2020-2021学年上学期江苏省江阴市长泾高级中学等四校期中联考高一数学试卷

江阴市长泾高级中学2020—2021 学年度秋学期四校期中联考试卷
高一数学
考生注意：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用黑色水笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若{}2
{1,4,},1,A x B x
==且B A ⊆，则x =（）
A.2±
B.2±或0
C.2±或1或0
D.2±或±1或0 2.若0a <b <，则下列不等式中成立的是（）
A.|a|>b -
B.
1a
b <
D.
11a b
< 3.函数(
)1
2
f x x =-的定义域为（）
A ．[)0,2
B ．()2,+∞
C ．()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭
D ．()
(),22,-∞+∞
4.已知幂函数()y f x =的图象过点()4,2，则14f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
（ ） A.
1
16
B.
12
C.1
D.2
5.若0<t <1，则关于x 的不等式(t －x )1x t ⎛⎫- ⎪⎝⎭
>0的解集是（）
A ．1x
x t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．1
x x t ⎧>⎨⎩
或}x t <
C ．1
x x t
⎧<⎨⎩
或}x t >
D ．1x t x t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
6.已知函数()210
10
x x f x x ⎧+≤=⎨>⎩，，，若()()423f x f x >--，则实数x 的取值范围是（）
A ．()1
，-+∞ B ．()1-∞-， C ．()14-， D ．()1-∞，
7.若函数()()2
21f x ax a b x a =+-+-是定义在()
(),00,22a a --上的偶函数，则225a b f ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
（）
A ．1
B ．3
C ．
5
2 D ．
72
8.对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()000f x f x +-=，则称点()()
00,x f x 是曲线()f x 的“优美点”.
已知()22,0
2,0
x x x f x x x ⎧+<=⎨-+≥⎩，则曲线()f x 的“优美点”个数为（）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9.对于任意实数a 、b 、c ，下列命题是真命题的是( )
A ．“b a =”是“bc ac =”的充要条件
B ．“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，
C ．“b a >”是“22b a >”的充分条件
D ．“5<a ”是“3<a ”的必要条件，
10.对于定义在R 上的函数()f x ，下列判断正确的有（）．
A ．若f (-2) <f (2)，则函数()f x 是R 上的单调增函数
B ．若f (-2) f (2)，则函数()f x 不是偶函数
C ．若函数()f x 是奇函数，则()00f =
D ．函数()f x 在区间 (−∞，0]上是单调增函数，在区间 (0,+∞)上也是单调增函数，则()f x 是R 上的单调增函数
11.定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个不同的实数1x ，2x ，均有()()1212
f x f x k x x -≤-成立，则称函数()f x 在定义域D 上满足利普希茨条件.已知函数()()1f x x x =≥满足利普希茨条件，
则以下哪些是常数k 的可能取值（）
A ．2
B ．1
C ．
1
2
D ．
13
12.已知函数()422
21
x x a
f x x ++=+（x ∈R ）的值域为[,)m +∞，则实数a 与实数m 的取值可能为（） A ．0a =，0m = B ．1a =，1m =
C ．3a =，3m =
D ．2a =
，2m =
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，其中第16题第一个空2分，第二个空3分。

13.对于命题p :x >0，使得x 2－x －2>0，则p ⌝是 14.已知f (2x ＋1)＝x 2－2x ，则f (3)＝________．
15.函数f (x )＝ax 2－2x+1在区间[1,3]上单调递减，则实数a 的取值范围为．
16.函数[]x x f =)(的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[]4-5.3-=，[]21.2=，若
[][][]{}10,32≤≤++==x x x x y x A ，则A 中元素有个，所有元素之和为
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知全集U =R ，集合{}
2
|450A x x x =--≤，{}|24B x x =≤≤.
（1）求
（2）若集合{}|4,0C x a x a a =≤≤>，满足，求实数a 的取值范围.
18.（12分）已知关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{|1,}x x x b <>或. （1）求,a b 的值；
（2）当0x >，0y >，且满足1a b x y
+=时，有2
22x y k k +≥++恒成立，求k 的取值范围.
19.（12分）()21
mx n
f x x +=
+是定义在上的奇函数，且()112
f =
（1）求m ,n 的值；
（2）判断并证明函数()f x 的单调性，并求使()()
2
110f a f a -+-<成立的实数a 的取值范围.
20.(12分)为了缓解市民吃肉难的生活问题,某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地,运费为每小时60元,装卸费为1000元,猪肉在运输途中的损耗费(单位:元)是汽车速度(km/h )值的2倍.(说明:运输的总费用=运费+装卸费+损耗费) (1)若汽车的速度为每小时50千米,试求运输的总费用. (2)为使运输的总费用不超过1260元,求汽车行驶速度的范围.
(3)若要使运输的总费用最小,汽车应以每小时多少千米的速度行驶?
21.(12分)已知命题：“{
}11x x x ∀∈-≤≤，都有不等式2x x m --<0成立”是真命题. （1）求实数m 的取值集合B ；
（2）设不等式(3)(2)0x a x a ---<的解集为A ，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.
22.(12分)已知函数()2
3f x x m x =+-.
（1）当0m =时，求函数()y f x =的单调递减区间；
（2）当01m <≤时，若对任意的[),x m ∈+∞，不等式()()12f x m f x m --≤-恒成立，求实数m 的取值范围.
江阴市长泾高级中学2020—2021 学年度秋学期四校期中联考试卷
数学答案及评分标准
一、单项选择题
1.B
2.A
3.C
4.B
5.D
6.C
7.B
8.B
二、多项选择题
9．BD10.BC11.ABC12.ABD
三、填空题
13.
14. －115．⎥⎦
⎤ ⎝⎛∞31-，16.5，12
四、解答题
17.解：（1）由题知{}|15A x x =-≤≤ ............2分
{|2U C B x x =<或}4x > ............3分
∴(){|12U A C B x x ⋂=-≤<或}45x <≤ ............5分 （2）由C
A A =得C A ⊆ ............6分
则⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥>5410
a a a ............8分 解得4
50≤
<a ∴实数a 的取值范围为4
5
0≤
<a ............10分 18.解（1）法一：因为不等式2320ax x -+>的解集为{|1x x <或}x b >， 所以1和b 是方程2320ax x -+=的两个实数根且0a >，............1分
所以⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=
⨯=+a b a
b 2131............3分 解得2,1==b a ............4分
法二：因为不等式2320ax x -+>的解集为{|1x x <或}x b >， 所以1和b 是方程2320ax x -+=的两个实数根且0a >，............1分 由1是2320ax x -+=的根，有3201a a -+=⇒=，............2分
将1a =代入2320ax x -+>，得23201ax x x -+>⇒<或2x >............3分
2b ∴=............4分
（2）由（1）知2,1==b a ，于是有
12
1x y
+=
∴()1242248y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥
⎪⎝⎭
............7分 当且仅当y
x
x y 4=即4,2==y x 时取“=”............8分
依题意必有2
(2)2min x y k k +≥++，............9分
即282k k ≥++............10分 解得23-≤≤k 所以k 的取值范围为3,2............12分
19．解（1）法一：()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，
则()()001
12f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，得0
122n m n =⎧⎪
⎨+=⎪⎩，解得10m n =⎧⎨=⎩，............2分 经检验1m =，0n =时，()2
1
x
f x x =
+是定义在[]1,1-上的奇函数，............3分 法二：()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数， 则()()f x f x -=-，............1分
即
2211
mx n mx n
x x -+--=++，则0n =，
所以()21mx f x x =+，又因为()1
12
f =，得1m =，
所以1m =，0n =.............3分 （2）由（1）知()21
x
f x x =
+，判断：()f x 在[]1,1-上是增函数，............4分 下证：令1121≤<≤-x x ............5分 则)
1)(1()
)(1(11)()(2
221122122221121++--=+-+=
-x x x x x x x x x x x f x f ............7分 ∵1121≤<≤-x x ∴0,01,01,0112212
221>-<->+>+x x x x x x
∴)()(21x f x f -0<即)()(21x f x f < 所以()f x 在[]1,1-上是增函数............8分
（3）因为()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数
所以由()()
2
110f a f a -+-<，得()(
)2
11f a f a
-<-............9分
由（2）知()f x 在[]1,1-上是增函数
所以⎪⎩
⎪⎨⎧≤-≤-≤-≤--<-1111111122a a a a 得2210202
a a a -<<⎧⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩............11分
解得01a ≤<．故a 的取值范围是[0，1).............12分
20.解：(1)当汽车的速度为每小时50千米时, 运输的总费用为:
×60+1000+2×50=1244(元).............3分
(2)设汽车行驶的速度为x km/h , 由题意可得:
×60+1000+2x ≤1260,............4分
化简得x 2
-130x +3600≤0,解得40≤x ≤90............6分
故为使运输的总费用不超过1260元,汽车行驶速度不低于40 km/h 时,不高于90 km/h
............7分
(3) 设汽车行驶的速度为x km/h ,则运输的总费用为
×60+1000+2x =2x +
+1000≥2
+1000=1240,...........10分
当且仅当2x =,即x =60时取得等号,............11分
故若要使运输的总费用最小,汽车应以每小时60千米的速度行驶.............12分
21.解（1）命题：“{
}11x x x ∀∈-≤≤，都有不等式2x x m --<0成立”是真命题， 得2x x m --<0在11x -≤≤时恒成立...........1分
∴2
max ()m x x >-............2分
得2m >............3分
即{
}2(2,)B m m =>=+∞.............4分
（3）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则A 是B 的真子集............5分
不等式(3)(2)0x a x a ---<，
①当32a a >+，即1a >时，解集{
}23A x a x a =+<<............6分 ∴22a +≥，此时1a >；............7分
②当32a a =+，即1a =时，解集A φ=，满足题设条件；............8分 ③当32a a <+，即1a <时，解集{
}32A x a x a =<<+，............9分
32a ∴≥，此时2
13
a ≤<.............10分
综上①②③可得2
[,)3
a ∈+∞............12分
22.解：（1）方法一：因为0m =，所以()22
23,0
33,0
x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨+<⎩，
因为函数()2
3f x x x =-的对称轴为3
2
x =
，开口向上 所以当302
x ≤<
时，函数()2
3f x x x =-单调递减； 当32
x ≥
时，函数()2
3f x x x =-单调递增；............2分 因为函数()2
3f x x x =+的对称轴为3
2
x =-，开口向上 所以当3
02
x -
≤<时，函数()23f x x x =+单调递增； 当32
x <-时，函数()2
3f x x x =+单调递减；............3分
因此，函数()y f x =的单调递减区间为：⎪⎭⎫ ⎝
⎛-∞-23,和30,2⎛⎫
⎪⎝⎭
............4分 方法二：因为0m =，x x x f 3)(2
-=
∵)(33)()(2
2x f x x x x x f =-=---=-∴)(x f 为偶函数............1分
所以()22
23,0
33,0
x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨+<⎩，
∵当302
x ≤<时，函数()2
3f x x x =-单调递减； 当32
x ≥
时，函数()2
3f x x x =-单调递增；............2分
又因为偶函数)(x f 图像关于y 轴对称 所以当3
02
x -
≤<时，函数)(x f 单调递增； 当3
2
x <-时，函数)(x f 单调递减............3分
因此，函数()y f x =的单调递减区间为：⎪⎭⎫ ⎝
⎛-
∞-23,和30,2⎛⎫
⎪⎝⎭
；............4分 （2）由题意，不等式()()12f x m f x m --≤-可化为2
2
(1)3126x x m x x m ----≤--， 即2
4613(1)0x x m x m -+-+-+≥在[)m,x ∈+∞上恒成立，............5分
令2
()4613(1)g x x x m x m =-+-+-+， 则只需min ()0g x ≥即可；............6分 因为01m <≤，所以112m <+≤
因此22
2
792,m 1
()4613(1)34,1
x x m x m g x x x m x m x x m x m ⎧-++≤≤+=-+-+-+=⎨-+->+⎩ 当1m x m ≤≤+时，函数2
()792g x x x m =-++开口向上，对称轴为：7
12
x m =
>+， 所以函数()g x 在[]m,m 1+上单调递减............8分
当1x m >+时，函数2
()34g x x x m =-+-开口向上，对称轴为1
12
x m =
<+； 所以函数()g x 在[)1,m ++∞上单调递增............9分
因此2
min ()(m 1)44g x g m m =+=+-，............10分 由min ()0g x ≥得2440m m +-≥，
解得2m ≥-+2m ≤--............11分
因为01m <≤，所以21m -+≤≤.
即实数m 的取值范围为2⎡⎤-+⎣⎦.............12分。