河北省邯郸市2023届高三上学期摸底数学试题附答案

绝密★启用前
邯郸市2023届高三年级摸底考试试卷
数学
本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合{
}
{}
2
220,log 0A x
x x B x x =-<=∣∣，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A.{0}x
x >∣ B.{01}x x <∣ C.{12}x
x <∣ D.{01x x <<∣或2}x 2.设复数i
1i
z =
+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知函数()y f x =的图象在点()()
3,3P f 处的切线方程是27y x =-+，则()()33f f -'=（ ） A.2- B.2 C.3- D.3
4.某高中2022年的高考考生人数是2021年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2021年和2022年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图：
下列结论正确的是（ ）
A.该校2022年与2021年的本科达线人数比为6：5
B.该校2022年与2021年的专科达线人数比为6：7
C.2022年该校本科达线人数增加了80%
D.2022年该校不上线的人数有所减少
5.已知向量()()4,3,,1a b m =--=，且夹角的余弦值为35
-，则m =（ ）
A.0
B.1-
C.0或247-
D.247
- 6.“01x <<”是“1
11
x x +
>+”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件
7.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，可以看出我国古代已具有很高的数学水平.设,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，S 表示ABC 的
面积，其公式为S =若sin sin sin 2sin a b c c
b A B C A ++==++，则ABC 面积
S 的最大值为（ ）
B.1
C.
23 D.3
8.从正方体的8个顶点和中心中任选4个，则这4个点恰好构成三棱锥的概率为（ ） A.
4163 B.38
63
C.23
D.57
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分.
9.已知函数()f x 的局部图象如图所示，下列函数()f x 的解析式与图象符合的可能是（ ）
A.()2
45
f x x =
B.()4f x x =
C.()sin f x x x =
D.()21
x
f x x =
+ 10.已知双曲线22
2:1(0)3
x y C a a -=>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为2,P 为C 上一点，则（ ）
A.双曲线C 的实轴长为2
B.双曲线C 的一条渐近线方程为y =
C.122PF PF -=
D.双曲线C 的焦距为4
11.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则下列结论一定成立的是（ ） A.若15a a =，则12n a a a === B.若53a a >，则12n S S S <<
<
C.若32a =，则22
158a a +
D.若488,4a a ==，则1266S =
12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，动点E 在线段11A C 上，则（ ）
A.直线11A C 与BC 所成的角为30
B.对任意的点E ，都有BD ⊥平面ACE
C.存在点E ，使得平面ABE ∥平面11CC D D
D.存在点E ，使得平面ABE ⊥平面CDE
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若抛物线24y x =的准线与圆22:()1C x a y -+=相切，则a =__________.
14.已知()5
2
3
4
5
6
01234561(1)x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则03a a +的值为__________.
15.如图，在正四棱台ABCD EFGH -中，AB EF ==E ABCD -的体积为48，则该四棱台的体积为__________. 16.设函数()sin sin (0)3f x x x πωωω⎛⎫
=++> ⎪⎝
⎭
，已知()f x 在[]0,π上有且仅有3个极值点，则ω的取值范围是__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）在①222sin b c a B +-=；①222sin sin sin sin B C A B C +-=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.
在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，__________. （1）求角A ；
（2）若8,10a b c =+=，求ABC 的面积.
18.（本题满分12分）设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且3614,126S S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记()1n n b n a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .
19.（本题满分12分）暑假期间，某学校建议学生保持晨读的习惯，开学后，该校对高二､高三随机抽取200名学生（该学校学生总数较多），调查日均晨读时间，数据如表：
将学生日均晨读时间在[]
30,60上的学生评价为“晨读合格”.
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表，依据0.05α=的独立性检验，能否认为“晨读合格”与年级有关联？
（2）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全校的情况，现在从该校所有学生中，随机抽取2名学生，记所抽取的2人中晨读合格的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望.
参考公式：()()()()
22
()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.
参考数据：
20.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，
22,,AB AD DC AB DC AB AD ==⊥∥，平面PCB ⊥平面ABCD .
（1）证明：PB AC ⊥；
（2）若PCB 为正三角形，求二面角B PA C --的正弦值.
21.（本题满分12分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，上､顶点分别为
12,,M N NF F 21MF NF 的四条边的平方和为16.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若1a b >>，斜率为k 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，且线段AB 的中点H 在直线1
2
x =
上，求证：线段AB 的垂直平分线与圆22
1
4
x y +=
恒有两个交点. 22.（本题满分12分）已知函数()()ln 0f x x a x a =-≠. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若()()ln x
g x xe a x x =-+，且a e >，证明：()g x 有且仅有两个零点.（e 为自然对数的底数）
高三年级摸底考试试卷
数学全解全析
1.【命题说明】本题依托集合的概念和不等式的基本性质，考查图示法表示集合的关系､交集的定义､解不等式，考查运算能力和数形结合思想.
【学科素养】本题重在运算与推理，重点考查数学运算和直观想象的核心素养.
C 由题可得{}
{02},1A x
x B x x =<<=∣∣，由题图可得阴影部分为{12}A B x x ⋂=<∣. 2.【命题说明】本题依托复数的概念，考查复数的运算和共扼复数的概念，考查运算能力. 【学科素养】本题重在运算，重点考查数学运算的核心素养. D 因为i 11i 1i 22
z =
=++， 所以11i,22z z =
-在复平面内对应的点11,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
位于第四象限. 3.【命题说明】本题依托导数的概念，考查求导法则和导数的几何意义，考查运算能力和数形结合思想. 【学科素养】本题重点考查数学运算和直观想象的核心素养.
D 函数()f x 的图象在点()()
3,3P f 处的切线的斜率就是在该点处的导数，即()3f '就是切线27y x =-+的斜率，所以()32f '=-，又()32371f =-⨯+=，所以()()()33123f f -=--='.
4.【命题说明】本题依托扇形统计图数据，考查了对扇形统计图的理解与应用，考查灵活应用所学知识解答
实际问题的能力，考查运算能力和数形结合思想. 【学科素养】本题重点考查数据分析的核心素养.
C 不妨设2021年的高考人数为100，则2022年的高考人数为150.2021年本科达线人数为50，2022年本科达线人数为90，得2022年与2021年的本科达线人数比为9:5，本科达线人数增加了80%，故选项A 不正确，选项C 正确；2021年专科达线人数为35，2022年专科达线人数为45，所以2022年与2021年的专科达线人数比为9:7，选项B 错误；2021年不上线人数为15，2022年不上线人数也是15，不上线的人数无变化，选项
D 错误.
5.【命题说明】本题依托平面向量的概念，考查平面向量数量积的理解与应用，考查运算能力. 【学科素养】本题重点考查数学运算的核心素养. A 由已知222(4)(3)5,1,43a b m a b m =
-+-==+⋅=--，所以
43
cos ,055a b m a b a b
m ⋅-=
=
=-<⨯，解得0m =或247
-（舍去）.
35=-之后，不用解方程，可用试值法，将240,1,7m =--代入，易得0m =符合题意.
6.【命题说明】本题依托不等式，考查充分条件和必要条件的判断，考查灵活应用充分条件和必要条件的定义解答问题的能力，考查运算能力.
【学科素养】本题重点考查数学运算和逻辑推理的核心素养.
A 因为2
1111001111
x x x x x x x +>⇒-+>⇒>⇒>-+++且0x ≠，充分性成立，所以“01x <<”是
“1
11
x x +
>+”的充分不必要条件. 7.【命题说明】本题依托古代三角形问题，考查正弦定理在解三角形中的应用，考查二次函数求最值问题，考查转化思想.
【学科素养】本题重点考查数学运算和逻辑推理的核心素养.
C 由正弦定理得
sin sin sin sin 2sin a a b c c A A B C A
++==++，得2c a =，因为b ABC =的面积
S ==2109a =，即a =ABC 的面积
S 有最大值为
2
3
. 8.【命题说明】本题依托正方体的点､线､面位置关系，考查古典概型的概率求解，考查运算能力和空间想象能力.
【学科素养】本题重点考查数学运算和直观想象的核心素养.
D 从正方体的8个顶点和中心中任取4个，有4
9126n C ==个结果，4个点恰好构成三棱锥分两种情况： ①从正方体的8个顶点中取4个点，共有4
870C =个结果，在同一个平面的有6612m =+=个，构成三棱锥有701258-=个；①从正方体的8个顶点中取3个与中心构成三棱锥有3
46832C +=个，故从正方体的8个
顶点和中心中任选4个，则这4个点恰好构成三棱锥的个数为583290+=，故所求概率9051267
P =
=. 9.【命题说明】本题依托函数图象，考查函数性质，函数单调性､奇偶性､极值等问题，考查数形结合思想. 【学科素养】本题重点考查逻辑推理和数学抽象的核心素养. AC 对于A ，()()2244()55f x x x f x -=
-==为偶函数，图象为开口向上的抛物线，()4
115
f =<，与题干图象相符；对于()4
B,f x x =为偶函数，但()11f =，与题干图象不相符；对于
()()()()C,sin sin f x x x x x f x -=--==为偶函数，由()sin cos f x x x x +'=，当02
x π
<<时，
()()0,f x f x '>单调递增，且()1sin11f =<，与题干图象相符；对于()()2
D,()1
x
f x f x x --=
=--+为奇函数，与题干图象不相符.
10.【命题说明】本题依托双曲线方程，考查双曲线性质､定义，考查数形结合思想. 【学科素养】本题重点考查数学运算和逻辑推理的核心素养.
ABD 由双曲线方程知：离心率为2c e a
===，解得1a =，故22
:13y C x -=，实半轴长为1，实
轴长为22a =，A 正确；因为可求得双曲线渐近线方程为y =，故一条渐近线方程为y =，B 正
确；由于P 可能在C 的不同分支上，则有12||||||2PF PF -=，C 错误；焦距为24,D c ==正确. 11.【命题说明】本题依托等差数列概念，考查等差数列的通项公式､前n 项和的性质，考查基本不等式综合应用，考查转化思想.
【学科素养】本题重点考查数学运算和数学抽象的核心素养.
ACD 设等差数列的公差为d ，因为15a a =，所以114a a d =+，所以0d =，则12n a a a ===，故A 正
确；因为53a a >，所以1142a d a d +>+，所以{}0,n d a >为递增数列，但12n S S S <<
<不一定成立，
如1231232,1,0,2,3,3a a a S S S =-=-==-=-=-，故B 不正确；因为2
22
2
1515
32282a a a a a +⎛⎫+== ⎪⎝⎭
，
当且仅当152a a ==时取等号，故C 正确；因为418
138,74,a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩解得11,
11,d a =-⎧⎨=⎩，则
1248880a a d =+=-=，得112
1212662
a a S +=
⨯=，故D 正确. 【知识总结】结论：（1）等差､等比数列的性质：若(
)*
2,,,,m n p q t m n p q t +=+=∈N ，
①若{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； ①若{}n a 为等比数列，则有2
m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.
（2）设等差数列{}n a 的公差为d ，当0d =时，为常数列；当0d >时，递增；当0d <时，递减. 12.【命题说明】本题依托正方体，考查线面､面面位置关系的证明与判定，异面直线所成角的定义等问题，考查数形结合与转化思想.
【学科素养】本题重点考查数学运算､直观想象和逻辑推理的核心素养. BC 因为11AC AC ∥，所以直线11A C 与BC 所成的角为45，故A 错误； 因为BD ⊥平面11ACC A ，故BD ⊥平面ACE ，故B 正确； 当点E 在1A 处时，平面ABE ∥平面11CC D D ，
所以存在点E ，使得平面ABE ∥平面11CC D D ，故C 正确.
如图，过点E 作11MN A B ∥，则MN 为平面ABE 与平面CDE 的交线，
在正方体中，11A B ⊥平面11BCC B ，所以MN ⊥平面11BCC B ，所以BN MN ⊥，
CN MN ⊥，所以BNC ∠即为平面ABE 与平面CDE 所成的夹角，
因为点N 一定在以BC 为直径的圆外，
所以90BNC ∠<，所以不存在点E ，使得平面ABE ⊥平面CDE ，故D 错误.（设正方体的棱长为
11,B N x =，则11tan ,tan 1B BN x C CN x ∠∠==-，
所以
()()()
112
2111
tan tan 1111324x x BNC B BN C CN x x x x x ∠∠∠+-=+=
=
=---+⎛⎫-+
⎪⎝
⎭，
当12x =
时，tan BNC ∠取得最大值，为4
3
，此时BNC ∠为锐角，故D 错误.）
13.【命题说明】本题依托抛物线和圆的方程，突出考查了抛物线性质和圆的切线，试题设计灵活，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.
【学科素养】本题重在运算，重点考查数学运算和直观想象的核心素养.
【解析】抛物线2
4y x =的准线为1x =-，圆2
2
:()1C x a y -+=的圆心为(),0a ，半径1r =，与准线
1x =-相切，得2a =-或0.
答案：2-或0
14.【命题说明】本题依托二项式定理，突出考查利用二项式展开式的通项求系数，考查学生对这些知识的理解掌握水平，试题设计灵活，强调综合运用所学知识来解决问题的能力. 【学科素养】本题重在运算，重点考查数学运算的核心素养.
【解析】令001x a =⇒=-，由题得5
(1)x -的展开式的通项为515C (1)r r r r T x -+=-，
令52r -=，得3r =，令53r -=，得2r =，
所以3322
355C (1)C (1)0a =-+-=，
所以031a a +=-. 答案：1-
15.【命题说明】本题依托四棱台和四棱锥，突出考查四棱台体积的求解，考查学生对四棱台知识的理解掌握水平，试题设计灵活，强调综合运用所学知识来解决问题的能力. 【学科素养】本题重在运算，重点考查数学运算和直观想象的核心素养.
【解析】方法一：由题意，设点E 到平面ABCD 的距离为h ，由四边形ABCD 面积为248S ==，得四棱锥E ABCD -的体积为11
484833
hS h =
=⨯，得3h =.
所以棱台体积为()()
11
34824339933
V h S S =
=⨯⨯+=下上.
方法二：由题意，设点E 到平面ABCD 的距离为h ，由四边形ABCD 面积为248S ==，得四棱锥
E ABCD -的体积为11484833
hS h ==⨯，得3h =.由棱台定义知，延长,,,EA FB GC HD 交于一点（图略），设为P ，设棱锥P ABCD -的高为x ，
则棱锥P EFGH -的高为3x +，由三角形相似可得439x AB x EF ==+，得125x =，于是棱台体积1(3V x =+3）11271122434839933535
S xS -=⨯⨯-⨯⨯=下上. 答案：399
16.【命题说明】本题依托三角函数解析式，突出考查利用正弦型函数在区间上的极值点个数判断正弦型函数的基本性质，考查三角变换公式，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.
【学科素养】本题重在运算，重点考查了数学抽象和逻辑推理的核心素养.
【解析】
()31
sin sin sin cos 3226f x x x x x x x x ππωωωωωωω⎫⎛⎫⎛⎫=++==+=+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭
， 当[]0,x π∈时，,666x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦
， 令6t x π
ω=+，则,6
6t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，
作出函数,066y t t ππωπω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象如图所示： 由于函数()f x 在[]
0,π上有且仅有3个极值点， 则57262ππωππ+<，解得71033
ω<. 答案：710,
33⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【名师指点】解本题的关键在于换元6t x π
ω=+，将问题转化为函数y t =在区间,6
6ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的
极值点个数问题，数形结合来求解.
17.【命题说明】本题考查利用正､余弦定理解三角形的方法，考查三角变换公式及对三角形面积公式的理解与应用能力，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.
【学科素养】本题重在运算，重点考查数学运算和逻辑推理的核心素养.
【分析】（1）选择①：利用正弦定理边角互化，结合余弦定理可求得tan A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；
选择②：由正弦定理､余弦定理可求得cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；
（2）利用余弦定理可求得bc 的值，结合三角形面积公式可得出ABC 的面积.
【解析】（1）选择①：因为222sin b c a B +-=，
由余弦定理可得2cos sin bc A B =，
所以结合正弦定理可得sin cos sin B A A B =.
因为()0,B π∈，则sin 0B >，
所以cos A A =，即tan A =
因为()0,A π∈，所以6A π
=；
选择①：因为222sin sin sin sin B C A B C +-=，
由正弦定理得222b c a +-=，
由余弦定理得2
22
cos 2b c a A bc +-==
因为()0,A π∈，所以6A π
=；
（2）由（1）知6A π
=，又已知8,10a b c =+=，
由余弦定理得，(22222cos ()2a b c bc A b c bc =+-=+-，
即(641002bc =-，所以
bc =
所以ABC 的面积为(1
1sin sin 92226bc A bc π
==.
18.【命题说明】本题依托等比数列概念，突出考查数列的求和方法，考查学生对错位相减法的理解与应用能力，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.
【学科素养】本题重在运算，重点考查数学运算和逻辑推理的核心素养.
【分析】（1）根据3614,126S S ==，得到1,a q 的值，得到{}n a 的通项公式.
（2）首先根据（1）得到()1n n b n a =-，再利用错位相减法求n T 即可.
【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，显然1q ≠，由3614,126S S ==，
得()()3
6
11361114,12611a q a q S S q q --====--，
相除得319q +=，得2q =，所以12a =，
所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，即2n n a =；
（2）由（1）可得()()112n
n n b n a n =-=-， 所以()()23112222212n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯……①，
()()2211122222122
n n n T n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯……①， ①-①，得()2211
2222122n n n n T n ---=++
++--⨯， 得()()1212112212
n n n T n ---=--⨯-， 所以()1422n n T n +=+-⨯.
【方法指导】本题主要考查数列的求和，常见的数列求和方法如下：
1.公式法：直接利用等差､等比数列的求和公式计算即可；
2.分组求和法：把需要求和的数列分成熟悉的数列，再求和即可；
3.裂项相消法：通过把数列的通项公式拆成两项之差，再求和即可；
4.错位相减法：当数列的通项公式由一个等差数列和一个等比数列的乘积构成时，可使用此方法求和. 19.【命题说明】本题依托数据统计､频率分布，突出考查列联表的填写､2χ的计算､二项分布的概率计算公式及其随机变量的分布列和数学期望，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.
【学科素养】本题重在运算，重点考查数学运算､数据分析的核心素养.
【解析】（1）
2
20.05200(25851575) 3.125 3.84110010040160
x χ⨯⨯-⨯==<=⨯⨯⨯， 所以依据0.05α=的独立性检验，不能认为“晨读合格”与年级有关联.
（2）题表中学生晨读合格的概率为16042005
=， 所以42,5B ξ⎛
⎫~ ⎪⎝⎭， 所以()0
20
24110C 5525P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭， ()11124181C 5525P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()20
2241162C 5525P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ξ的分布列为
所以()48255E ξ=⨯
= 或()181680122525255
E ξ=⨯+⨯+⨯=. 20.【命题说明】本题依托四棱锥，考查棱锥中的线面位置关系及求二面角，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.
【学科素养】本题重在运算､联想与推理，重点考查数学运算､直观想象和逻辑推理的核心素养.
【分析】（1）设222AB AD DC ===，可得AC BC ⊥，利用平面PCB ⊥平面ABCD ，可得AC ⊥平面PCB ，则AC PB ⊥；
（2）取BC 的中点O 为坐标原点，以OP 的方向为z 轴正方向，过点O 分别作AB 和AD 的平行线，分别为x 轴和y 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，分别求得平面ABP 的法向量和平面ACP 的法向量，进而利用数
量积求解即可.也可以直接寻找两平面所成角的平面角，在三角形中运用余弦定理求解.
【解析】（1）由题意，设222AB AD DC ===，又,AB DC AB AD ⊥∥
，得AC BC ==2AB =，所以AC BC ⊥，
又平面PCB ⋂平面ABCD CB =，且平面PCB ⊥平面,ABCD AC ⊂平面ABCD ，
所以AC ⊥平面PCB ，故AC PB ⊥.
（2）方法一（向量法）：取BC 的中点O 为坐标原点，以OP 的方向为z 轴正方向，过点O 分别作AB 和AD 的平行线，分别为x 轴和y 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，
由PCB
为正三角形，BC =
2
PO =，
则311111,,0,,,0,,,0,222222A B C P ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭， 则()()3162,0,0,,,,1,1,0222AB AP AC ⎛⎫=-=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，
设()111,,n x y z =为平面ABP 的法向量，则有0
0n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 即11112031022x x y z -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，可取()
0,6,1,n =， 设()222,,m x y z =为平面ACP 的法向量，
则有00
m AC m AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，
即22222
03102
2x y x y z --=⎧⎪⎨-
-=⎪⎩，可取1,,m ⎛=- ⎝⎭，
所以6cos ,7n m
n m n m -⋅===， 设二面角B PA C --
的平面角为α，
则2sin ,)17n m α=
==， 故二面角B PA C --
. 方法二（几何法）：如图，取PA 的中点M ，连接CM ，在平面PAB 中作MN PA
⊥，连接CN ，
由（1）知AC BC ==
PCB 为正三角形， 所以PC BC PB ===PC AC =，
所以CM PA ⊥，又MN PA ⊥，
所以CMN ∠为二面角B PA C --的平面角.
因为AC ⊥平面PCB ，所以AC PC ⊥，
所以2,1PA CM AM ====， 在ABP 中，2PB AB PA ===，
所以22244
23cos 284
PA
AB PB BAP PA AB
∠+-+-===⋅， 所以4sin tan tan cos 3
AM BAP BAP MN AM BAP AN BAP ∠
∠∠∠==
=⋅===， 在ACN 中，45CAN ∠=，
所以CN ==
在MNC
中，22
22221cos 2MN CM CN CMN MN CM ∠+-+-===⋅，
所以sin CMN ∠==， 即二面角B PA C --
. 21.【命题说明】本题依托椭圆方程，考查椭圆方程的求法､直线与圆锥曲线相交､根与系数的关系（或点差法）的应用以及直线与圆恒有两个交点问题，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.
【学科素养】本题重在运算､联想与推理，重点考查数学运算､直观想象和逻辑推理的核心素养.
【分析】（1）根据题意12NF F
21MF NF 的四条边的平方和为16，即()22416b c +=，求出,a b 即可得结果；
（2）联立直线与椭圆的方程，结合根与系数的关系（或点差法），根据中点坐标公式化简，列出线段AB 的垂直平分线方程，判断定点在圆内即可得结果.
【解析】（1）由12NF F
，得122
c b ⨯⨯=， 又四边形21MF NF 的四条边的平方和为16，
所以2224,3,1a b c ===或222
4,1,3a b c ===， 即椭圆C 的方程为22143x y +=或2
2 1.4x y +=
（2）方法一：设()()1122,,,A x y B x y ，由于1a b >>，得椭圆C 的方程为22
143
x y +=， 设直线l 的方程为y kx m =+，结合图形（图略）知，当斜率0k =时，线段AB 的中点H 在y 轴上，不在直线12
x =上，故0k ≠， 由22
1,43x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
， 得()2223484120k x kmx m +++-=，
由()()()
222222Δ6443441248430k m k m m k =-+-=--->，得2234m k <+. 由122
834km x x k +=-+， 设线段AB 的中点H 为()00,x y ，得0241342km x k =-
=+， 即2348k km +=-， 所以0038y kx m k
=+=-. 所以线段AB 的垂直平分线的方程为31182y x k k ⎛⎫+
=-- ⎪⎝⎭. 即118y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
， 故线段AB 的垂直平分线恒过点1
,08⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为2211108644⎛⎫+=< ⎪⎝⎭
， 故点1
,08⎛⎫ ⎪⎝⎭在圆2214
x y +=内， 所以线段AB 的垂直平分线与圆2214
x y +=恒有两个交点. 方法二：由于1a b >>，得椭圆C 的方程为22
143
x y +=， 设直线l 的方程为y kx m =+，结合图形（图略）知，当斜率0k =时，线段AB 的中点H 在y 轴上，不在直线12
x =上，故0k ≠， 设()()112201,,,,,,,2A x y B x y H y A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭点代入椭圆方程得221122221,431,4
3x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②
①-②得，()()()()1212121211043
x x x x y y y y +-++-=， 将1212120121,2,y y x x y y y k x x -+=+==-，代入上式化简，得038y k
=-， 所以线段AB 的垂直平分线的方程为31182y x k k ⎛⎫+
=-- ⎪⎝⎭. 即118y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
， 故线段AB 的垂直平分线恒过点1
,08⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为2211108644⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，故点1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭在圆2214x y +=内， 所以线段AB 的垂直平分线与圆2214
x y +=恒有两个交点. 22.【命题说明】本题依托指数函数和对数函数，考查利用导数求函数单调区间，考查利用导数研究函数的零点存在性问题，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.
【学科素养】本题重在运算与推理，重点考查数学运算和逻辑推理的核心素养.
【解析】（1）由题意可得函数()f x 的定义域为()()0,,1a x a f x x x ∞'-+=-
=， 当0a >时，令()0f x '>，得x a >，
所以()f x 在(),a ∞+上单调递增；令()0f x '<，得0x a <<，
所以()f x 在()0,a 上单调递减；
当0a <时，因为()0f x '>恒成立，
所以()f x 在()0,∞+上单调递增；
（2）()()()e ln e ln e (0)x x x
g x x a x x x a x x =-+=->， 令e x t x =，则()1e 0x
t x '=+>在0x >时恒成立， 所以e x t x =在0x >时单调递增，且()0,t ∞∈+，
所以()()e ln e x x
g x x a x =-有两个零点等价于()ln f t t a t =-有两个零点.
因为e a >，由（1）知，()f t 在(),a ∞+上单调递增，在()0,a 上单调递减， 所以()()min ()ln 1ln f t f a a a a a a ==-=-，
因为e a >，所以()0f a <.
下面证明当e a >时，()2e
e 0a a
f a =->， 设()2e x h x x =-，则()e 2x
h x x ='-， 令()e 2x m x x =-，又()e 2x
m x '=-， 当e x >时，()e 20x
m x ='->恒成立，所以()m x 单调递增， 得()e
e 2e 2e 0x h x x >-'=->， 故()2
e x h x x =-在()e,∞+上单调递增， 得2e 2e e e 0x x ->->，即()2e
e 0a a
f a =->， 又因为()110f =>，
所以()f t 在()()1,,,e a a a 上各存在一个零点，
所以e a >时，函数()f t 有且仅有两个零点，
即当e a >时，函数()g x 有且仅有两个零点.。