第01讲 等差数列基础 学而思三年级春季超常班讲义

第一讲等差数列基础
关于第一讲等差数列，是中年级学习的一个重点。

高年级的很多题虽不是直接考察等差数列，但往往中间的某一步需要用到等差数列的知识。

等差数列这讲公式繁多，但希望孩子们千万不要死记硬背这些公式，一定要理解着记忆。

死记硬背公式不易记牢，往往容易出错，考试中一旦出现，背错公式，分数就得不到了；在在我总结的知识点解析里每个公式，我都讲了理解的方法。

可以在做题时反复理解几次，就不容易出错了。

关于计算这里，再啰嗦几句。

很多孩子的计算基本功不过关，所以往往上课时算式列出来了，但不会算，算得慢或算不准，这样就太可惜了。

所以希望孩子们能够每天坚持练几道大数乘除法。

乘法可以按照三位数×一位数，两位数×两位数，三位数×两位数，四位数×两位数，三位数×三位数，四位数×三位数。

除法可以从三位数÷一位数，四位数÷一位数，三位数÷两位数，四位数÷一位数，五位数÷一位数，五位数÷三位数等等这样的顺序练起。

一、通项公式
知识点解析：
⒈第n项=首项+（n-1）×公差
理解方法：可以对比植树问题来理解等差数列，第二项比第一项多一个公差，第三项比第一项多两个公差，……第n项比第一项多（n-1）个公差。

辅助练习：等差数列5、8、11……求这个数列的第2011项是多少？
答：5+（2011-1）×3=6035
这个公式含有四个量首项，第n项，项数n，公差，这四个其实是知三求一的。

⒉首项=第n项-（n-1）×公差
理解方法：同1，第n项比第一项多（n-1）个公差，用第n项剪去多出的即可。

辅助练习：等差数列……91,95,99共17项，求第一项是多少？
分析：已知第17项是99，项数n为17，公差95-91=4
答：99-（17-1）×4=35
（此公式本讲没有涉及）
⒊项数n=（第n项－首项）÷公差+1
理解方法：对比植树问题，第n个数与第一个数之间共差了第n项－首项，那么间隔数应为（第n项－首项）÷公差，项数n应该比间隔数多1，所以，项数n=（第n项－首项）÷公差+1
此公式为求和公式的基础，往往一道题第一步需要孩子判断一下共有多少项，第二步利用求和公式求和。

辅助练习：等差数列105,111,117……,567共多少项？
分析：首项105，末项567，公差111-105=6
答：（567-105）÷6+1=78
⒋公差=（第n项－首项）÷（项数n－1）
理解方法：第n个数与第一个数之间应该有n-1个间隔，共差了第n项－首项，那么每个间隔应为（第n项－首项）÷（项数n－1）
辅助练习：等差数列首项为6，末项为94，共23项，求公差
答：（94-6）÷（23-1）＝4
（此公式本讲例6涉及到）
一定要注意的是，这些公式千万不要死记硬背，一定要通过理解，多练习来记忆。

其中第一个和第三个是重点。

⒌首项和公差相等的数列（求n项或项数时不用套公式，可直接求）：
如3，6，9，12……（首项为3，公差也为3，首项和公差相等）
⑴第1000项是几？答：1000×3=3000
⑵6000是这个数列的第几项？答：6000÷3=2000
⒍等差数列任意两项的差：
第m项－第n项=（m－n）×公差
如2，5,8,11,14,17……第5项14比第1项2多5－1个公差3
所以第5项-第1项=（5－1）×3=12
附加练习：
对于4,7,10,13,16……
⑴第49项是多少？
⑵49是这个数列的第几项？
⑶第100项和第50项的差值是多少？
分析与答：观察，我们已知首项为4，公差为3
一定注意问和第二问的区别，第一问是求第n项，第二问是求项n.
⑴第49项=4+3×（49－1）=148
⑵项数=（49－3）÷3+1=16
⑶方法一：分别求出第50项和第100项，然后再相减。

（较繁琐，不推荐）
第50项=4+3×（50－1）=151
第100项=4+3×（100－1）=301
差为301-151=150
方法二：利用公式第m项－第n项=（m－n）×公差
本题我们并不关心第50项和第100项，我们只关心差值，第100项应比第50项多50个公差，所以第100项-第50项=（100－50）×3=150
例1已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、…，问：这个数列的第2000个数是多少？第2003个数是多少？
分析与答：（求第n项）
奇数项的排列规律为：2,4,6,8……
偶数项的排列规律为：3,6,9,12……
可以看出奇数项与偶数项均为等差数列，先求出要求的两个数在各自等差数列中的项数：第2000个数在偶数项等差数列中是第2000÷2=1000个数，它是1000×3=3000；
第2003个数在奇数项等差数列中式第（2003+1）÷2=1002个数，它是1002×2=2004
注：⑴建议做此题可以先举个数比较小的例子如第10个数，第11个数等；
⑵2,4,6,8……和3,6,9,12……是首项和公差相等的数列求n项或项数时不用套公式，可直接求；
⑶关于第2003个数在奇数项等差数列中式第（2003+1）÷2=1002个数，可以这样来理解本数列2个数一组2000个数恰好分组，而2003个数没有恰好分组，加一个后恰好分成（2003+1）÷2=1002组，每组提供一个数所以它就是第1002个数。

超常班1,2,3班学案1 已知数列2,1,4,3,6,5,8,7,……，问2009是这个数列中的第几项？
分析与答：（求项数）
偶数项的排列规律为：1,3,5,7……
奇数项的排列规律为：2,4,6,8……
方法一：可以看出奇数项与偶数项均为等差数列2009是奇数，则它在偶数列数列中，在偶数列数列中它是第（2009+1）÷2=1005个数，应为原数列的1005×2=2010项方法二：本题规律较简单，可以直接找规律来做，奇数项是该数+1偶数项是该数-1，所以第2009项为2009+1=2010
推荐用方法二，方法一可以用来和例题对比理解。

二、求和公式
知识点解析：
前n项和=（首项+第n项）×项数n÷2
证明：方法一：高斯求和法
和=（1+100）×100÷2
方法二：倒序相加法（皮鞋定理）
和=（1+100）×100÷2
例2计算
⑴1+3+4+6+7+9+10+12+13+……+66+67+69+70
⑵1000+999－998+997+996－995+……+106+105－104+103+102－101
分析与答：
⑴1+3+4+6+7+9+10+12+13+……+66+67+69+70
方法一：跳着看，则为双龙数列，关键是末项容易判断错，可以这样想，第二组都是三的倍数，这样69一定是第二组的最后一个数，那么第一组的最后一个数为70，注意第一组比第二组多一个数。

1+3+4+6+7+9+10+12+13+……+66+67+69+70
①1+4+7+10+13+……+67+70
第一步：求项数：（70-1）÷3+1=24项
第二步：求和（1+70）×24÷2=852
②3+6+9+12+……+66+69
第一步：求项数：（69-3）÷3+1=23项或69÷3=23更简单（首项和公差相等的数列）
第二步：求和（3+69）×23÷2=828
③总和为852+828=1680
注意等差数列求和的常规题一般第一步需要自己判断项数，第二步利用公式求和。

方法二：把数列补全：则为1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+……+66+67+68+69+70
原数列=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+......+66+67+68+69+70)-(2+5+8+11+ (68)
①1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+……+66+67+68+69+70
=（1+70）×70÷2=2485
②2+5+8+11+ (68)
第一步：求项数：（68-2）÷3+1=23项
第二步：求和（2+68）×23÷2=805
③原数列=2485-805=1680
⑵1000+999－998+997+996－995+……+106+105－104+103+102－101
分析与答：本题的方法也有很多，可以用类似上题的方法，但较繁琐，观察数列的特点：数字上1000到101是连续的。

符号上两加一减，所以更为简单的方法是每三个数分成一组（1000+999－998）+（997+996－995）+……+（106+105－104）+（103+102－101）
=1001+998+……+107+104
观察到这是个首项为1001，末项为104，公差为3的等差数列
第一步：求项数：（1001-104）÷3+1=300项
第二步：求和（104+1001）×300÷2=165750
三、中项定理
知识点解析：
中间项=（首项+末项）÷2
和=中间项×项数n
对于任意一个项数为奇数的等差数列来说，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项和末项和的一半；各项和等于中间相乘以项数。

如1,4,7,10,13
超常班学案3把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数差都是5，那么，第一个数和第6个数分别是多少？
分析与答：本题属于基本题，考察中项定理
根据中项定理可得最中间数（第4个数）为210÷7=30，依次往前后各推3个数可得这7个数分别为15,20,25,30,35,40,45。

因此第1个数是15，第6个数是40
超常班1,2,3班学案4 一个大剧院，座位排成的形状是一个梯形，而且第一排有10个座位，第2排有12个座位，第三排有14个座位，……最后一排有210个座位，思考一下，剧院中间一排有多少个座位呢？这个剧院一共有多少个座位呢？
分析与答：考察中项定理和求和公式座位10,12,14……210为等差数列
⑴利用中项定理：最中间一排（10+210）÷2=110个座位
⑵第一步：求项数：（210-10）÷2+1=101项
第二步：求和（10+210）×101÷2=11110
或110×101=11110
例4建筑工地有一批砖，摆成如图形状，最上面两层砖，第2层6块砖，第三层10块砖…，依次每一层都比其上面一层多4块砖，已知最下层有2106块砖，问中间一层有多少块砖？这堆砖共有多少块？
分析与答：考察中项定理和求和公式
⑴中间层=（首项+末项）÷2=（2+2106）÷2=1054（块）
⑵无论用哪个求和公式都必须知道项数。

第一步：求项数：（2106-2）÷4+1=527（层）
第二步：求和（2+2106）×527÷2=555458（块）
或和=中间项×项数n=1054×547=555458（块）相对简单
等差数列和其他知识结合：
㈠等差数列和余数综合
例7求100以内除以3余2的所有数的和
分析与答：
除以3余2的所有数：2，5,，8，11……98首项为余数2，公差为除数3的等差数列（尝试
几次找出最末一项98）
第一步：求项数：（98-2）÷3+1=33项
第二步：求和2+5+8+11+14+……++95+98
=（2+98）×33÷2=1650
总结：
除以3余2的所有数：2，5,，8，11……首项为余数2，公差为除数3的等差数列；
除以5余3的所有数：3，8，13，18……首项为余数3，公差为除数5的等差数列；
除以6余1的所有数：1，7，13，19……首项为余数1，公差为除数6的等差数列；
除以m余n的所有数(m＞n)：首项为余数n，公差为除数m的等差数列
㈡等差数列和和差问题综合
例8 如图，把边长为1的小正方叠成金字塔形，其中黑白相见染色，如果最底层有15个正方形，问共有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？
分析与答：等差数列和和差问题综合，较简单
观察规律，每层：白―黑=1
最后一层：白＋黑=15
根据和差问题，最后一层：白=（1＋5）÷2=8
黑=（15－1）÷2=7
共有：白=1+2+3+4+5+6+7+8=36（个）
黑=1+2+3+4+5+6+7=28（个）
超常班1,2,3班学案3 节日期间在一个八层楼房上安装彩灯，共安装彩灯888盏，已知从第二层开始，每一层都比下一层少安装6盏，那么最上面一层安装多少盏彩灯？
分析与答：等差数列和和差问题综合
由和=（首项+末项）×项数n÷2得，首项+末项=和×2÷项数
本题已知和为888，项数为8层。

可知首项+末项=888×2÷8=222
末项-首项=（8-1）×6=42
由和差问题基本公式，首项=（222-42）÷2=90
末项=132
最上面一层应有90盏。

其他例题：
例5一个五层书架共放555本书，上层书比相邻的下层少5本。

问：最上层放几本书？分析与答：
本题已知和为555，项数为5（5层书架）公差为5（上层书比相邻的下层少5本）方法一：等差数列与和差问题结合。

较繁琐，不推荐
由和=（首项+末项）×项数n÷2得，首项+末项=和×2÷项数
本题已知和为555，项数为5层。

可知首层+末层=555×2÷5=222
末层-首层=（5-1）×5=20
由和差问题基本公式，首层=（222-20）÷2=101
末层=121
本方法可作为超常班1,2,3班学案3的铺垫。

方法二：运用中项定理可直接求出中间层：555÷5=111（本）依次可推出五层分别有101,106,111,116,121，最上层有101本
例6幼儿园304个小朋友围成若干个圆（一圈套一圈）做游戏，已知最内圈24人，最外圈52人，如果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻的两圈相差多少人？
分析与答：
前n项和=（首项+末项）×项数n÷2（我们说这个公式中的四个量也是知三求一的）
项数=和×2÷（首项+末项）
第一步：求项数：现在知道和为304，首项24，末项52，可求出
项数=和×2÷（首项+末项）=304×2÷（24+52）=8，共8圈
第二步：求公差：知道首项24，末项52，项数为8
公差=（末项－首项）÷（项数n－1）=（52－24）÷（8－1）=4
注：本题考察了两个不太常用的公式，运用了代数中方程的思想，孩子理解一下就可以了，独立思考出来的可能性不大。