北京市东城区汇文中学2022~2023学年第一学期高三期中数学试卷及答案

北京汇文中学教育集团2022-2023学年度第一学期
期中考试 高三年级 数学学科
本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

一、 选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1. 已知集合{}11A x x =-<<，{}
02B x x =≤≤，则A
B =（ ）.
A ．{}01x x ≤<
B ．{
}12x x -<< C ．{}12x x -<≤ D ．{}
02x x ≤≤ 2. 已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的（ ）.
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 3．在复平面内，复数i(2i)z =+对应的点的坐标为
A. (1,2)
B.(1,2)-
C. (2,1)
D.(2,1)- 4．已知命题:p (0,)a ∀∈+∞，1
2a a
+
>，则p ⌝是 A. (0,)a ∃∈+∞，12a a +
> B. (0,)a ∃∉+∞，1
2a a +> C. (0,)a ∃∈+∞，12a a +≤ D. (0,)a ∃∉+∞，1
2a a
+≤
5．下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是
A.sin y x =
B.||y x x =
C.tan y x =
D.1y x x
=- 6．将函数sin 2y x =的图像向右平移
π
6
个单位，得到函数()f x 的图像，则下列说法正确的是 A ．π()sin(2)6f x x =- B. π
3
x =-是函数的()f x 图像的一条对称轴
C. ()f x 在ππ[,]63-
上是减函数 D. ()f x 在π5π
[,]1212
-上是增函数
7. 已知,,a b c R ∈，那么下列命题中正确的是（ ）. A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a b
c c
>，则a b > C ．若a b >且0ab <，则
11
a b
> D ．若22a b >，则11a b <
8. 已知等比数列{}n a 中，11a =，且
58
25
8a a a a +=+，那么5S 的值是（ ）.
A ．15
B ．31
C ．63
D ．64
9. 在ABC ∆中,M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则)
(PC PB AP +⋅等于（ ）.A ．43- B. 43 C. 49- D. 4
9
高10. 定义：角θ与ϕ都是任意角，若满足2
π
θϕ+=
，则称θ与ϕ “广义互余”．已知1
sin 4
=
α，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是（ ）. A ．15sin 4
β=
B ．1cos()4
πβ+=
C ．15tan 5
β=
D ．15tan 15
β=
11. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题
“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出
发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在地为点(2,3)B -，若将军从点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）. A 26
B 29 C.
31D 3412. 在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-. 记12
n n T a a a =(1,2,
)n =，
则数列{}n T （ ）. A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项
二、 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
13．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和. 若2n S n =，则2a =_________. 14. 已知1a >，则4
+1
a a -的最小值为_________. 15. 若直线
y a =与函数3()3f x x x =-的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围
是 .
16. 已知平面内的点()2,0A ，(),B x y ，()1,3C
，若四边形OABC （O 为坐标原点）是平行
四边形，则向量OB 的模为 . 17. 已知函数2ln ()x
f x x x
=-
，给出下列四个结论： 函数()f x 是奇函数；
函数()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上都单调；
当0x >时，函数()0f x >恒成立； 当0x <时，函数()f x 有一个零点.
其中所有正确结论的序号是____________ .
18．某生物种群数量Q 与时间t 的关系近似地符合10e ()e 9
t
t Q t =+. 给出下列四个结论：
① 该生物种群的数量不会超过10；
② ②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小； ③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比； ③ 该生物种群数量的增长速度最大的时间0(2,3)t ∈． 依据上述关系式，其中所有正确结论的序号是________．
三、解答题（本大题共5小题，共72分）
19．（本小题共14分）已知等差数列{}n a 满足142n n
a a n ++=+.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n n b a -是公比为3的等比数列，且13b =，求数列{}n b 的前n 项和n S .
20．（本小题共14分）设△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，
且sin 3cos a B b A =．
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求
△ABC 的面积.
第③ 组条件： 19,5a c ==; 第②组条件： 1
cos 423
C c ==，; 第③组条件： AB 边上的高3h = ，3a =.
21.（本题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面
ABCD ．PAD △为等腰直角三角形，且PA AD ⊥．E ，F 分别为底边AB 和侧棱PC 的中点．
（1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求二面角E PD C --的余弦值．
22．（本小题共15分）设函数
2()(3),f x x x x a a =-+∈R .
（Ⅰ）当9a =-时，求函数()f x 的单调增区间；
（Ⅱ）若函数()f x 在区间(1,2)上为减函数，求a 的取值范围；
（Ⅲ）若函数()f x 在区间(0,2)内存在两个极值点12,x x ，且满足
1212()()()()f x f x f x f x ->+，请直接写出a 的取值范围.
23．（本小题15分）设正整数3n ≥，集合{}12( )1 2 n k A x x x x k n ==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅R ，，
，，，，，，a a ，对于集合A 中的任意元素12( )n x x x =⋅⋅⋅，，，a 和12( )n y y y =⋅⋅⋅，，，b ，及实数λ，定义：当且仅当
(1,2,
,)i i x y i n ==时=a b ；
1122( )
n n x y x y x y +=++⋅⋅⋅+，，，a b ；
12( )n x x x λλλλ=⋅⋅⋅，，，a ．
若A 的子集{}123B =，，a a a 满足：当且仅当1230λλλ===时，
112233(0 0 0)λλλ++=⋅⋅⋅，，，a a a ，则称B 为A 的完美子集．
（Ⅰ）当3n =时，已知集合1={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}B ，2={(1,2,3),(2,3,4),(4,5,6)}B ，分别判断
这两个集合是否为A 的完美子集，并说明理由；
（Ⅱ）当3n =时，已知集合{}(21) ( 21) (1 2)B m m m m m m m m m =---，，，
，，，，，.若B 不是A 的完美子集，求m 的值；
（Ⅲ）已知集合{}123,,B A =⊆a a a ，其中12( )(1 2 3)i i i in x x x i =⋅⋅⋅=，，，，，a ，若
1232ii i i i x x x x >++对任意1 2 3i =，，都成立，判断B 是否一定为A 的完美子集. 若是，
请说明理由；若不是，请给出反例．
答案
选择题 CABCB DCBDA BB 填空题 13．2 14. 5 15. 16. 32 17.
18．①②④
解答题 19．（本小题共14分）
解：（Ⅰ）因为142n n a a n ++=+,
所以当1n =时，216a a +=. ① -------------------------------------------1分 当2n =时，3210a a +=, ②-------------------------------------------2分 ②—①得314a a -=.
因为{}n a 为等差数列，设公差为d ,
所以3124d a a =-=，则2d =, -----------------------------------------4分 由①可得126a d +=，所以12a =，----------------------------------------6分 所以1(1)2(1,2,
)n a a n d n n =+-==.-----------------------------------7分
经检验2n a n =符合题意，所以通项2n a n =.
其它解法：
因为{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，11n a a nd +=+，---2分 所以112(21)n n a a a n d ++=+-， 由已知可得12(21)42a n d n +-=+，
因为122(42)a d d n --=-对于n +∀∈N 成立，-----------------------3分 所以2d =，12a =， ----------------------------------------6分 所以1(1)2(1,2,
)n a a n d n n =+-==.-----------------------------------7分
（Ⅱ）因为{}n n b a - 是公比为3的等比数列，又知13b =，
所以111
11()3=(32)3=3n n n n n b a b a ----=-⨯-⨯，-----------------------9分 所以11
332n n n n b a n --=+=+， 所以012
1(3333)+2(123)n n S n -=+++
++++
+
132(1)
132
n n n -+=+
- ------------------------------------------------13分 1
(31)(1)2
n n n =-++. ---------------------------------------------------------14分 20．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）由正弦定理
sin sin a b
A B
=
及sin cos a B A =得
sin sin cos A B B A ， ------------------------------------------------------2分
因为()0,πB ∈，所以sin 0B ≠ --------------------------------------------------------3分
所以sin A A =， ----------------------------------------------------------4分
所以tan A = ----------------------------------------------------------5分 因为()0,πA ∈， ----------------------------------------------------------6分 所以π
3
A =
. ----------------------------------------------------------7分 （Ⅱ）选②： ---------------------------------------------------8分 法一：因为1
cos 3
C =
，()0,πC ∈，
所以sin C .----------------------------------------9分
由正弦定理
sin sin a c A C
=
得sin sin c A
a C ==
=.--------------------10分
由πA B C ++=得
(
)11sin sin sin cos cos sin 32B A C A C A C =+=+=
+.-12分
所以11sin 22ABC S ac B ∆==⨯=分
法二：因为1
cos 3
C =，()0,πC ∈，
所以sin C . -------------------------------------9分
由正弦定理
sin sin a c A C
=
得sin sin 3
c A a C ==
=.-------------------10分
由余弦定理2222cos c a b ab C =+-
得23227b =+-
，即250b --=，
解得b =（舍负）
所以b =. ------------------------------------12分
所以
11
sin 22
ABC S bc A ∆==⨯
⨯=分 法三：所以1
cos 3
C =
，()0,πC ∈，
所以sin C .
由正弦定理
sin sin a c A C
=
得sin sin c A
a C ==
=.
由余弦定理2222cos a b c bc A =+-
得22732b =+-
，即250b -+=，
解得b =
由2221
cos 023
a b c C ab +-==>，得2225b c a >-=
所以b =.
所以
11sin 222
ABC S bc A ∆==⨯⨯=选③：-------------------------------------------------------------------------------------8分
法一：因为π
3
A =
，AB
边上的高h = 作CD AB ⊥，垂足为D
，则CD =，在Rt ∆CAD 中有sin h A b
=
，
所以2sin h
b A
=
=. --------------------------------------------------------------10分
由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2942c c =+-，即2250c c --=，
解得1c =（舍负）
所以1c =. ------------------------------12分
所以(
11122ABC
S
ch ==⨯=
. ---------------------------------14分 法二：过C 作CD 垂直直线AB 于D
，则CD h ==，
所以2sin CD b A
=
=， ------------------------------------------------------------10分
所以1cos 212
AD b A ==⨯
=. 因为3a =
，由勾股定理得BD ===---------------------12分 因为a b >，所以A B >，即60B <，所以AB AD BD =+，
所以(
11122ABC S ch ∆==⨯. ----------------------------14分
21. （本小题共14分） ⑴略
． 22．（本小题共15分）
解：（Ⅰ）当9a =-时，2()(39)f x x x x =--，
2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-，------------------------------------------2分
'(f x 的情况如下：
所以，函数()f x 的增区间为(,1]-∞-和[3,)+∞﹒--------------------------------4分 （Ⅱ）由2()(3)f x x x x a =-+得2()36f x x x a '=-+，
因为()f x 在区间(1,2)上为减函数，
所以()0f x '≤在(1,2)内恒成立，-----------------------------------------------------6分 因为22()363(1)3f x x x a x a '=-+=-+-，
所以(1,2)x ∈时，'()(3,)f x a a ∈-，-----------------------------------------------8分 所以(,0]a ∈-∞.---------------------------------------------------------------------------9分 或者：
()0f x '≤，即236,(1,2)a x x x ≤-+∈恒成立， (1,2)x ∈时，22363(1)3(0,3)x x x -+=--+∈
（Ⅲ）所以a 的取值范围为9
(0,)4
﹒----------------------------------------------------------15分 23．（本小题共15分） 解：（Ⅰ）1B 是完美集；
-------------------------------------------1分
设112233(0 0 0)λλλ++=，，
a a a ， 即1230λλλ===． 所以1B 是完美集．
------------------------------------------2分
2B 不是完美集．
------------------------------------------3分
设112233(0 0 0)λλλ++=，，a a a ， 即1231231
2324023503460λλλλλλλλλ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩．
，， 令3=1λ，则12=2=3λλ-，． 所以2B 不是完美集．
------------------------------------------5分
（Ⅱ）因为B 不是完美集，
所以存在123()(0 0 0)λλλ≠，，，，，使得112233(0 0 0)λλλ++=，，a a a ， 即123123123202(1)0(1)(1)20m m m m m m m m m λλλλλλλλλ++=⎧⎪
++-=⎨⎪-+-+=⎩
，
，．
------------------------------------------6分
因为{}(21) ( 21) (1 2)B m m m m m m m m m =---，，，
，，，，，， 由集合的互异性得，0m ≠且1m ≠-． ------------------------------------------8分 所以12320λλλ++=，3122λλλ=--，12()(0 0)λλ≠，，． 所以1212
(2)(1)0(31)(1)0m m m m λλλλ-+++=⎧⎨--+--=⎩．，
所以1(41)0m λ-+=． 所以1
4
m =或10λ=． 检验： 当1
4
m =
时，存在1235,7,3λλλ==-=-使得112233(0 0 0)λλλ++=，，a a a ． 当10λ=时，因为1m ≠-，所以230,0λλ==，舍． 所以1
4
m =
．
------------------------------------------10分 （Ⅲ）B 一定是完美集．
------------------------------------------11分
假设存在不全为0的实数123,,λλλ满足112233(0 0 0)λλλ++=⋅⋅⋅，，，a a a ， 不妨设123λλλ≥≥，则10λ≠（否则与假设矛盾）． 由1112213310x x x λλλ++=，得32
11213111
x x x λλλλ=--． 所以32
112131213111
x x x x x λλλλ≤
+≤+．
与111121312x x x x >++，即112131x x x >+矛盾． 所以假设不成立． 所以10λ=． 所以230λλ==． 所以B 一定是完美集．
------------------------------------------15分。