几种常见函数的导数

§ 3.2 几种常见函数的导数
课时安排
1课时
从容说课
本节依次要讲述函数y =C (常量函数)，y =x n (n ∈Q )，y =sin x ，y =cos x 的导数公式，这些公式都是由导数的定义导出的,所以要强调导数定义在解题中的作用.
(1)关于公式(x n )′=nx n -1(n ∈Q )，这个公式的证明比较复杂，教科书中只给了n ∈N *情况下的证明.实际上，这个公式对于n ∈R 都成立.在n ∈N *的情况下证明公式，一定要让学生自主
去探索，特别是x
x x x x x f x x f n
n ∆-∆+=∆-∆+)()()(要运用二项式定理展开后再证明，化为12211)(---∆++∆⋅+n n n n n n n x C x x C x C ，当Δx →0时，其极限为11-n n x C 即nx n -1.在讲完这个公式后教师可以因势利导，让学生利用定义或这个公式求y =(x -a)n 的导数，学生一定会模仿上述方法用定义求解，这是十分可贵的.也有的学生要利用二项式定理先将(x -a)n 展开，然后求导,即利用(x n )′=nx n -1求导.y =(x -a )n =n n n n n n n n n n a C a x C a x C x C )1(222110-⋅+-+-=-- ，
1112110)1()1(------++-⋅-='n n n n n n n n a C a x n C x nC y ，利用11--=k n k n nC kC 将其合并成二项式定理的形式.当然有这种解法的，应该提出表场，激励学生大胆创新，同时也要提出这要运用导数的和差运算法则，并告诉学生这是2003年高考题.
(2)运用定义证明公式(sin x )′=cos x ,(cos x )′=-sin x ，要用到极限1sin lim
0=→∆x
x x ，根据学生的情况可以补充证明.
第五课时
课 题
§ 3.2 几种常见函数的导数
教学目标
一、教学知识点
1.公式1 C ′=0(C 为常数)
2.公式2 (x n )′=nx n -1(n ∈Q )
3.公式3 (sin x )′=cos x
4.公式4 (cos x )′=-sin x
5.变化率
二、能力训练要求
1.掌握四个公式，理解公式的证明过程.
2.学会利用公式，求一些函数的导数.
3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.
三、德育渗透目标
1.培养学生的计算能力.
2.培养学生的应用能力.
3.培养学生自学的能力.
教学重点
四种常见函数的导数:C ′=0(C 为常数)，(x n )′=nx n -1(x ∈Q )，
(sin x )′=cos x ,(cos x )′=-sin x .
教学难点
四种常见函数的导数的内容，以及证明的过程，这些公式是由导数定义导出的.
教学方法
建构主义式
让学生自己根据导数的定义来推导公式1、公式2、公式3、公式4，公式2中先证n ∈N *的情况.
教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］我们上一节课学习了导数的概念，导数的几何意义.我们是用极限来定义函数的导数的，我们这节课来求几种常见函数的导数.以后可以把它们当作直接的结论来用.
Ⅱ.讲授新课
［师］请几位同学上来用导数的定义求函数的导数.
1.y =C (C 是常数)，求y ′.
［学生板演］解：y =f (x )=C ，
∴Δy =f (x +Δx )-f (x )=C -C =0,
x
y ∆∆=0. y ′=C ′=x
y x ∆∆→∆0lim =0,∴y ′=0. 2.y =x n (n ∈N *),求y ′.
［学生板演］解：y =f (x )=x n ,
∴Δy =f (x +Δx )-f (x )=(x +Δx )n -x n
n n n n n n n n n x x C x x C x x C x -∆⋅++∆+∆+=--)()(22211
n n n n n n n x C x x C x x C )()(22211∆⋅++∆+∆=--
12211)(---∆++∆+=∆∆n n n n n n n x C x x C x C x
y ∴y ′=(x n )′
111122110
0)(lim lim -----→∆→∆==∆++∆+=∆∆=n n n n n n n n n n x x nx x C x C x x C x C x y . ∴y ′=nx n -1.
3.y =x -n (n ∈N *),求y ′.
［学生板演］
解：Δy =(x +Δx )-n -x -n
n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n
n n
n n
n x x x x C x x C x C x y x x x x C x x C x C x x x x x x x x x )()()()
()()()(1)(11221122211
∆+∆++∆+-=∆∆∆+∆++∆+-=∆+∆+-=-∆+=----- ∴x
y y x ∆∆='→∆0lim n n n n n n n n n n n n n x x x x
C x
x x x C x x C x C ⋅-=∆+∆++∆+-=----→∆111
22110])()([lim
=-nx -n -1.
∴y ′=-nx -n -1.
※4.y =sin x ,求y ′.(叫两位同学做)
［学生板演］
［生甲］解：Δy =sin(x +Δx )-sin x
=sin x cos Δx +cos x sin Δx -sin x ,
x
x x x x x x y ∆-∆+∆=∆∆sin sin cos cos sin , ∴x
y y x ∆∆='→∆0lim x x x x x x
x x x x x x
x x x x x
x
x x x x x x x x x cos 4)2(2sin )sin 2(lim sin cos lim )2sin 2(sin lim sin cos )1(cos sin lim sin sin cos cos sin lim
2
2
002000+∆⋅∆∆⋅-=∆∆+∆∆-=∆∆+-∆=∆-∆+∆=→∆→∆→∆→∆→∆ =-2sin x ·1·0+cos x =cos x .
∴y ′=cos x .
［生乙］Δy =sin(x +Δx )-sin x
=2cos(x +2x ∆)sin 2
x ∆，
x
x y ∆=∆∆22, ∴x
y y x ∆∆='→∆0lim 2
2sin lim )2cos(lim 22sin )2cos(lim 2sin )2cos(2lim 0000x
x x x x
x x x x
x x x x x x x ∆∆∆+=∆∆∆+=∆∆∆+
=→∆→∆→∆→∆ =cos x .
∴y ′=cos x .
(如果叫两位同学上去做没有得到两种方法，老师可把另一种方法介绍一下)
※5.y =cos x ,求y ′.(也叫两位同学一起做)
［生甲］解：Δy =cos(x +Δx )-cos x
=cos x cos Δx -sin x sin Δx -cos x ,
x x x x x x x y
y x x ∆-∆-∆=∆∆='→∆→∆cos sin sin cos cos lim lim
00 1sin 4)2(2sin )cos 2(lim sin sin lim )2sin 2(cos lim sin sin )1(cos cos lim
2
2
00200⋅-∆⋅∆∆-=∆∆-∆∆-=∆∆--∆=→∆→∆→∆→∆x x x x x x
x x x x x x
x
x x x x x x x =-2cos x ·1·0-sin x =-sin x ,
∴y ′=-sin x .
［生乙］解：x x x x x ∆-∆+→∆cos )cos(lim
22sin )2sin(lim 22lim 00x
x x x x
x x ∆∆∆+-=∆=→∆→∆ =-sin x ,
∴y ′=-sin x .
［师］由4、5两道题我们可以比较一下，第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.上面的第2题和第3题中，只证明了n ∈N *的情况，实际上它对于全体实数都成立.我们把上面四种函数的导数作为四个公式，以后可以直接用.
［板书］
(一)公式1 C ′=0(C 是常数)
公式2 (x n )′=nx n -1(n ∈R)
公式3 (sin x )′=cos x
公式4 (cos x )′=-sin x
(二)课本例题
［师］下面我们来看几个函数的导数，运用公式求:
(1)(x 3)′；(2)(2
1x )′;(3)(x )′. ［学生板演］(1)解：(x 3)′=3x 3-1=3x 2.
(2)解：3122222)()1(----=-='='x x x x
. (3)解：x
x x x x 212121)()(2112121
==='='--. (还可以叫两个同学同做一道题，一个用极限即定义来求，一个用公式来求，比较一下)
(三)变化率举例
［师］我们知道在物理上求瞬时速度时，可以用求导的方法来求.知道运动方程s=s(t )，瞬时速度v =s′(t ).
［板书］物体按s=s(t )作直线运动，则物体在时刻t 0的瞬时速度v 0=s′(t 0).
v 0=s′(t 0)叫做位移s 在时刻t 0对时间t 的变化率.
［师］我们引入了变化率的概念，函数f (x )在点x 0的导数也可以叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.很多物理量都是用变化率定义的，除了瞬时速度外，还有什么？
［板书］函数y =f (x )在点x 0的导数叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.
［生］例如角速度、电流等.
［师］它们是分别对哪些量的变化率呢？
［生］角速度是角度(作为时间的函数)对时间的变化率；电流是电量(作为时间的函数)对时间的变化率.
［师］下面来看两道例题.
［例1］已知物质所吸收的热量Q =Q (T )(热量Q 的单位是J ，绝对温度T 的单位是K)，求热量对温度的变化率C (即热容量).
［学生分析］由变化率的含义，热量是温度的函数，所以热量对温度的变化率就是热量函数Q (T )对T 求导.
解：C =Q ′(T ),即热容量为Q ′(T )J/K.
［师］单位质量物质的热容量叫做比热容，那么上例中，如果物质的质量是v kg,那么比热容怎么表示？
［生］比热容是v
1Q ′(T ) J/(kg·K).
图3-9
［例2］如图3-9，质点P 在半径为10 cm 的圆上逆时针作匀角速运动，角速度为1 rad/s ，设A 为起始点，求时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度.
［学生分析］要求时刻t 时M 点的速度，首先要求出在y 轴的运动方程，是关于t 的函数，再对t 求导，就能得到M 点的速度了.
解：时刻t 时，∵角速度为1 rad/s,
∴∠POA=1·t =t rad.
∴∠MPO =∠POA =t rad.
∴OM =OP ·sin ∠MPO =10·sin t .
∴点M 的运动方程为y =10sin t .
∴v =y ′=(10sin t )′=10cos t ，
即时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度为10cos t cm/s.
［师］我们学习了有关导数的知识，对于一些物理问题，就可以利用导数知识轻而易举地解决了.求导时，系数可提出来.
Ⅲ.课堂练习
1.(口答)求下列函数的导数.
(1)y =x 5;(2)y =x 6;(3)x =sin t ;(4)u =cos φ. ［生］(1)y ′=(x 5)′=5x 4.
［生］(2)y ′=(x 6)′=6x 5.
［生］(3)x ′=(sin t )′=cos t .
［生］(4)u ′=(cos φ)′=-sin φ.
2.求下列函数的导数.
(1)31x
y =
;(2)3x y =. (1)解：y ′=(31x )′=(x -3)′=-3x -3-1=-3x -4. (2)解：32
1313133131)()(--==''='x x x x y . 3.质点的运动方程是s=t 3(s 单位：m ,t 单位：s),求质点在t =3时的速度.
解：v =s′=(t 3)′=3t 3-1=3t 2,
当t =3时，v =3×32=27(m/s),
∴质点在t =3时的速度为27 m/s.
4.物体自由落体的运动方程是s =s (t )=
221gt (s 单位：m ,t 单位：s,g =9.8 m/s 2),求t =3时的速度.
解：gt t g gt t s v =⋅==='=-12222
1)21
()(, 当t =3时，v =g·3=9.8×3=29.4(m/s),
∴t =3时的速度为29.4 m/s.
［师］该题也用到求导时系数可提出来,根据［Cf (x )］′=Cf ′(x )(C 是常数).
这由极限的知识可以证得.
x
x f x x f C x x Cf x x Cf x Cf x x ∆-∆+=∆-∆+='→∆→∆)()(lim )()(lim ])([00=Cf ′(x ). 5.求曲线y =x 4在点P (2，16)处的切线方程.
解：y ′=(x 4)′=4x 4-1=4x 3.
∴y ′|x =2=4×23=32.
∴点P (2，16)处的切线方程为y -16=32(x -2),
即32x -y -48=0.
Ⅳ.课时小结
［学生总结］这节课主要学习了四个公式(①C ′=0(C 是常数)，②(x n )′=nx n -1(n ∈R),③(sin x )′=cos x ,④(cos x )′=-sin x )以及变化率的概念:v 0=s ′(t 0)叫做位移s 在时刻t 0对时间t 的变化率，函数y =f (x )在点x 0的导数f ′(x 0)叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P 116习题3.2 2，4，5.
(二)1.预习内容：课本P 118~119和(或差)、积的导数.
2.预习提纲：
(1)和(或差)的导数公式、证明过程.
(2)积的导数 公式、证明过程.
(3)预习例1、例2、例3，如何运用法则1、法则2.
板书设计
§ 3.2 几种常见函数的导数
公式1C ′=0(C 为常数)
公式2(x n )′=nx n -1(n ∈R)
公式3(sin x )′=cos x
公式4(cos x )′=-sin x
v 0=s ′(t 0)是位移s 在t 0对时间t 的变化率.
函数y =f (x )在点x 0的导数叫做函数f (x )在
点x 0对自变量x 的变化率.
1.y =C (C 是常数),求y ′.
2.y =x n (n ∈N *),求y ′.
3.y =x -n (n ∈N *),求y ′.
4.y =sin x ,求y ′.(两种方法)
5.y =cos x ,求y ′.(两种方法) 课本例题
(1)(x 3)′;(2)(21x
)′;(3)(x )′. 例1.已知物质所吸收的热量Q =Q (T )(Q 单位:J ，T 单位:K)，求热量对温度的变化率C (热容量).
例2.质点P 在半径为10 cm 的圆上逆时针作匀角速运动，角速度为1 rad/s ，设A 为起始点，求时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度.
课堂练习
1.(口答)(1)(x 5)′;(2)(x 6)′;(3)(sin t )′；(4)(cos φ)′.
2.(1) )1(3'x
;(2)(3x )′. 3.质点运动方程是s=t 3，求t =3时的速度.
4.22
1gt s =,求t =3时的速度. 5.求曲线y =x 4在P (2，16)处的切线方程.
课后作业。