知两次价格不同, 设甲两次的平均价格为p, 乙两次
的平均价格为q, 则( )
A. p>q
B. p=q
C. p<q
D.与价格有关
五．填空题（每小题5分，共10分）
20. 不等式13|1|+>++-x x x 的解集_____________
21．有一函数))((*
N n n f ∈,n=1时，3)()1(=++n f n f ；当n 为偶数时， 3)()1(=-+n f n f ；n 为奇数时，1)()1(-=-+n f n f 。

则=)(n f _________
六．解答题（共25分）
22．（10分）已知函数),)(lg()(为常数b a b a x f x
x -=，
①)(,,0,x f b a b a 求时且当≠>的定义域； ②)(,01x f b a 判断时当>>>的单调性，并用定义证明。

23．（15分）设)(,x f R a ∈为奇函数，且1
424)2(+-+⋅=x x a a x f （1）试求)(x f 的反函数)(1x f
-及其定义域； （2）设],32,21[.1log
)(2∈+=x k x x g 若)(1x f -≤)(x g 恒成立， 求实数k 取值范围。

附加参考题（不计分）
24．讨论函数)0,()(的常数均为大于q p x
q px x f +=的单调性。

参考答案（仅供参考）
一．
二． BCCAB ACDBA
三． 11. (1,2)∪(2,+∞) 12．若0)2)(1(≠+-y x ，则21-≠≠y x 且 13.)11(,11log 3<<--+=x x
x y 四． 14. 略（第2问应要求说明函数单调性）
15. 记方程判别式△=（p+2）2 – 4
因为φ=⋂+R A ，所以方程01)2(2
=+++x p x (*)无正实数根。

(1)若方程（*）无实数根，则φ=A ，所以△<0，即04<<-p ，
此时φ=⋂+R A ，故04<<-p 满足条件。

(2)若方程（*）有实数根，显然x=0不是根，所以根均为负数, 所以⎩
⎨⎧<+≥∆02)(p -0 ⎩⎨⎧->≥-≤⇒204p p p 或，,0≥⇒p 综合（1）（2）有p>-4
16. 略（要求逐步分析，写出函数式，再解决问题）
五． 17~19题 DDA
五．20. [-3, 1)∪(1,+∞) 21．⎩⎨
⎧+-=)
(1)(1)(为奇数为偶数n n n n n f 六．22．解：①,1)(0>⇒>⇒>-x x x x x b
a b a b a .)(01,0定义域为则
若x f x b a b a >⇒>>> 若.)(010,0定义域为则x f x b
a b a <⇒<<<<
②任取x 1,x 2使),(021b a x x ><<
;121x x a a a <⇒>由再212110x x x x b b b b b -<-⇒>⇒<<由 ,2211x x x x b a b a -<-所以 )()(),lg()lg(212211x f x f b a b a x x x x <-<-⇒即， 所以，f(x)为增函数。