学年高中数学第章解三角形..三角形中的几何计算课时作业含解析新人教A版必修
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即6＝b2＋c2－ bc，①
由b2－bc－2c2＝0得b＝2c或b＝－c(舍去)，
代入①得c＝2.
∴b＝4，sinA＝ ＝ .
S△ABC＝ bcsinA＝ ×4×2× ＝ .
答案：
13．a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋ asinC－b－c＝0.
(1)求A的大小．
(2)假设a＝7，求△ABC的周长的取值范围．
解析：4S＝b2＋c2－a2＝2bccosA，
∵4· bcsinA＝2bccosA，∴tanA＝1，
又∵A∈(0°，180°)，∴A＝45°.
答案：45°
三、解答题(每题10分，共20分)
9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosB＝ ，b＝2.
(1)当A＝30°时，求a的值；
(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．
解析：(1)因为cosB＝ >0，B∈(0°，90°)，所以sinB＝ .
由正弦定理 ＝ 可得 ＝ ，
所以a＝ .
(2)因为△ABC的面积S＝ ac·sinB，
sinB＝ ，所以 ac＝3，ac＝10.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，
即4＝a2＋c2－ ac＝a2＋c2－16，
cos60°＝ ，解得x＝2.
两边长是16与10，
三角形的面积是 ×16×10×sin60°＝40 .
答案：A
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.假设c2＝(a－b)2＋6，C＝ ，那么△ABC的面积是()
A．3 B.
C. D．3
解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a－b)2＋6，
在△ADC中，由正弦定理得 ＝ ，
所以AD＝ ＝2 －2.
(2)因为∠ADC＝180°－(30°＋45°)＝105°，
所以sin∠ADC＝sin(45°＋60°)＝ .
在△ADC中，由正弦定理得 ＝ ，所以AC＝2.设AB＝x.
在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠CAB，
课时作业5 三角形中的几何计算
[
一、选择题(每题5分，共25分)
1．在△ABC中，B＝60°，a＝4，其面积S＝20 ，那么c＝()
A．15B．16
C．4 D．20
解析：由三角形的面积公式S△ABC＝ acsinB，得 ×4×c×sin 60°＝20 ，解得c＝20，应选D.
答案：D
2．在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝8，那么△ABC的面积为()
解析：(1)由正弦定理得：
acosC＋ asinC－b－c＝0⇔sinAcosC＋ sinAsinC＝sinB＋sinC⇔sinAcosC＋ sinAsinC＝sin(A＋C)＋sinC⇔ sinA－cosA＝1⇔sin(A－30°)＝ ⇔A－30°＝30°⇔A＝60°.
(2)由：b>0，c>0，b＋c>a＝7，
可得x2－2 x－6＝0，
所以AB＝3 (舍负值)．
所以S△ABC＝ AC·AB·sin∠CAB＝3.
[
11．在△ABC中，AC＝ ，BC＝2，B＝60°，那么BC边上的高等于()
A. B.
C. D.
解析：设AB＝c，由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB，
即7＝c2＋4－2×2×c× ，即c2－2c－3＝0，
解析：因为S＝ absinC
＝ ×4×5sinC＝5 ，
所以sinC＝ .又因为0<C<π，所以C＝ 或C＝ ，所以由余弦定理得c2＝42＋52－2×4×5× ＝21或c2＝42＋52－2×4×5× ＝61，
所以c＝ 或c＝ .
答案： 或 .
8．在△ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2＋c2，那么角A＝________.
即a2＋c2＝20.
所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40.
因为a＋c>0，所以a＋c＝2 .
10．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAC＝30°，∠CAB＝45°，CD＝ － .
(1)求AD的长；
(2)假设BC＝ ，求△ABC的面积．
解析：(1)因为AB∥CD，所以∠DCA＝∠CAB＝45°，
∴AB＋BC＋AC＝3＋ .
答案：A
二、填空题(每题5分，共15分)
6．在△ABC中，a＝3 ，cosC＝ ，S△ABC＝4 ，那么b＝________.
解析：因为cosC＝ ，C∈(0，π)，所以sinC＝ ，
所以 absinC＝4 ，所以b＝2 .
答案：2
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S是△ABC的面积，假设a＝4，b＝5，S＝5 ，那么c＝________.
A．12 B．6
C．28 D.
解析：由余弦定理得，
cosB＝ ＝ ＝ ，
所以sinB＝ ＝ ，
所以S△ABC＝ acsinB＝ ×7×8× ＝6 .
答案：B
3．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，那么这个三角形的面积为()
40 B．20
C．40 D．20
解析：设另两边长为8x,5x，那么
∴ab＝6，∴S△ABC＝ absinC＝ ×6× ＝ .
答案：C
5．△ABC的面积为 ，AC＝ ，∠ABC＝ ，那么△ABC的周长等于()
A．3＋ B．3
C．2＋ D.
解析：由得 ＝ AB·BCsin ，
∴AB·BC＝2.
由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝AB2＋BC2－AB·BC＝(AB＋BC)2－3AB·BC＝(AB＋BC)2－6，又AC＝ ，∴AB＋BC＝3.
所以c＝3或c＝－1(负值舍去)．
设BC边上的高等于h，
由三角形面积公式S△ABC＝ AB·BC·sinB＝ BC·h，即 ×3×2×sin 60°＝ ×2×h，解得h＝ .应选B.
答案：B
12．在△ABC中，b2－bc－2c2＝0，a＝ ，cosA＝ ，那么△ABC的面积为________．
解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，
由余弦定理49＝b2＋c2－2bccos ＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－ (b＋c)2＝ (b＋c)2(当且仅当b＝c时等号成立)，
所以(b＋c)2≤4×49，又b＋c>7，所以7<b＋c≤14，即14<a＋b＋c≤21.
从而△ABC的周长的取值范围是(14,21]．
由b2－bc－2c2＝0得b＝2c或b＝－c(舍去)，
代入①得c＝2.
∴b＝4，sinA＝ ＝ .
S△ABC＝ bcsinA＝ ×4×2× ＝ .
答案：
13．a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋ asinC－b－c＝0.
(1)求A的大小．
(2)假设a＝7，求△ABC的周长的取值范围．
解析：4S＝b2＋c2－a2＝2bccosA，
∵4· bcsinA＝2bccosA，∴tanA＝1，
又∵A∈(0°，180°)，∴A＝45°.
答案：45°
三、解答题(每题10分，共20分)
9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosB＝ ，b＝2.
(1)当A＝30°时，求a的值；
(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．
解析：(1)因为cosB＝ >0，B∈(0°，90°)，所以sinB＝ .
由正弦定理 ＝ 可得 ＝ ，
所以a＝ .
(2)因为△ABC的面积S＝ ac·sinB，
sinB＝ ，所以 ac＝3，ac＝10.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，
即4＝a2＋c2－ ac＝a2＋c2－16，
cos60°＝ ，解得x＝2.
两边长是16与10，
三角形的面积是 ×16×10×sin60°＝40 .
答案：A
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.假设c2＝(a－b)2＋6，C＝ ，那么△ABC的面积是()
A．3 B.
C. D．3
解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a－b)2＋6，
在△ADC中，由正弦定理得 ＝ ，
所以AD＝ ＝2 －2.
(2)因为∠ADC＝180°－(30°＋45°)＝105°，
所以sin∠ADC＝sin(45°＋60°)＝ .
在△ADC中，由正弦定理得 ＝ ，所以AC＝2.设AB＝x.
在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠CAB，
课时作业5 三角形中的几何计算
[
一、选择题(每题5分，共25分)
1．在△ABC中，B＝60°，a＝4，其面积S＝20 ，那么c＝()
A．15B．16
C．4 D．20
解析：由三角形的面积公式S△ABC＝ acsinB，得 ×4×c×sin 60°＝20 ，解得c＝20，应选D.
答案：D
2．在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝8，那么△ABC的面积为()
解析：(1)由正弦定理得：
acosC＋ asinC－b－c＝0⇔sinAcosC＋ sinAsinC＝sinB＋sinC⇔sinAcosC＋ sinAsinC＝sin(A＋C)＋sinC⇔ sinA－cosA＝1⇔sin(A－30°)＝ ⇔A－30°＝30°⇔A＝60°.
(2)由：b>0，c>0，b＋c>a＝7，
可得x2－2 x－6＝0，
所以AB＝3 (舍负值)．
所以S△ABC＝ AC·AB·sin∠CAB＝3.
[
11．在△ABC中，AC＝ ，BC＝2，B＝60°，那么BC边上的高等于()
A. B.
C. D.
解析：设AB＝c，由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB，
即7＝c2＋4－2×2×c× ，即c2－2c－3＝0，
解析：因为S＝ absinC
＝ ×4×5sinC＝5 ，
所以sinC＝ .又因为0<C<π，所以C＝ 或C＝ ，所以由余弦定理得c2＝42＋52－2×4×5× ＝21或c2＝42＋52－2×4×5× ＝61，
所以c＝ 或c＝ .
答案： 或 .
8．在△ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2＋c2，那么角A＝________.
即a2＋c2＝20.
所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40.
因为a＋c>0，所以a＋c＝2 .
10．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAC＝30°，∠CAB＝45°，CD＝ － .
(1)求AD的长；
(2)假设BC＝ ，求△ABC的面积．
解析：(1)因为AB∥CD，所以∠DCA＝∠CAB＝45°，
∴AB＋BC＋AC＝3＋ .
答案：A
二、填空题(每题5分，共15分)
6．在△ABC中，a＝3 ，cosC＝ ，S△ABC＝4 ，那么b＝________.
解析：因为cosC＝ ，C∈(0，π)，所以sinC＝ ，
所以 absinC＝4 ，所以b＝2 .
答案：2
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S是△ABC的面积，假设a＝4，b＝5，S＝5 ，那么c＝________.
A．12 B．6
C．28 D.
解析：由余弦定理得，
cosB＝ ＝ ＝ ，
所以sinB＝ ＝ ，
所以S△ABC＝ acsinB＝ ×7×8× ＝6 .
答案：B
3．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，那么这个三角形的面积为()
40 B．20
C．40 D．20
解析：设另两边长为8x,5x，那么
∴ab＝6，∴S△ABC＝ absinC＝ ×6× ＝ .
答案：C
5．△ABC的面积为 ，AC＝ ，∠ABC＝ ，那么△ABC的周长等于()
A．3＋ B．3
C．2＋ D.
解析：由得 ＝ AB·BCsin ，
∴AB·BC＝2.
由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝AB2＋BC2－AB·BC＝(AB＋BC)2－3AB·BC＝(AB＋BC)2－6，又AC＝ ，∴AB＋BC＝3.
所以c＝3或c＝－1(负值舍去)．
设BC边上的高等于h，
由三角形面积公式S△ABC＝ AB·BC·sinB＝ BC·h，即 ×3×2×sin 60°＝ ×2×h，解得h＝ .应选B.
答案：B
12．在△ABC中，b2－bc－2c2＝0，a＝ ，cosA＝ ，那么△ABC的面积为________．
解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，
由余弦定理49＝b2＋c2－2bccos ＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－ (b＋c)2＝ (b＋c)2(当且仅当b＝c时等号成立)，
所以(b＋c)2≤4×49，又b＋c>7，所以7<b＋c≤14，即14<a＋b＋c≤21.
从而△ABC的周长的取值范围是(14,21]．