第6章-1狭义相对论

四维速度 U μ =
dxμ dτ
′ dx μ = a μν dxν
(dx4 = icdt)
用固有时度量四维空间 的位移可得四维速度
变换关系
′ dxμ = aμν dxν , dτ ′ = dτ
′ U μ = aμν Uν
四维速度与三维速度间的关系
dxi 三维速度 ui = dt
用dt度量三维空间的位移 dxi
二、L—变换
1．L—变换
2．从L—变换看相对论时空观
三、速度变换公式
用各自的尺和钟测量
四、相对论时空结构及因果律
思考题
L-变换的物理意义是什么？ 什么是间隔？ 它划分为几类？ 因果律与间隔有什么关系？
§4.相对论理论的四维形式
时空本质上是四维的：3维空间+1维时间。 如果只限于狭义相对论运动学的讨论，引入间隔不变 量以及讨论四维时空并没有增加实质性内容。但联系到动力 学和电动力学就必须采用四维形式。同时，四维形式的引入 从物理概念上讲，使我们更清楚地看到动量-能量的统一、 电场和磁场的统一等等，从而加深对物理概念的理解，弄清 一些物理量的内在联系。 四维形式对初学来讲较难理解 应注意联系三维问题以示启发
第6章
狭义相对论
体系方框图
§1.相对论的实验基础
• 19世纪后期，经典物理 学的三大理论体系使经典 物理学已趋于成熟。
牛顿力学 麦克斯韦电磁场理论 热力学与经典统计理论
两朵乌云： • 迈克耳逊——莫雷实验 • 黑体辐射实验 狭义相对论 量子力学 • 近代物理学的两大 支柱，逐步建立了 新的物理理论。
2、对实验结果的几种解释 （1）保留以太的尝试 拖曳理论：由于以太很轻，地球在以太中运动可以拖动以
太一起运动。但这种说法与光行差现象矛盾。
收缩假定（1892年洛仑兹—斐兹杰惹）
假定认为沿相对以太运动方向上物体长度收缩为l 1 − v 2 c 2 能说明 l1 = l2 的结果，不能说明 l1 ≠ l2 的结果 ！
光行差：
Σ
w k = c
ky k sin θ
Σ′
r v
α = θ ′ −θ
k′ y ′ kx
r k
r k′
θ
=
θ′
= sin θ
tgθ ′ =
பைடு நூலகம்
=
γ (k x −
ν
2
c
ω)
γ (k cos θ − k )
c
ν
γ (cos θ − )
c
ν ν
c sin θ cos θ
ν
tgθ ′ − tgθ ′ −θ ) = tgα = tg (θ = 1 + tgθtgθ ′
′ x4 = ict ′
′ ′ ′ ′ ′ ′ x12 + x22 + x32 + x42 = x12 + x22 + x32 + x42 ⇔ xμ xμ = xν xν
因此它为复四维空间 (x1 , x2 , x3 , x4 = ict) 的“转动”变换 该空间又称为闵可夫斯基空间（1907年）。
2
〉 Δt ′
B
物理含义：
Δt = Δt ′ 1− β
2
〉 Δt ′
时钟延缓—运动时钟变慢！
3．长度缩短（沿运动方向）
现代物理学的法则
现代物理学的基本原则：永远别空谈那些你无法知道的 事物——整个现代物理学理论都是在这个原则上建立起 来的。对于现代物理学家来说，只有所谓“可观察量” 才有意义。并且整个现代物理学都建筑在这些量的相互 关系基础之上。那些无法观察到的事物，既不可能检验 它们是否存在，也不可能利用它们。 物理学研究自然界的方法：无论是古典还是现代的，始 终透露着这样一个信息——用实验去检验。这是物理学 作为一门自然科学所必须时刻铭记的。能为可实现的实 验验证的理论才是有意义的；同样，能为实验测量的自 然才是可信的，有价值的。
2．时钟延缓
AM 2l = c c
⎛ vΔt ⎞ ⎛ cΔt ⎞ 2 ⎟ +l ⎜ ⎟ =⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
2 2
Δt ′ = 2
Δt =
AM + MB c
2l c 1 v2 1− 2 c =
→ Δt =
2l 1 c 1− β 2
S' S
A
M'
L
v
异地异时事件（用两只钟计时）
Δt = Δt ′ 1− β
t r T ⋅ v = Tij v j
一个自由指标为矢量
Tij′v′j = aik a jlTkl a jm vm = aik δ emTkl vm = aik Tkl vl
三、洛伦兹变换的四维形式
1、四维空间的转动变换（三维情况的推广）
′ ′ 转动中的不变量： x μ x μ = x v x v
′ x μ = a μν xν
% % 正交条件为： aμσ aμλ = δσλ ⇔ aa = aa = I
2、洛伦兹变换为复四维空间的转动变换 洛伦兹变换下间隔为不变量，即：
′ ′ ′ x12 + x2 2 + x32 − c 2t ′2 = x12 + x2 2 + x32 − c 2t 2
定义：x 4 = ict ,
u
地球系 以太风
光程差计算（用G—变换）：
1881年迈克耳逊第一次实 验，预期 Δ N = 0 . 04 1887年迈克耳逊和莫雷改 进实验，预期 ΔN = 0 .4
迈克耳逊干涉仪精度可观测到 0.01个条纹的移动。
实验结果 Δ N = 0
该实验被认为是狭义相对论的主要实验支柱之一。 1907年迈克耳逊因创制精密光学仪器而获得诺贝尔物理学奖
它不满足洛仑兹变换，也不是四维速度的前三个分量。
令某物体沿∑系正方向运动，它 的三维速度大小为u，固有时为 dτ，∑系上度量时间为dt ，
Σ
r u
令 γu =
1 1 − u2 / c2
O
x
U i = γ u ui
dxi dt = ic = icγ u U4 = dτ dτ
dt =
dτ 1 − u 2 / c2
ds 2 = c 2 dt 2 − dr 2 Q dr = 0
ds dτ = c
时间间隔dt 在洛仑兹变换下是一个可变量 dt ′ ≠ dt.
2、四维矢量 V μ
，
具有四个分量，在洛伦兹变 ′ Vμ = aμν Vν 换下与坐标变换形式相同。
• •
四维空间位移：d x μ
′ ′ xμ = aμν xν
= γ u dτ
dxi 2 2 dxi = 1− u / c ui = dt dτ
r U μ = γ u (u , ic )
• 四维波矢量
波所经历的相位是与通过观察者的波峰数 成正比的，所以它只是一个计数问题，应该与参考系无关。 r r ω φ = k ⋅ r − ω t = k1 x1 + k 2 x 2 + k 3 x 3 + i ict 是不变量 c r ω ) 称为四维波矢量。 定义： k μ = ( k , i c
结论：要与所有已知的实验一致，只能选择③
爱因斯坦的选择（26岁）：否定以太；否定经典时空观
思考题
参考系问题为什么在电动力学中是一 个非常突出的问题？ 狭义相对论有广泛的实验基础吗？试通 过查阅文献列举几例。
（有趣的是：从物理史看，爱因斯坦当时并不全 知道有关实验，革命性的思想起了重要作用！）
§2. 相对论基本原理
( μ , v = 1 − − 4)
4 4
′ ′ ′ ′ ′ ′ x12 + x22 + x32 + x42 = x12 + x22 + x32 + x42 ⇔ ∑ xμ xμ = ∑ xv xv
μ =1
v =1
英文小写字母 i， j， k， l， m， n , K 代表1—3 希腊小写字母 μ，ν，λ，σ，τ，κ , K 代表1—4 变换表示式：
标量：没有自由指标，又称为零阶张量； 矢量：一个自由指标，又称为一阶张量； 张量：两个自由指标，又称为二阶张量。 例一：两矢量点积
vi′wi′ = aij v j aik wk = δ jk v j wk = v j w j = vi wi
例二： 张量与矢量点积
r r v ⋅ w = vi wi
无自由指标为标量
1、相对性原理： 物理规律对所有惯性系都是等价的。 2、光速不变原理： 真空中光速相对于任何惯性系沿任 一方向恒为c，并与光源运动无关。
§3.相对论的时空理论
一、相对论时空观
（从原理出发，用理想实验 -- 以加强物理讨论） 为便于比较，先回顾一下经典时空观
1．同时的相对性
首要问题是：什么叫两事件同时发生？只能通过测量来判断！
思考题
1、狭义相对论主要是什么理论？ 2、相对论时空观与牛顿时空观有何本质不同？ 3、相对论中一切问题都是相对的吗？ 4、运动时间延缓、运动长度收缩是时钟和尺子 内部结构问题、是一种主观感觉、是相对论 游戏还是时空属性？如何理解？ 5、你知道“双生子佯谬”吗？请查文献了解。 6、相对论原理在逻辑上有无问题？
（2）否定以太存在的解释 -- 否定①
对任何惯性系，在任何方向上，光速均为c--与所有实验都 不矛盾，但与G—变换矛盾 → 与传统观念对立。
（3）修改电磁理论的尝试（发散理论）--对②的仲裁
实验断言：电磁理论是正确的，不需修改 -- 否定了② （“发射假说”基于旧的光的粒子理论，“光速与光源有关”）
sin θ cos θ (1 − γ ) + γ sin 2 θ + γ cos 2 θ − γ
c
ν << c
舍去
ν
c
ν
2 2
γ →1
tg α =
c 1−
sin θ
ν
c
cos θ
假定恒星与∑系固连，地球与 Σ′ 固连。 ∑相对 Σ′ 以v沿x轴运动。 在地球观测，用-v代v。 3 π θ = π 或 − . 2 2
Σ
r v
r k
α
x
tg α =
− 1+
ν ν
c
( − 1) cos
π
2
=
ν
c
Σ′
O
r k′
x′
c
相对论多普勒效应：
（1）光波的经典多普勒效应
r v
ω 0， r 运动频率 ω v ω0 (ω > ω0） 光源靠近观察者 ω =
设光源的固有频率
r k
r k
r ω0 (ω < ω0） v 光源远离观察者 ω = 1 +ν / c 光源垂直观察者 ω = ω0
一、三维空间的正交变换
先用代数的方法，把三维空间的标量、矢量、张量回顾一 下，再推广到四维。
1．矢量分解和标积的代数表示
2．三维坐标的转动变换
y
y′
θ
P
x′ θ
x
3．矩阵表示
二、物理量按空间变换性质分类
• •
标量: 空间转动变换中不变的量称为标量。 u′ = u 例如：质量，电荷，空间距离。 矢量：空间转动变换中按
′ kμ = aμν kν
′ ⎛ kx ⎞ ⎜ ′ ⎟ ⎛ γ ⎜ ky ⎟ ⎜ 0 ⎜ k′ ⎟ = ⎜ ⎜ z ⎟ ⎜ 0 ⎜ i ω ⎟ ⎜ −i βγ ⎜ ⎟ ⎝ ⎝ c⎠ 0 1 0 0
′ ′ φ = k μ xμ = k μ xμ = φ ′
0 i βγ 0 0 1 0 0 γ
不变量
ν ⎧ ′ ⎛ kx ⎞ k x = γ (k x − 2 ω ) ⎞⎜ ⎪ ⎟ c ky ⎟ ⎟⎜ ⎪ ⎪ ⎟⎜ k′ = ky y kz ⎟ ⇒ ⎨ ⎟⎜ ⎟ ⎪ ′ kz = kz ⎟⎜ ω ⎟ ⎪ ⎠⎜i ⎟ ⎪ ω ′ = γ (ω − ν k z ) ⎝ c⎠ ⎩
Σ′
1− v / c
r k
r k′
Σ
（2）光波的相对论多普勒效应
ω ′ = γ (ω − ν k x ) = γ (ω − ω cos θ )
设光源在 Σ′ 系中静止，ω ′ = ω 0
ν
r v
θ′
c
x
在∑系中静止观察者观测
ω =
γ (1 −
ω0 ν
c
cos θ )
1 −ν 2 / c2 1 +ν / c 光源靠近观 ω= ω0 = ω0 (ω > ω0 ) 察者 θ = 0 1 −ν / c 1 −ν / c
一、相对论产生的历史背景
1．问题的由来： 物理规律都是相对一定参考系描述的，那么 M—方程组是在哪个参考系中成立呢？ 2．尖锐的矛盾
3．几种可能的选择
二、相对论的实验基础
1．迈克尔逊—莫雷实验：对①的仲裁
实验思路：假定光在“以太” 中以c传播，则在相对以太运动 的地球上测得的光速将与c有差 别，通过这个差别的存在，即 可证实以太的存在。 实验装置：
满足间隔不变性的四维线性变换为：
x ′ = a μυ xυ μ
a μυ a μγ = δ υγ
可以证明:
~a = I a
四、四维协变量
L-协变性：在L-变换下物理规律的数学方程保持不变的性质
1、洛伦兹标量：洛伦兹变换下保持不变的物理量
例如：电荷Q，时空间隔，固有长度，固有时间隔，静止质 量m0 ，四维空间的体积元等 固有时间隔dτ为不变量的说明：
r 方式变换的量称为矢量，记为 v。
vi′ = aij v j (i = 1,2,3)
例如：速度、加速度、力、电场强度、 ▽算符等。
•
二阶张量：空间转动变换下按
t 方式变换的具有9个分量的物理量，记为 T。
Tij′ = aik a jl Tkl
例如：应力张量，电四极矩张量等。
使用自由指标判断物理量