现代设计理论与方法-优化设计
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加权前往往需要进行归一或正则化处理 （Normalization — 属于定标的一种）
第八页，共57页。
3．约束条件
1）概念 为产生一个可接受的设计，设计变量本身或相
互间应该遵循的限制条件，称为约束条件。
第九页，共57页。
2）表示方法
约束条件一般可表示为设计变量的不等式约束函数形 式和等式约束函数形式，即
➢有约束问题搜索方法
➢一维搜索法
➢复合形法
➢一维函数黄金分割法（0.618 ➢拉格郎日乘子法
法）
➢惩罚函数法
➢二次插值法
（罚函数法）
（近似抛物线法）
➢现代优化方法
➢无约束问题搜索方法
➢遗传算法
➢坐标轮换法
➢粒子群算法Hale Waihona Puke ➢鲍威尔法（Powell法）
➢蚁群算法
➢梯度法
➢鱼群算法
➢牛顿法
➢【神经网络法】
➢变尺度法（DRP）
前例中密闭容器优化设计的目标函数可表示为：
min F（χ）=F（l, w, h）=2（lh+wh+lw）
第七页，共57页。
3）分类
单目标优化：如果优化问题只有一个目标函 数，则称为单目标优化.
多目标优化：如果优化问题有几个目标函数， 则称为多目标优化。
多目标优化可以通过数学方法转化为单目标问题， 常用方法是加权法（其他如范数法、级数法、乘 积法等）
第十页，共57页。
3）分类 按约束条件，又可分为性能约束和边界约束。 （1）性能约束 是针对设计对象的某种性能或指标而给出
的一种约束条件。如零件的计算应力不大于许 用应力，轴的扭转变形应小于许用扭转角等。 一般这类约束条件总可以根据设计规范中的设 计公式或通过物理学和力学的基本分析导出的 约束函数来表示。
遗传算法是以达尔文的自然选择学说为基础发 展起来的。自然选择学说包括以下三个方面：
第二十二页，共57页。
（1）遗传：这是生物的普遍特征，亲代把生物信息交给子代，
子代总是和亲代具有相同或相似的性状。生物有了这个特征，物 种才能稳定存在。 （2）变异：亲代和子代之间以及子代的不同个体之间的差异， 称为变异。变异是随机发生的，变异的选择和积累是生命多样 性的根源。
第二十七页，共57页。
（3）变异 (Mutation Operator)
变异运算用来模拟生物在自然的遗传环境中由 于各种偶然因素引起的基因突变，它以很小的概率 随机地改变遗传基因（表示染色体的符号串的某一 位）的值。在染色体以二进制编码的系统中，它随
机地将染色体的某一个基因由1变为0，或由0变为
1。
一、优化设计的基本概念
优化设计要解决两个关键问题 （1）建立优化设计数学模型
它包括三个要素，即优化设计的目标函数、设计 变量和约束条件；
（2）选择适合的优化方法/算法
优化方法
解析法 数值计算法
微分求极值
迭代逼近最优值 各种算法
第一页，共57页。
1．设计变量
1）概念
在设计中，通常用对设计性能指标有影响的一 组基本参数来表示某个设计方案，这组参数根据其 特点又分为
（3）生存斗争和适者生存：具有适应性变异的个体被保留 下来，不具有适应性变异的个体被淘汰，通过一代代的生 存环境的选择作用，性状逐渐与祖先有所不同，演变为新 的物种。
第二十三页，共57页。
遗传算法将“优胜劣汰，适者生存”的生物进 化原理引入优化参数形成的编码串联群体中，按 所选择的适应度函数并通过遗传中的选择、交叉 及变异对个体进行筛选，使适应度高的个体被保 留下来，组成新的群体，新的群体既继承了上一 代的信息，又优于上一代。这样周而复始，群体 中个体适应度不断提高，直到满足一定的条件。 遗传算法的算法简单，可并行处理，并能到全局 最优解。
以设计变量为自变量的一个可计算的数学函 数。它是设计方案评价的标准。
第六页，共57页。
2）目标函数的描述
优化设计的过程实际上是求目标函数极小值或极
大值（最值）的过程，而求目标函数极大值的问题 可转化为求目标函数极小值的问题。优化设计数 学模型中通常规定求目标函数的极小值。故目标 函数统一描述为：
min F（χ）= F（χ1，χ2，…，χn ）
可见，这是一个三维非线形规划问题。为了简化 问题，可根据等式约束条件消去一个设计变量：
h = 3 /（ l ·w）
则该问题从原来的三维问题转化为二维问题。
第十五页，共57页。
4．建立数学模型的一般过程 1）分析设计问题，初步建立数学模型 即使是同一设计对象，如果设计目标和设计条
件不同，数学模型也会不同。因此，要首先弄清问 题的本质，明确要达到的目标和可能的条件，选用 或建立适当的数学、物理、力学模型来描述问题
6）进行结果分析，审查模型灵敏度（鲁棒性检查） 数学模型求解后，还应进行灵敏度分析，即在优
化结果的最优点处，稍稍改变某些条件，检查目标 函数和约束条件的变化程度。若变化大，则说明灵 敏度高，就需要重新修正模型。某些问题需要进一 步进行稳健设计
第十九页，共57页。
三．常用优化设计方法
➢单变量（一维）方法
2．线性规划
当目标函数F（χ）、约束条件gi（χ）和hj （χ）是设计变量的线性函数时，称该优化问题为
线性规划问题；如果χ只能取整数，则是整数规划 （经常优化后取整）
3．非线性规划
当目标函数F（χ）、约束条件gi（χ）和hj（χ）
中有一个或几个是设计变量的非线性函数时，称该优 化问题为非线性规划问题；机械设计中，绝大多数优 化设计问题的数学模型都属于非线性规划问题。
第四页，共57页。
一项设计，若有n个设计变量χ1，χ2，…，χn 可以按一定次序排列，用n维向量来表示：
χ=[χ1，χ2，…，χn]T
χ∈Rn
它表示了设计空间的概念，即以n个设计变量 为坐标轴组成的实空间，Rn代表n维空间
第五页，共57页。
2．目标函数 1）概念 目标函数是指根据特定目标建立起来的、
第二十八页，共57页。
若只有选择和交叉，而没有变异，则无法在初 始基因组合以外的空间进行搜索，使进化过程在 早期就陷入局部解而进入终止过程，从而影响解 的质量。为了在尽可能大的空间中获得质量较高 的优化解，必须采用变异操作。
第二十九页，共57页。
遗传算法的特点
（1）遗传算法是对参数的编码进行操作，而非对 参数本身，这就是使得我们在优化计算过程中可 以借鉴生物学中染色体和基因等概念，模仿自然 界中生物的遗传和进化等机理
这项设计的设计变量是矩形容器的长l、宽w、
高h。
第三页，共57页。
2）对设计变量的要求 ➢ 相互独立的参数，其取值都是实数。 ➢ 有界连续变量，称为连续量，如温度。
➢ 跳跃式的量，称为离散量，如齿轮的齿数、模数， 丝杆的螺距等。
对离散变量，在优化设计时，常常先看作连续量， 在求得连续量的优化结果后在进行圆整或标准化， 以求得一个实用的最优方案。
第十六页，共57页。
2）确定设计变量
通常应参照以往的设计经验和实际要求，将 那些对目标函数影响不大的参数取为常量，以 减少设计变量的个数，有利于设计问题数学模 型的简化。 3）根据工程实际，提出约束条件
约束条件是对设计变量的限制，这种限制必 须要根据工程实际情况来制订，以便使设计方案 切实可行。约束条件的数目越多，则可行的设计 方案就越少，优化设计的难度也越大。
第十二页，共57页。
二、优化设计的数学模型
1．数学模型的描述
数学模型的规范化描述形式为：
min F（χ） χ=[χ1，χ2，…，χn]T χ∈Rn gi（χ）= gi（χ1，χ2，…，χn）≥0
i =1，2，…，m hj（χ）= hj（χ1，χ2，…，χn）= 0
j =1，2，…，p
第十三页，共57页。
（3）遗传算法直接以目标函数作为搜索信息。传 统的优化算法不仅需要利用目标函数值，而且需 要目标函数的导数值等辅助信息才能确定搜索方 向。而遗传算法仅使用由目标函数值变换来的适 应度函数值，就可以确定进一步的搜索方向和搜 索范围，无需目标函数的导数值等其他一些辅助 信息
第三十一页，共57页。
遗传算法可应用于目标函数无法求导数或导数不存 在的函数的优化问题，以及组合优化问题等
第十七页，共57页。
4）模型前处理
简化模型：划分子结构、子阶段；
简化处理：变量变换，如倒数、平方等
定标处理：消除变量、约束、目标函数在大小、量 纲上的差别 5）选择正确的计算方法，确定计算误差
如果数学模型的数学表达式比较复杂，无法求出精确 解，则需采用近似的数值计算方法，并估计计算误差。
第十八页，共57页。
第二十四页，共57页。
遗传算法的基本操作（算子）有： （1）选择（Selection Operator）
选择是从一个旧种群中选择生命力强的个体位串 产生新种群的过程。具有高适应度的位串更有可能 在下一代中产生一个或多个子孙。
选择操作可以通过随机方法来实现。首先产生 0~1之间均匀分布的随机数，若某串的选择概率为
第十四页，共57页。
前例中的优化设计问题可建立如下的数学模型： min F（χ）=F（l, w, h）=2（lh+wh+lw）
g1（χ）= g1（l，w，h）= w – 1.5 ≥ 0 g2（χ）= g2（l，w，h）= l > 0 g3（χ）= g3（l，w，h）= h > 0 g4（χ）= g4（l，w，h）= l ·w ·h = 3
40%，则当产生的随机数在0.40~1.0之间时，该串
被选择，否则被淘汰。
第二十五页，共57页。
（2）交叉（Crossover Operator） 选择操作能从旧种群中选择出优秀者，但不
能创造新的染色体。而交叉模拟了生物进化过程 中的繁殖现象，通过两个染色体的交换组合，来 产生新的优良品种。
交叉的过程为：在匹配池中任选两个染色体，随机 选择一点或多点交换点位置；交换双亲染色体交换点 右边的部分，即可得到两个新的染色体数字串。
（2）遗传算法同时使用多个搜索点的搜索信息。传统
的优化方法往往是从解空间的单个初始点开始最优解 的迭代搜索过程，单个搜索点所提供的信息不多，搜 索效率不高，有时甚至使搜索过程局限于局部最优解 而停滞不前
第三十页，共57页。
遗传算法从由很多个体组成的一个初始群体开始 最优解的搜索过程，而不是从一个单一的个体开始 搜索，这是遗传算法所特有的一种隐含并行性，因 此遗传算法的搜索效率较高
（4）遗传算法使用概率搜索技术。遗传算法的选 择、交叉、变异等运算都是以一种概率的方式来 进行的，因而遗传算法的搜索过程具有很好的灵 活性。随着进化过程的进行，遗传算法新的群体 会更多地产生出许多新的优良的个体
设计常量：可以根据客观规律或具体条件预先确定 的参数，如材料的力学性能，机器的工况系数等。
设计变量：在设计过程中不断变化，需要在设计过 程中进行选择的基本参数，称为设计变量，如几何尺 寸、速度、加速度、温度等。
第二页，共57页。
优化设计实例
设计一密闭矩形容器，其容积为3m3，容器的宽度 不小于1.5m，以便于装卸车搬运，为使成本最低， 要求用料最省。
gi（χ）= gi（χ1，χ2，…，χn）≤0 或者 gi（χ）= gi（χ1，χ2，…，χn）≥0
（i =1，2，…，m） hj（χ）= hj（χ1，χ2，…，χn）= 0
（ j =1，2，…，p） 式中m，p分别表示施加于该项设计的不等式约束数目和 等式约束数目。
一个等式约束可能通过代入法消去一个设计变量。
第二十页，共57页。
传统搜索方法
第二十一页，共57页。
遗传算法简介
遗传算法简称GA（Genetic Algorithm），最 早 由 美 国 Michigan 大 学 的 J. Holland 教 授 提 出 （于上世纪60-70年代，以1975年出版的一本著作 为代表）,模拟自然界遗传机制和生物进化论而成 的一种并行随机搜索最优化方法。
第二十六页，共57页。
交叉体现了自然界中信息交换的思想。交叉有 单点交叉、多点交叉、还有一致交叉、顺序交叉 和周期交叉。单点交叉是最基本的方法，应用较 广。它是指染色体切断点有一处，例：
A :1011 1 1 0 00 10 11 00 01
B :001 00 1 1 0 00 1 01 10 11 10 0
第十一页，共57页。
（2）边界约束 又称区域约束（书中的常量约束），表
示设计变量的物理限制和取值范围。如前例中 的边界约束条件为： g1（χ）= g1（l，w，h）= w – 1.5 ≥ 0 g2（χ）= g2（l，w，h）= l > 0 g3（χ）= g3（l，w，h）= h > 0
约束条件是以设计变量为自变量一个函数，各 个约束条件之间不能彼此矛盾。
第八页，共57页。
3．约束条件
1）概念 为产生一个可接受的设计，设计变量本身或相
互间应该遵循的限制条件，称为约束条件。
第九页，共57页。
2）表示方法
约束条件一般可表示为设计变量的不等式约束函数形 式和等式约束函数形式，即
➢有约束问题搜索方法
➢一维搜索法
➢复合形法
➢一维函数黄金分割法（0.618 ➢拉格郎日乘子法
法）
➢惩罚函数法
➢二次插值法
（罚函数法）
（近似抛物线法）
➢现代优化方法
➢无约束问题搜索方法
➢遗传算法
➢坐标轮换法
➢粒子群算法Hale Waihona Puke ➢鲍威尔法（Powell法）
➢蚁群算法
➢梯度法
➢鱼群算法
➢牛顿法
➢【神经网络法】
➢变尺度法（DRP）
前例中密闭容器优化设计的目标函数可表示为：
min F（χ）=F（l, w, h）=2（lh+wh+lw）
第七页，共57页。
3）分类
单目标优化：如果优化问题只有一个目标函 数，则称为单目标优化.
多目标优化：如果优化问题有几个目标函数， 则称为多目标优化。
多目标优化可以通过数学方法转化为单目标问题， 常用方法是加权法（其他如范数法、级数法、乘 积法等）
第十页，共57页。
3）分类 按约束条件，又可分为性能约束和边界约束。 （1）性能约束 是针对设计对象的某种性能或指标而给出
的一种约束条件。如零件的计算应力不大于许 用应力，轴的扭转变形应小于许用扭转角等。 一般这类约束条件总可以根据设计规范中的设 计公式或通过物理学和力学的基本分析导出的 约束函数来表示。
遗传算法是以达尔文的自然选择学说为基础发 展起来的。自然选择学说包括以下三个方面：
第二十二页，共57页。
（1）遗传：这是生物的普遍特征，亲代把生物信息交给子代，
子代总是和亲代具有相同或相似的性状。生物有了这个特征，物 种才能稳定存在。 （2）变异：亲代和子代之间以及子代的不同个体之间的差异， 称为变异。变异是随机发生的，变异的选择和积累是生命多样 性的根源。
第二十七页，共57页。
（3）变异 (Mutation Operator)
变异运算用来模拟生物在自然的遗传环境中由 于各种偶然因素引起的基因突变，它以很小的概率 随机地改变遗传基因（表示染色体的符号串的某一 位）的值。在染色体以二进制编码的系统中，它随
机地将染色体的某一个基因由1变为0，或由0变为
1。
一、优化设计的基本概念
优化设计要解决两个关键问题 （1）建立优化设计数学模型
它包括三个要素，即优化设计的目标函数、设计 变量和约束条件；
（2）选择适合的优化方法/算法
优化方法
解析法 数值计算法
微分求极值
迭代逼近最优值 各种算法
第一页，共57页。
1．设计变量
1）概念
在设计中，通常用对设计性能指标有影响的一 组基本参数来表示某个设计方案，这组参数根据其 特点又分为
（3）生存斗争和适者生存：具有适应性变异的个体被保留 下来，不具有适应性变异的个体被淘汰，通过一代代的生 存环境的选择作用，性状逐渐与祖先有所不同，演变为新 的物种。
第二十三页，共57页。
遗传算法将“优胜劣汰，适者生存”的生物进 化原理引入优化参数形成的编码串联群体中，按 所选择的适应度函数并通过遗传中的选择、交叉 及变异对个体进行筛选，使适应度高的个体被保 留下来，组成新的群体，新的群体既继承了上一 代的信息，又优于上一代。这样周而复始，群体 中个体适应度不断提高，直到满足一定的条件。 遗传算法的算法简单，可并行处理，并能到全局 最优解。
以设计变量为自变量的一个可计算的数学函 数。它是设计方案评价的标准。
第六页，共57页。
2）目标函数的描述
优化设计的过程实际上是求目标函数极小值或极
大值（最值）的过程，而求目标函数极大值的问题 可转化为求目标函数极小值的问题。优化设计数 学模型中通常规定求目标函数的极小值。故目标 函数统一描述为：
min F（χ）= F（χ1，χ2，…，χn ）
可见，这是一个三维非线形规划问题。为了简化 问题，可根据等式约束条件消去一个设计变量：
h = 3 /（ l ·w）
则该问题从原来的三维问题转化为二维问题。
第十五页，共57页。
4．建立数学模型的一般过程 1）分析设计问题，初步建立数学模型 即使是同一设计对象，如果设计目标和设计条
件不同，数学模型也会不同。因此，要首先弄清问 题的本质，明确要达到的目标和可能的条件，选用 或建立适当的数学、物理、力学模型来描述问题
6）进行结果分析，审查模型灵敏度（鲁棒性检查） 数学模型求解后，还应进行灵敏度分析，即在优
化结果的最优点处，稍稍改变某些条件，检查目标 函数和约束条件的变化程度。若变化大，则说明灵 敏度高，就需要重新修正模型。某些问题需要进一 步进行稳健设计
第十九页，共57页。
三．常用优化设计方法
➢单变量（一维）方法
2．线性规划
当目标函数F（χ）、约束条件gi（χ）和hj （χ）是设计变量的线性函数时，称该优化问题为
线性规划问题；如果χ只能取整数，则是整数规划 （经常优化后取整）
3．非线性规划
当目标函数F（χ）、约束条件gi（χ）和hj（χ）
中有一个或几个是设计变量的非线性函数时，称该优 化问题为非线性规划问题；机械设计中，绝大多数优 化设计问题的数学模型都属于非线性规划问题。
第四页，共57页。
一项设计，若有n个设计变量χ1，χ2，…，χn 可以按一定次序排列，用n维向量来表示：
χ=[χ1，χ2，…，χn]T
χ∈Rn
它表示了设计空间的概念，即以n个设计变量 为坐标轴组成的实空间，Rn代表n维空间
第五页，共57页。
2．目标函数 1）概念 目标函数是指根据特定目标建立起来的、
第二十八页，共57页。
若只有选择和交叉，而没有变异，则无法在初 始基因组合以外的空间进行搜索，使进化过程在 早期就陷入局部解而进入终止过程，从而影响解 的质量。为了在尽可能大的空间中获得质量较高 的优化解，必须采用变异操作。
第二十九页，共57页。
遗传算法的特点
（1）遗传算法是对参数的编码进行操作，而非对 参数本身，这就是使得我们在优化计算过程中可 以借鉴生物学中染色体和基因等概念，模仿自然 界中生物的遗传和进化等机理
这项设计的设计变量是矩形容器的长l、宽w、
高h。
第三页，共57页。
2）对设计变量的要求 ➢ 相互独立的参数，其取值都是实数。 ➢ 有界连续变量，称为连续量，如温度。
➢ 跳跃式的量，称为离散量，如齿轮的齿数、模数， 丝杆的螺距等。
对离散变量，在优化设计时，常常先看作连续量， 在求得连续量的优化结果后在进行圆整或标准化， 以求得一个实用的最优方案。
第十六页，共57页。
2）确定设计变量
通常应参照以往的设计经验和实际要求，将 那些对目标函数影响不大的参数取为常量，以 减少设计变量的个数，有利于设计问题数学模 型的简化。 3）根据工程实际，提出约束条件
约束条件是对设计变量的限制，这种限制必 须要根据工程实际情况来制订，以便使设计方案 切实可行。约束条件的数目越多，则可行的设计 方案就越少，优化设计的难度也越大。
第十二页，共57页。
二、优化设计的数学模型
1．数学模型的描述
数学模型的规范化描述形式为：
min F（χ） χ=[χ1，χ2，…，χn]T χ∈Rn gi（χ）= gi（χ1，χ2，…，χn）≥0
i =1，2，…，m hj（χ）= hj（χ1，χ2，…，χn）= 0
j =1，2，…，p
第十三页，共57页。
（3）遗传算法直接以目标函数作为搜索信息。传 统的优化算法不仅需要利用目标函数值，而且需 要目标函数的导数值等辅助信息才能确定搜索方 向。而遗传算法仅使用由目标函数值变换来的适 应度函数值，就可以确定进一步的搜索方向和搜 索范围，无需目标函数的导数值等其他一些辅助 信息
第三十一页，共57页。
遗传算法可应用于目标函数无法求导数或导数不存 在的函数的优化问题，以及组合优化问题等
第十七页，共57页。
4）模型前处理
简化模型：划分子结构、子阶段；
简化处理：变量变换，如倒数、平方等
定标处理：消除变量、约束、目标函数在大小、量 纲上的差别 5）选择正确的计算方法，确定计算误差
如果数学模型的数学表达式比较复杂，无法求出精确 解，则需采用近似的数值计算方法，并估计计算误差。
第十八页，共57页。
第二十四页，共57页。
遗传算法的基本操作（算子）有： （1）选择（Selection Operator）
选择是从一个旧种群中选择生命力强的个体位串 产生新种群的过程。具有高适应度的位串更有可能 在下一代中产生一个或多个子孙。
选择操作可以通过随机方法来实现。首先产生 0~1之间均匀分布的随机数，若某串的选择概率为
第十四页，共57页。
前例中的优化设计问题可建立如下的数学模型： min F（χ）=F（l, w, h）=2（lh+wh+lw）
g1（χ）= g1（l，w，h）= w – 1.5 ≥ 0 g2（χ）= g2（l，w，h）= l > 0 g3（χ）= g3（l，w，h）= h > 0 g4（χ）= g4（l，w，h）= l ·w ·h = 3
40%，则当产生的随机数在0.40~1.0之间时，该串
被选择，否则被淘汰。
第二十五页，共57页。
（2）交叉（Crossover Operator） 选择操作能从旧种群中选择出优秀者，但不
能创造新的染色体。而交叉模拟了生物进化过程 中的繁殖现象，通过两个染色体的交换组合，来 产生新的优良品种。
交叉的过程为：在匹配池中任选两个染色体，随机 选择一点或多点交换点位置；交换双亲染色体交换点 右边的部分，即可得到两个新的染色体数字串。
（2）遗传算法同时使用多个搜索点的搜索信息。传统
的优化方法往往是从解空间的单个初始点开始最优解 的迭代搜索过程，单个搜索点所提供的信息不多，搜 索效率不高，有时甚至使搜索过程局限于局部最优解 而停滞不前
第三十页，共57页。
遗传算法从由很多个体组成的一个初始群体开始 最优解的搜索过程，而不是从一个单一的个体开始 搜索，这是遗传算法所特有的一种隐含并行性，因 此遗传算法的搜索效率较高
（4）遗传算法使用概率搜索技术。遗传算法的选 择、交叉、变异等运算都是以一种概率的方式来 进行的，因而遗传算法的搜索过程具有很好的灵 活性。随着进化过程的进行，遗传算法新的群体 会更多地产生出许多新的优良的个体
设计常量：可以根据客观规律或具体条件预先确定 的参数，如材料的力学性能，机器的工况系数等。
设计变量：在设计过程中不断变化，需要在设计过 程中进行选择的基本参数，称为设计变量，如几何尺 寸、速度、加速度、温度等。
第二页，共57页。
优化设计实例
设计一密闭矩形容器，其容积为3m3，容器的宽度 不小于1.5m，以便于装卸车搬运，为使成本最低， 要求用料最省。
gi（χ）= gi（χ1，χ2，…，χn）≤0 或者 gi（χ）= gi（χ1，χ2，…，χn）≥0
（i =1，2，…，m） hj（χ）= hj（χ1，χ2，…，χn）= 0
（ j =1，2，…，p） 式中m，p分别表示施加于该项设计的不等式约束数目和 等式约束数目。
一个等式约束可能通过代入法消去一个设计变量。
第二十页，共57页。
传统搜索方法
第二十一页，共57页。
遗传算法简介
遗传算法简称GA（Genetic Algorithm），最 早 由 美 国 Michigan 大 学 的 J. Holland 教 授 提 出 （于上世纪60-70年代，以1975年出版的一本著作 为代表）,模拟自然界遗传机制和生物进化论而成 的一种并行随机搜索最优化方法。
第二十六页，共57页。
交叉体现了自然界中信息交换的思想。交叉有 单点交叉、多点交叉、还有一致交叉、顺序交叉 和周期交叉。单点交叉是最基本的方法，应用较 广。它是指染色体切断点有一处，例：
A :1011 1 1 0 00 10 11 00 01
B :001 00 1 1 0 00 1 01 10 11 10 0
第十一页，共57页。
（2）边界约束 又称区域约束（书中的常量约束），表
示设计变量的物理限制和取值范围。如前例中 的边界约束条件为： g1（χ）= g1（l，w，h）= w – 1.5 ≥ 0 g2（χ）= g2（l，w，h）= l > 0 g3（χ）= g3（l，w，h）= h > 0
约束条件是以设计变量为自变量一个函数，各 个约束条件之间不能彼此矛盾。