投影法及其分类

a●
ay
YH
H
Y
绕X轴向下
旋转90º
a● X ax
Z az
a
●
O
YW
ayW
V a
●
X ax
Z
az
A
●
O
● a W
a●
YH ayH
点的投影规律:
a● H
ay Y
1. aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴 2. aax= aaz =y =Aa（A到V面的距离）
aay= aaz =x =Aa（A到W面的距离） aax= aay=z =Aa （A到H面的距离）
第2章 点、直线、平面的投影
2.1 投影法及其分类 2.2 点的投影 2.3 直线的投影
2.4 平面的投影
2.5 直线平面及两平面的相对位置
1 投影法及其分类
投影法 投射中心
斜投影法
正投影法
物体
投射线
投影面
投影
中心投影法
平行投影法
投射线通过物体，向选定的平面进行投射， 并在该面上得到图形的方法——投影法。
a●
●
b
YH
B点在A点之 前、之右、之
下。
重影点：
空间两点在某 一投影面上的投影 重合为一点时，则 称此两点为该投影 面的重影点。
被挡住的 投影加( )
a ●
c ● X
●
a (c)
Z ● a
O
● c YW
YH
2.3 直线的投影
两点确定一条直线，
a●
将两点的同面投影用直线
b
●
连接，就得到直线的同名
b
YW
c
b
YH
思考：此题有几个解？
2.4.3 平面上的直线和点 ⒈ 平面上取任意直线 位于平面上的直线应满足的条件：
若一直线过平面上 的两点，则此直线 必在该平面内。
N
P
M
●
●
若一直线过平面上 的一点且平行于该 平面上的另一直线 ，则此直线在该平 面内。
A M
●
BQ
例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在 平面内任作一条直线。
投射中心 物体
投影面
中心投影法
投射线 投影
物体位置改 变，投影大 小也改变。
投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相 对距离对投影的大小有影响。度量性较差。
平行投影法
投影特性 投影：大小与物体和投影面之间的距离无 关 度量性较好。 工程图样多数采用正投影法绘制。
中心投影法
投影法
斜投影法
平行投影法
a
k
ca
c
b
b
例3：在△ABC内取一点M，并使其到H面V面的 距离均为10mm。
a
d
m ●
e c
b
X
d b
a e
●
m
10 O
10
c
2.5 直线与平面及两平面的相对位置
相对位置包括平行、相交和垂直。
2.5.1 平行问题
直线与平面平行 平面与平面平行 ⒈ 直线与平面平行
若平面外的一直线平行于平面内 的某一直线，则该直线与该平面平行。
平面垂直投影面——投影积聚成直线
平面倾斜投影面——投影为缩小类似形
1. 平面在三投影面体系中的投影特性
平面对于三投影面的位置可分为三类：
垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面
平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面
正垂面
投影面垂直面 侧垂面
铅垂面
特殊位置平面
正平面
投影面平行面 侧平面
水平面
与三个投影面都倾斜 一般位置平面
例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。
b
d
n
c m
a
●
X
b
d
n
a
●
m
c
有无数解。
例2：过M点作直线MN平行于V面和 平面 ABC。
b
d
c m
n
a
●
X
c
a
d
m●
n
b
⒉ 两平面平行
① 若一平面上的两相 交直线分别平行于另 一平面上的两相交直 线，则这两平面相互 平行。
② 若两投影面垂直面 相互平行，则它们具 有积聚性的那组投影 必相互平行。
解法一：
b
解法二：
d
b
m●
a
X
m● a
n
●
c
b n● c
c
a
X
b d
a
c
例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距 离为10mm。
a
m
10 b
X b
m
有多少解？
n
c 唯一解！
c n
a
⒉ 平面上取点
面上取点的方法： 先找出过此点而又在平面内的一条直线
作为辅助线，然后再在该直线上确定点的
解法一：
（应用第三投影） Z
a
a
k ●
k ●
b
b
X
O
YW
b
k●
a
YH
解法二： （应用定比定理）
a
●
k ●
●
b
X
b
k● a
2.3.3 两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为：
平行、相交、交叉（异面）。 ⒈ 两直线平行
V d
c a
A
X
C a
b B
D
O
c
b
d
H
d b
c a
⑴ 投影面垂直面
Z
b
b
a
X
积聚性
γ
a
投影特性：
c c
O
βc
b
YH
a
YW
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该 直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影 面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影为类似形。
⑵ 投影面平行面
a b
Z
c a c b
X
O
YW
a
实形
c
b
投影特性：
YH
在它所平行的投影面上的投影反映实形。
位置。
例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
b
b
d
k ●
c
a
X
a
k● b c
利用平面的积聚性求解
●k
c
a
X
a
b d
●k
c
通过在面内作辅助线求解
例2：已知AC为正平线，补全平行四 边形 ABCD的水平投影。
解法一： b
解法二： b
a
k
c a
c
X
d
d
X
d
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判断下列直线是什么位置的直线？
正平线
Z
实长 a
a
γ
b
b
X
O
YW
侧平线
Z
a
a 实长
β
b
b
O
X
YW
a
b
a
b
直线与投YH 影面夹角的表示法：YH
与H面的夹角: 与V面的夹角:β
与W面的夹角:γ
⑵ 投影面垂直线
铅垂线
Z
a
a
正垂线
c(d) Z d c ●
侧垂线
e f Z e(f) ●
另两个投影面上的投影分别积聚成与相应 的投影轴平行的直线。
⑶ 一般位置平面 Z
b
b
c
c
a
X
O
a
YW
投影特性：
b
a
三个投影都为类似形。
c
YH
例：正垂面ABC与H面的夹角为45°，已
知其水平投影及顶点B的正面投影，求
△ABC的正面投影及侧面投影。 Z
c
c
a
a
b ● 45°
X
a
O
为什么？
V
c′
a′
A X
C
a
c
交点不符合点的投影规律！
b′ d′
B D
d bH
V
b′
c′
d′
a′
1′ 3′(4 ′) ●
B
A
C
●
●
2 ′Ⅳ
DⅠ
●
●
a
d ●Ⅲ●Ⅱ
c
b H ●4 ●●
3 1(2)
投影特性：
3′(4 ′) ●1 ′
c ′ ● ●2 ′
a′ X
a
c
●4 1(2) ● ●
3
b′ d′
O d b
例：已知点A的两个投影a, a', 求第三
投影a"。
解法一:
Z
a●
az ● a
X ax a●
解法二:
O
YW
YH a●
Z
az
a
●
X ax
O
YW
a● YH
2.2.4 两点的相对位置
两点的相对位置指两
a●
Z ● a
点在空间的上下、前后、
b ●
● b
左右位置关系。
X
o
YW
判断方法：
x 坐标大的在左 y 坐标大的在前 z 坐标大的在上
绕X轴下 旋转90º
1.aa⊥OX轴
2. aax=Aa（A到V面的距离）
aax =Aa（A到H面的距离）
2.2.3 点在三投影面体系中的投影
投影面
正面投影面（简称正 V
面或V面）
水平投影面（简称水
平面或H面）
X
侧面投影面（简称侧
Z
O
W
面或W面） 投影轴
H
Y
OX轴 V面与H面的交线 OY轴 H面与W面的交线 OZ轴 V面与W面的交线
其投影特性取决于直线与三个投 影面间的相对位置。
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
投影面平行线
统称特殊位置直线
正平线（平行于Ｖ面） 侧平线（平行于Ｗ面） 水平线（平行于Ｈ面)
正垂线（垂直于Ｖ面）
垂直于某一投影面 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面）
铅垂线（垂直于Ｈ面）
与三个投影面都倾斜的直线 一般位置直线
正投影法
2.2 点的投影
2.2.1 点在一个投影面上的投影P
过空间点A的投射线 A ● ● a 与投影面P的交点即为点
A在P面上的投影。
P
点在一个投影面上 的投影不能确定点的空 间位置。
B1
B2 ●
B3 ●
● b
●
2.2.2 点在两投影面体系中的投 影
投影面 正面投影面（简称 正面或V面） 水平投影面（简称 水平面或H面） 投影轴 ox轴（简称x轴）V
三个投影面 互相垂直
空间点A在三个投影面上的投影
a 点A的水平投影
Z
a' 点A的正面投影
V a
●
az
a 点A的侧面投影 X ax
A
●
● a
O
W
a●
ay
H
Y
投影面展开
V a
●
X
ax
a● H
省略不画
绕Z轴向右
不动
旋转90º
Z
Z
W
az
a
●
V a
az
●
A
O ay
YW X ax
●
● a
O
W
ay
b
X
O b X
O
YW d
●
a(b) YH
投影特性:
c
YH
X YW
e
O
YW
f
YH
1. 在其垂直的投影面 上，投影有积聚性。
2.另外两个投影， 反映线段实长，且垂直 于相应的投影轴。
⑶ 一般位置直线
Z
V
b
b Z b
B b
a
βγ
W

X
O
Ab
a
a
a
X
O
YW
b
aH
Y
a
YH
投影特性:
三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴
⑴ 投影面平行线
水平线 Z V
a ′ b′
a″
Aβ γ
b″W
X
oB
a βγ
投影特性：
①在其平行的那个投影面 上的投影反映实长，并 反映直线与另两投影面 倾角的真实大小。
Hb
a′
Y b ′ Za ″ b″
②另两个投影面上的投影 平行于相应的投影轴，
X
O
a βγ
YW
实长
b YH
其到相应投影轴距离反 映直线与它所平行的投 影面之间的距离。
投影。
a●
3.1 直线的投影特性
b●
⒈ 直线对一个投影面的投影特性
A●
B
●B
●
M●
A●
B●

A●
●
a（m）（b）
●b a●
●b a●
● a ● b
直线垂直于投影面 投影重合为一点
积聚性
直线平行于投影面 投影反映线段实长
ab=AB
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短
ab=AB.cos
2.3.1 直线在三个投影面中的投影特性
X
O
a
b
c
d
空间两直线平行，则其各同面投影必 相互平行，反之亦然。
例：判断图中两条直线是否平行。
① b
a
X
c
ac
Z
d a O c
b d
AB与CD平行。 对于一般位置直
YW 线，只要有两组同面 投影互相平行，空间
两直线就平行。
②
b c
d
Z
YH
c
a
a
d
X
b
c
b
da
d O b
同面投影可能相交，但 “交点”不符合空间 一点的投影规律。
“交点”是两直线上的一 对重影点的投影， 用其可帮助判断两直线的空间位置。
2.4 平面的投影
2.4.1 平面的表示法
c
c
●
●
c
●
a●
a●
a●
X
● b X
●b
● b X ●b
● b ●b
a●
a●
a●
●c
●c
●c
d a●
的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角
的大小。三个投影的长度均比空间线段短，
即都不反映空间线段的实长。
2.3.2 直线与点的相对位置
Z
V
b′
c ′ B b″
a′
C
c″W
X
O
Ac b
a″
b′ Z c′ a′
X
O
b
c
b″ c″ a″
YW
aH
Ya
YH
若点在直线上, 则点的投影必在直线的同面 投影上。
点的投影将线段的同面投影分割成与空间线 段相同的比例。即：
YW
YH
AB与CD不平行。
对于特殊位置直 线，只有两组同面投 影互相平行，空间直 线不一定平行。
2.3.4 两直线相交
V c
b
k
a
d
C A
K
B D
X
O
a
d
ck
b
H
c k a
X
a ck
b d
d b
若空间两直线相交，则其同面投影必 相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影特性。
例1：过C点作水平线CD与AB相交。
AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb
定比定理
例1：判断点C是否在线段AB上。
a
X
a
a
c ● b
X
a c●
b c
●
c
b
●
Z
a
●
c
O
a c●
在
X
ac ●
不在
b
b
不在
b 另一判断法? YW 应用定比定理
b
YH
例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。
●
X
●
d
a●
c ● a●
● b X ●b
a●
●c
c
●
● b ●b
●c
不在同 一直线 上的三
直线及 线外一 点
两平行 直线
两相 交直 线
平面 图形
个点
2.4.2 平面的投影特性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
B
B
A
C
A C
b
a c
平行
A C
c b a
垂直
B
a
c
倾斜b
投影特性 平面平行投影面——投影反映实形
面 与H面的交线
V
V
X
O
H
H
两个投影面 互相垂直
空间点A在两个投影面上的投影
a 点A的水平投影
a 点A的正面投影 V a ●
注意：
A
X ax
●
O
空间点用大写字母表示， 点的投影用小写字母表示。
a● H
投影面展开
V ● a
aX
不动
V a
●
A
X ax
●
O
省略不画
a●
H ●a
H
点的投影规律:
c●
k
a
b d
X
a
d
k c●
b
先作正面投影
例2：判断直线AB、CD的相对位置。
c′ b′
相交吗？ 不相交！
a′
X
a
d′
d b
c
为什么？
交点不符 合空间一点的 投影特性。
判断方法？ ⒈ 应用定比原理 ⒉ 利用侧面投影
2.3.5 两直线交叉
b′
c′ d′
a′
X
O
a
d
c
b
两直线相交吗？
不相交！