孝感高级中学高二数学下学期期末考试试题 文

湖北省孝感高级中学2012—2013学年度高中二年级下学期期末考试
数 学（文科）
考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1． 设全集U 是实数集R ，{20},{2}M x x N x x =-≥=≤，
则()u C M N =（ ） A ．{2} B ．∅ C ．{2}x x ≤ D ．{2}x x <
2． “0a ≥”是“函数()2f x ax =-在区间[1,2]-上单调递增”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3． 已知命题:,ln(101)0x p R ∀∈+>，则p ⌝为（ ）
A ．,ln(101)0x x R ∀∈+<
B ．00,ln(101)0x
x R ∃∈+> C ．,ln(101)0x x R ∀∈+≤ D ．00,ln(101)0x x R ∃∈+≤
7． 下列命题中的真命题是（ ）
A ．x R ∃∈，使得3sin cos 5x x =
B ．(,0),x ∃∈-∞使得21x
> C ．,x R ∀∈都有21x x ≥- D ．(0,),x π∀∈都有sin cos x x > 8． 函数()ln f x x x =-的图象在(1,(1))f 处的切线的倾斜角为（ ）
A ．1-
B ．
4
π C ．4π- D ．34π 9． 若对正实数x ，不等式211a x x ≤+都成立，则a 的最小值为（ ）
A ．1 B
C
．2 D ．12
10．若点(,)a b 在函数lg y x =的图象上，1a ≠，则下列点也在此图象上的是（ ）
A ．1
(,)b a B ．(10,1)a b - C ．10(,1)b a + D ．2(,2)a b
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。

请将各题的答案填写在答题卷中对应的横线上。

11．化简1602[(2)(1)---的值为____________.
12．“2x >”是“112
x <”的____________条件. 13．曲线3ln y x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为____________.
14．若不等式12x x m --+≤对任意实数均成立，则实数m 的取值范围为__________.
15．若全集U R =，集合{215}A x x =+<，{ln(1)}B x y x ==+则()u C A B =_______.
16．若122,2()lg(1),2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨+≥⎪⎩
，若(3)()3f f a +=，则实数a 的值为____________. 17．以下关于命题的说法正确的有____________（填写所有正确命题的序号）.
①“若2log 0a >，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数”是真命
题；
②命题“若0a =，则0ab =”的否命题是“若0a ≠，则0ab ≠”；
③命题“若,x y 都是偶数，则x y +也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若a M ∈，则b M ∉”与命题“若b M ∈，则a M ∉”等价.
三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本小题满分12分）已知函数2
()23f x x ax =++，[4,6]x ∈-，
（1）当2a =-时，求()f x 的值域；
（2）求实数a 的取值范围，使函数()y f x =在区间[4,6]-上是单调函数.
19．（本小题满分12分）已知0a >，设命题:x p y a =在R 上单调递增，命题:q 不等式
210ax ax -+>对x R ∀∈恒成立，若“p 且q ⌝”为真，求a 的取值范围.
20．（本小题满分13分）已知,a b R ∈且1,1a b <<，试比较a b -与1ab -的大小，并证
明你的结论.
21．（本小题满分14分）某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与
投资成正比，其关系如图1；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）.
（1） 分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2） 已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A 、B 两种产品的生产. ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？
②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？
其最大利润约为多少万元？
22．（本小题满分14分）已知函数()ln(1)()1ax f x x a R x =++
∈+，
（1）当1a =时，求函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；
（2）讨论函数()f x 的极值；
（3）求证：22221121311ln(1)123n n n ----+>+++⋅⋅⋅+.
高二数学文科答案
一、选择题
DBDCD DCDDD
二、填空题
11．7 12．充分不必要
13．43y x =- 14．31m -≤≤
15．(,1][2,)-∞-+∞
16．1或 17．②④
三、解答题 18．解：（1）2a =-时，22
()43(2)1f x x x x =-+=--
∴ 2x =时，min ()1f x =- 4x =-时，max ()35f x =
∴()f x 的值域为[1,35]-……………………………………………………………………6分
（2）对称轴x a =-，要使()f x 在[4,6]-上是单调函数
则4a -≤-或6a -≥
∴4a ≥或6a ≤-……………………………………………………………………………12分
19．解：若p 真：1a >……………………………………………………………………………3分
若q 真：2
4004a a a ∆=-<⇒<< 则q 假：4a ≥
∵p 且q ⌝为真
∴p 真q 假……………………………………………………………………………………9分 ∴144
a a a >⎧⇒≥⎨≥⎩…………………………………………………………………………12分 20．证明： ∵1,1a
b <<
∴10,10,10a b ab ±>±>->…………………………………………………2分若a b ≥则1(1)()(1)(1)0ab a b ab a b a b ---=---=--> ∴1ab a b ->-………………………………………………………………………7分若a b <则1(1)()(1)(1)0ab a b ab a b a b ---=-+-=+-> ∴1ab a b ->-……………………………………………………………………12分∴1a b ab -<-………………………………………………………………………13分
21．解：（1）对A 产品1(0)4y x x =
≥…………………………………………………………2分
对B
产品0)y x =≥…………………………………………………………4分
（2
）①198.254
y =⨯+（万元）
∴平均投入生产两种产品，可获利8.25万元 (7)
分 ②设投资B 产品x 万元，利润为y 万元
则投资A 产品18x -万元
∴1(18)4
y x =-+ (018)x ≤≤
21(18)414)8.54
x =--=-+
∴
4=即16x =时max 8.5y = (12)
分
∴投入2万元生产A 产品，16万元生产B 产品，利润最大，为8.5万元.………14分
22．（1）解1a =时，()ln(1)1x f x x x =++
+ ∴22
1(1)2()1(1)(1)x x x f x x x x +-+'=+=+++ ∴(0)2f '=又(0)0f =
∴()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为2y x =………………………………………………4分
（2）22
1(1)1()(1)1(1)(1)a x ax x a f x x x x x +-++'=+=>-+++ 若11a --≤-即0a ≥ 则()0f x '>恒成立
此时()f x 无极值
若11a -->-即0a < 则11x a -<<--时 ()0f x '<
1x a >--时()0f x '>
此时()f x 在1x a =--处取极小值ln()1a a -++………………………………………8分
（3）当1a =-时 由（2）知min ()(0)0f x f == ∴ln(1)01x x x +-≥+ 即 ln(1)1
x x x +≥+ 令1x n = 则 1
11ln(1)111n n n
n
+≥=++ ∴11ln()1n n n
+≥+ 而2211101(1)
n n n n n --=>++ ∴
2111n n n
->+ ∴211ln n n n n
+-> ∴222223*********ln ln ln ln 123123n n n n
+----+++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅+ ∴22221121311ln(1)123n n n ----+≥+++⋅⋅⋅+……………………………………………14分。