《14.2.2 完全平方公式》优质课件(3套)

=10000+400+4
=10000 -200+1
=10404.
=9801.
方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟 记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全 平方公式的形式．
针对训练 利用乘法公式计算： (1)982－101×99； (2)20162－2016×4030＋20152. 解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)
常用 结论
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的 式子，可能需要先添括号变形成 符合公式的要求才行 3.弄清完全平方公式和平方差公 式不同（从公式结构特点及结果 两方面）
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2.
（a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 .
知识要点 完全平方公式
（a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 . 也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个 公式叫做（乘法的）完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中间”
＝36－16＝20； (2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8，
∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy ＝20－16＝4.
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：
x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy,(x－y)2＝(x+y)2 －4xy.
拓展训练
1.已知x+y=10,xy=24,则x2+y2=_5_2___
4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2 ＝64，运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋ 0.6792＝___2_5____．
5.计算 (1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)； (2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)． 解：(1)原式＝[3a＋(b－2)][3a－(b－2)]
首平方，尾平方，积的 2倍在中央
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式。
完全平方公式的图形理解
完全平方和公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
(a b)2 a2+2ab+b2
完全平方公式的图形理解
完全平方差公式：
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2 a2 2ab b2
＝1002－400＋4－1002＋1＝－395； (2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152
＝(2016－2015)2＝1.
例3 已知x－y＝6，xy＝－8.求: (1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值. 解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，
(x－y)2＝x2＋y2－2xy， ∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
C．a2-4
D．a2-4a-4
2.下列计算结果为2ab－a2－b2的是( D )
A．(a－b)2
B．(－a－b)2
C．－(a＋b)2 D．－(a－b)2
3.运用完全平方公式计算: (1) (6a+5b)2=_3_6_a_2_+_6_0_a_b_+_2_5_b_2_； (2) (4x-3y)2=__1_6_x_2_-_2_4_x_y+__9_y_2 _ ； (3) (2m-1)2 =___4_m_2_-4_m__+_1_____； (4)(-2m-1)2 =__4_m_2_+_4_m__+_1_____.
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43. 7.已知x+y=8,x-y=4,求xy. 解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①;
∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②; 由①-②得 4xy=48 ∴xy=12.
课堂小结
法则
完全平方 注 意 公式
变式：已知 x 1 10,
x
则x2
1 x2
_9_8___
2.如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果，
则k=_8_或__-_8_
变式：如果x2+6x+m2是完全平方式，则m的值
是_3_或__-_3
3.已知ab=2,(a+b)2=9,则(a-b)2的值为__1____
变式：若题目条件不变，则a-b的值为_±__1__
解：(1)原式＝[(a－b)＋c]2 ＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c ＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc；
(2)原式＝[1＋(－2x＋y)][1－(－2x＋y)] ＝12－(－2x＋y)2 ＝1－4x2＋4xy－y2.
当堂练习
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（ A ） A．a2-4a+4 B．a2-2a+4
例4：运用完全平方公式计算： (1) 1022 解： 1022= (100+2)2 =10000+400+4 (2) 992 =10404 解： 992 = (100 –1)2 =10000 -200+1
=9801
一试身手 利用完全平方公式计算：
9.92 1012
这节课你学到了什么知识？
完全平方公式：(a+b)2= a2 +2ab+b2
例3 运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2 解: (4m+n)2= (4m)2+2•(4m) •n+n2
=16m2 +8mn +n2
(2)(y-
1 2
)2
解： (y-
1 )2=
2
y2 -2•y •
1 2
=y2 -y
+
1 4
+
(
1 2
)2
• 每位同学出一道要求运用完 全平方公式来解的计算题。 然后同位交换互测。
即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它 们的积的2倍.
这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
公式特点： (a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同；
完全平方公式的 特点
记忆口诀：
首平方，尾平方，2倍乘积放中央， 符号看前方。
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.2 完全平方公式
学习目标
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释.（重点）
2.灵活应用完全平方公式进行计算.（难点）
导入新课
情境引入
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 × (-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × (2x +y)2 =4x2+4xy +y2
典例精析
例1 运用完全平方公式计算： (1)(4m+n)2；
解: (4m+n)2=(4m)2 +2•(4m) •n+n2
问题3 你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗?
设大正方形ABCD的面积为S.
S1
S2
S3
S4
S= (a+b)2 =S1+S2+S3+S4= a2+b2+2ab .
几何解释:
b
a
=
+
a
bLeabharlann a2ab和的完全平方公式： （a+b)2= a2+2ab+b2 .
+
+
ab
b2
几何解释:
a−b
b
a−b (a−b)2 b(a−b)
a
b
ab
a
(a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .
差的完全平方公式： （a-b)2= a2-2ab+b2 .
问题4 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列
问题：
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a-b)2=a2-2ab+b2.
1.说一说积的次数和项数. 2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有
二 添括号法则 去括号 a+(b+c) = a+b+c; a- (b+c) = a - b – c. 把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号： a + b + c = a + ( b + c) ; a–b–c = a–(b+c).
知识要点 添括号法则
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项 都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都 改变符号（简记为“负变正不变”）.
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
通过这节课的学习你有何感想与体会？ 注意：项数、符号、字母及其指数。
1、平方差公式
(a+b)(a–b)=a2-b2 记忆口诀：
相同项平方减去相反项平方
2. 完全平方公式：
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a-b)2 = a2 - 2ab + b2
我们再来计算(a+b)2, (a-b)2 (a+b)2=(a+b) (a+b) = a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2. (a-b)2 = (a-b) (a-b) = a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2 .
一般地,我们有
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b) 2 = a2-2ab +b2.
＝(3a)2－(b－2)2 ＝9a2－b2＋4b－4. (2)原式＝[(x－y)－(m－n)][(x－y)＋(m－n)] ＝(x－y)2－(m－n)2 ＝x2－2xy＋y2－m2＋2mn－n2.
6.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2. 解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2 =16m2 +8mn +n2；
(2)
y
1 2
2
解： y
1 2
2 =
y2
-2•y•
1 2
1
2
+ 2
(a - b)2 = a2 - 2 ab + b2 =y2 -y + 1 .
4
针对训练
利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2； (3)(－3a＋b)2.
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.
方法总结：第1小题选用平方差公式进行计算，需 要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相 反的为另一组”.第2小题要把其中两项看成一个 整体，再按照完全平方公式进行计算.
针对训练 计算：(1)(a－b＋c)2； (2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．
什么关系？ 3.两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与 a,
b有什么关系？它的符号与什么有关？
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 (2)(x -y)2 =x2 -y2
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
×
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
直接求：总面积=（a+b)(a+b) b
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
你发现了什么？
a
（a+b)2=a2+2ab+b2
a
b
讲授新课
一 完全平方公式
合作探究
问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= p2+2p+1 .
（2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= m2+4m+4 . （3） （p-1)2=(p-1)(p-1)= p2-2p+1 . （4） （m-2)2=(m-2)(m-2)= m2-4m+4 . 问题2 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
(2)(－3m－4n)2；
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2； (2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2； (3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
例2 运用完全平方公式计算：
(1) 1022； 解： 1022 = (100+2)2
(2) 992. 992 = (100 –1)2
14.2 乘法公式
14.2.2 完全平方公式
探究 计算下列各式,你能发现什么规律? (1)(p+1)2 = (p+1) (p+1) = _p_2+_2_p_+_1； (2)(m+2)2= __m_2_+_4m__+_4_; (3)(p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = __p_2-_2_p_+_1_; (4) (m-2)2 = _m__2-_4_m_+_4___.
典例精析
例5 运用乘法公式计算:
(1) (x+2y-3)(x-2y+3) ;
(2) (a+b+c)2.
解: (原1)式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
= x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9)
= x2-4y2+12y-9.
(2)原式 = [(a+b)+c]2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2