数学方法之换元法篇

数学方法之换元法篇
通过换元法可以把未知问题化为已知问题，把抽象问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过换元可以清楚的认识问题的实质，迅速寻找和选择解决问题的途径的方法. 根据数式的特点常见的换元法有：（1）整体换元；（2）平均数换元法；（3）比值换元法；（4）三角代换法；（5）不等量换元法；（6）根式换元法；（7）倒数换元法；（8）相反数换元法；（9）坐标换元法等等.
一、整体换元
例1：求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值.
解析：设••t x x •y x x t .2
1cos sin ),22(cos sin 2-=∙≤≤-+=则 •t t t y .1)1(212122-+=+-=故 当.22
1,2max +==••y •t 时 二、三角换元
例2：求函数25x x y -+=的值域.
解析：令••••x ],2
,2[,sin 5ππθθ-∈= ).4sin(10cos 5sin 5|cos |5sin 5πθθθθθ+=+=+∙=y 则 因为2
2πθπ≤≤-，所以 .4344ππ
θπ
≤+≤- 所以1)4sin(22≤+≤-πθ，得10)4
sin(105≤+≤-πθ 所以函数的值域为[10,5•
-]. 三、平均数换元法
例3：已知正数.425)1)(1(:,1,≥++=+y y x x •••y x y x •
求证满足 证明：由题意可知x ，y 的平均数为21，令x =21+θ，y =21-θ（-21<θ<2
1）, 则.4
1162523)1)(1()1)(1(2
2422θθθ-++=++=++xy y x y y x x 显然分子的值大于等于1625， 分母的值大于0小于等于4
1，从而得证.
四、比值换元
例4：已知x ，y ，z 满足x -1=
3
221-=+z y ，试问实数x ，y ，z 为何值时，x 2+y 2+z 2达到最小值？ 解析：由比例可以设
t z y x =-=+=-3
22111，则 222z y x ++22)12()1(-++=t t +.61014)23(22++=+t t t 当14
5-=t 时，即149=x ，712-=y ，222,1413z y ••x z ++=时达到最小值. 五、根式换元
例5：求函数y =2x +x 21-的值域.
解析：设t =x 21-≥0，则x =212t -，f (t )=)0(2
1212≥++-t t t ，由二次函数的图象可以知f (t )≤1，所以原函数的值域是(].1,•••
∞- 六、不等量换元
例6：求证：4
7)1(1131211122322<++++++n n . 证明：对通项公式进行变形)1111(21)1)(1(111122+--∙=+-=-<k k k k k k . 令k =2，3，…n ，n +1，则
47)2111211(211)1(1131211122322<+-+-++<++++++n n n n .。