2020届中考数学基础题提分讲练专题12锐角三角函数(含解析)

2．（ 2019 ·吉林中考真题）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子
的夹角为 ，则梯子顶端到地面的距离 BC 为（
）
AB 的长是 3 米．若梯子与地面
A． 3sin 米
B． 3cos 米
【答案】 A
【解析】
解：由题意可得： sin
BC
AB
故 BC 3sin m ．
BC
，
3
C． 3 米 sin
C， D， E 在同一平面内） ．斜坡 CD 的坡度（或坡比） i 1: 2.4，那么建筑物 AB 的高度约为（
）
（参考数据 sin 27 0.45 ， cos27 0.89 ， tan 27 0.51 ）
A． 65.8 米 【答案】 B 【解析】
B． 71.8 米
C． 73.8 米
解：过点 E 作 EM AB 与点 M ，延长 ED 交 BC 于 G，
3．（ 2019 ·广东中考真题）如图，有一斜坡
2 若 tan BAC ，则次斜坡的水平距离
5
AB，坡顶 B 离地面的高度 BC为 30m ，斜坡的倾斜角是 ∠BAC， AC 为（ ）
A． 75m 【答案】 A
B． 50m
C． 30m
D．12m
【解析】
解：因为 tan BAC
【点睛】
BC ＝ 2 ，又 BC＝ 30，所以， 30 ＝ 2 ，解得： AC＝ 75m ，所以，故选 A.
2020 届中考数学基础题提分讲练
专题 12 锐角三角函数
必考点 1
锐角三角函数：在直角三角形 ABC中，∠ C 是直角，
a 1、正弦：把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦，记作 sin A
c
b 2、余弦：把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦，记作 cos A
c
a 3、正切：把锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切，记作 tan A
C．
4
【答案】 D
【解析】
解：过点 A 作 AD BC ，垂足为 D，如图所示．
在 Rt ACD 中， CD＝CA cosC＝1，
AD AD 2 CD 2 15 ；
在 Rt ABD 中， BD＝ CB﹣ CD＝3， AD＝ 15 ，
AB BD2 AD 2 2 6 ，
AD sin B
AB
故选： D．
10 ． 4
∴四边形 EGBM 是矩形，
∴ EM BG 100 米， BM EG 20.8米． 在 Rt AEM 中，
D．119.8 米
∵ AEM 27 ，
∴ AM EM ? tan 27 100 0.51 51 米， ∴ AB AM BM 51 20.8 71.8米．
故选： B．
【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题 的关键．
。
9、同角三角函数关系公式
（ 1） sin 2 A cos2 B 1；（ 2） tan A
1
sin A
；（ 3） tanA＝
cot A
cos A
10．一些特殊角的三角函数值
【典例 1】（ 2019·浙江中考真题）如图，矩形
下列结论错．误．的是（
）
ABCD 的对角线交于点 O，已知 AB m, BAC
即 tanA＝ cot （90°一 A）＝ cotB； cotA＝ tan（90°－ A）＝ tanB
说明：式中的 90°一 A = B 。
8、三角函数值的变化规律
（ 1）当角度在 0°— 90 °间变化时，正弦值（正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（ 2）当角度在 0°— 90°间变化时，余弦值（余切值）随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
，
cos
选项 D 正确 .
故选 C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
【举一反三】
1．（ 2019 ·浙江中考模拟）在 Rt△ ABC中， ∠ C＝ 90°，若斜边 AB 是直角边 BC 的 3 倍，则 tan B 的值是 ( )
1
A．
3
B． 3
【答案】 D
a, 则
A． BDC
C． AO
m
2sin
【答案】 C
B． BC m tan a D． BD m
cosa
【解析】
选项 A， ∵ 四边形 ABCD是矩形，
∴∠ ABC＝ ∠ DCB＝ 90 °， AC＝ BD，AO＝CO，BO＝ DO，
∴AO＝ OB＝ CO＝ DO，
∴∠ DBC＝∠ ACB，
∴由三角形内角和定理得： ∠ BAC＝ ∠BDC＝ ∠α， 选项 A 正确；
6、锐角的正弦和余弦之间的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它 的余角的正弦值。
即 sinA＝ cos（90°一 A）＝ cosB； cosA＝ sin（90°一 A）＝ sinB
7、锐角的正切和余切之间的关系任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它 的余角的正切值。
∴甲楼高为（ 36﹣ 10 3 ）米．
故选 D．
D．（36﹣ 10 3 ）米
【点睛】
此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值
.
【举一反三】
1.（ 2019 ·湖南中考真题）如图，一艘轮船从位于灯塔
C 的北偏东 60°方向，距离灯塔 60 n mile 的小岛 A 出
发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔
a
b
a
b
（3） sin A ； cosA ； tan A ； cot A
c
c
b
a
所以，只要知道其中的 2 个元素（至少有一个是边） ，就可以求出其余 3 个未知数。
【典例 2】（ 2019·山东中考真题）如图，甲乙两楼相距
顶 B 处仰角为 30°，则甲楼高度为（ ）
30 米，乙楼高度为 36 米，自甲楼顶 A 处看乙楼楼
CD
在 Rt△ ACD中， cos∠ ACD= ，
AC
∴CD=AC?cos∠ACD=60 ×3 30 3 ． 2
在 Rt△ DCB中， ∵ ∠BCD=∠ B=45°，
∴CD=BD=30 3 ，
∴AB=AD+BD=30+30 3 ． 答：此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离是（ 30+30 3 ） nmile ．
1， ABC 的顶点都在
4
A．
3
【答案】 D
3
B．
4
3
C．
5
4
D．
5
【解析】
如图，过 C 作 CD AB 于 D ，则 ADC =90 ，
AC＝ AC AD 2 CD 2 CD 4
sin BAC = = ． AC 5
故选 D．
32 42 ＝ 5．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
D． 10 4
【点睛】 考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出
AD， AB 的长是解题的关键．
3．（ 2019 ·辽宁中考模拟）如图，两根竹竿 AB 和 AD 斜靠在墙 CE上，量得 ∠ ABC= ， ∠ ADC= ，则竹竿
AB 与 AD 的长度之比为 (
)
tan
A．
tan
A． 11 米
B．（ 36﹣ 15 3 ）米 C． 15 3 米
【答案】 D 【解析】 解：过点 A 作 AE⊥ BD，交 BD 于点 E， 在 Rt△ ABE中， AE＝ 30 米， ∠ BAE＝30°，
∴BE＝30 × tan3＝0 1°0 3 （米），
∴AC＝ED＝ BD﹣ BE＝（ 36﹣ 10 3 ）（米）．
C 的南偏东 45°方向上的 B 处，这时轮船 B 与小岛 A 的距
离是 (
)
A． 30 3 n mile
B． 60 n mile
【答案】 D 【解析】
过 C 作 CD⊥ AB 于 D 点，
C． 120 n mile
D． (30 30 3) n mile
∴∠ ACD=30 ，°∠ BCD=45 ，°AC=60．
2
cos
()
1
A．
5
5 B．
5
35
C．
5
【答案】 A
【解析】
解： ∵ 大正方形的面积是 125，小正方形面积是 25，
∴大正方形的边长为 5 5 ，小正方形的边长为 5，
9
D．
5
∴ 5 5 cos 5 5 sin 5 ，
∴ cos sin
5
，
5
∴ sin
cos
2
1
．
5
故选： A．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出
AC 5
AC 5
本题考查了正切三角函数，熟练掌握是解题的关键
.
必考点 2 解直角三角形及其应用 由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 若直角三角形 ABC中，∠ C＝ 90°，那么 A、B、C，a，b，c 中除∠ C＝90°外，其余 5 个
元素之间有关系： （l） a 2 b2 c 2 ；（ 2）∠ A 十∠ B＝ 90°；
cos sin
5． 5
4．（ 2019 ·重庆中考真题）如图， AB 是垂直于水平面的建筑物．为测量 AB 的高度，小红从建筑物底端 B 点
出发，沿水平方向行走了 52 米到达点 C，然后沿斜坡 CD 前进，到达坡顶 D 点处， DC BC ．在点 D 处
放置测角仪，测角仪支架 DE 高度为 0.8 米，在 E 点处测得建筑物顶端 A 点的仰角 AEF 为 27 （点 A，B，
设 CD＝ 5x， BD＝ 7x，
∴BC＝ 2 6 x，
∵AB 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 D， ∴AD＝ BD＝ 7x， ∴AC＝12x， ∵ AC＝ 12 ， ∴x＝1，
∴BC＝ 2 6 ；
故选 D. 【点睛】
本题考查直角三角形的性质；熟练掌握直角三角形函数的三角函数值，线段垂直平分线的性质是解题的关 键.
b
4、余切：把锐角 A 的邻边与对边的比叫做∠ A 的余切，记作 cot A b a
1
说明：由定义可以看出 tanA · cotA＝l（或写成 tan A
）
cot A
5、锐角三角函数：锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠ A 的锐角三角函数
说明：锐角三角函数都不能取负值。
0＜ sinA＜ l； 0＜ cosA＜； l
故选 D．
【点睛】 此题主要考查了解直角三角形的应用 的问题，解决的方法就是作高线． 2．（ 2019 ·四川中考真题）如图，在
-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形
1
ABC 中， CA＝ CB＝ 4， cosC＝ ，则 sinB 的值为（
）
4
A． 10 2
B． 15 3
6
1．（ 2019 ·湖南中考真题）如图，在 △ ABC中， ∠ C＝ 90°，AC＝ 12，AB 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 D，连接
5
BD，若 cos∠ BDC＝ ，则 BC 的长是（ ）
7
A． 10
B． 8
C． 4 3
D．2 6
【答案】 D
【解析】
∵∠ C＝ 90 °，cos∠ BDC＝ 5 ， 7
D． 3 米 cos
故选： A
【点睛】
考核知识点：由正弦求边 .理解正弦定义是关键 .
3．（ 2019 ·四川中考真题）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的
“赵爽弦图 ”如图
所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是
125，
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小正方形面积是 25，则 sin
选项 B，在 Rt△ ABC中， tan α＝ BC ， m
即 BC＝ m?tan α，
选项 B 正确；
选项 C，在 Rt△ABC中， AC＝ m ，即 AO＝ m ，
cos
2 cos
选项 C 错误；
选项 D， ∵四边形 ABCD是矩形，
∴DC＝ AB＝ m，
∵∠ BAC＝ ∠ BDC＝α，
m
∴在 Rt△ DCB中， BD＝
【解析】 设 BC=x，则 AB=3x，
C． 2 4
D．2 2
由勾股定理得， AC=2 2 x ，
AC 2
tanB= =
2x
=2
2，
BC x
故选 D．
考点： 1．锐角三角函数的定义； 2．勾股定理．
2．（ 2019 ·湖北中考真题）如图，在 5 4 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 这些小正方形的顶点上，则 sin BAC 的值为（ ）
sin
B．
sin
【答案】 B
【解析】
在 Rt△ ABC中， AB= AC ， sin
AC
在 Rt△ ACD中， AD=
，
sin
sin
C．
sin
cos
D．
cos
AC
∴AB： AD=
：
AC sin
=
，
sin sin sin
故选 B． 【点睛】
本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
∵斜坡 CD 的坡度（或坡比） i 1: 2.4 ， BC CD 52 米， ∴设 DG x ，则 CG 2.4 x ． 在 Rt CDG 中，
∵ DG 2
2
CG
DC 2 ，即 x 2
(2.4 x) 2
522 ，解得 x = 20 ，
∴ DG 20 米， CG 48 米， ∴ EG 20 0.8 20.8 米， BG 52 48 100 米． ∵ EM AB ， AB BG ， EG BG ，