立体几何体积问题

立体几何体积问题

1、在如图所示的五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=，//EF 平面ABCD ，22EA ED AB EF ====，M 为BC 中点.

（1）求证//FM 平面BDE ；

（2）若平面ADE ⊥平面ABCD ，求F 到平面BDE 的距离.

【答案】（1）见解析；（2

（2取AD 所以所以因为所以S ∆设F 所以由解得h =即F 2、如图，在五面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，EF DC ，平面ABCD ⊥平面CDEF ，AE CF ⊥.

(1)求证CF DE ⊥；

(2)若CF DE =，24DC EF ==，求五面体ABCDEF 的体积.

【答案】(1)见解析(2)203

（Ⅱ因为平面所以FM 因为CF 所以FM ＝＋＝32MC =，O 为AD （Ⅰ）若（Ⅱ

【答案】方法二

∵平面

∵PAD ∆为等边三角形，2AD AB ==,∴AO =

∵底面ABCD 为菱形，∠BAD=60°，2AB =

由(Ⅰ)BO ⊥AD ∴11222OBC S BC OB ∆=

⨯⨯=⨯=∵PM=2MC

∴22212123333333

P OBM M POB C POB P OBC OBC V V V V S PO ----∆====⨯⨯=⨯= 4、已知多面体ABCDEF 中，四边形ABFE 为正方形，90CFE DEF ︒∠=∠=，22DE CF EF ===，G 为

AB 的中点，3GD =.

（Ⅰ）求证AE ⊥平面CDEF ；

（Ⅱ）求六面体ABCDEF 的体积.

【答案】（1）见解析（2）83

（Ⅱ由（Ⅰ所以V 所以V 5.ABC -，M ，N (1)求证(2)D -【答案】(2)

OBD 中，OB OD =，作DS OB ⊥于S ，∴DS =，∴60DOB ∠=︒， ∴OBD 为等边三角形，∴S 与N 重合，即DN ⊥平面ABC ，

易知D MNC C DMN V V --=.

∵CO ⊥平面DOB ，∴2h CO ==，∴1113132224

DMN ODN S S ==⨯⨯⨯=，

∴11233D MNC C DMN DMN V V S CO --==⋅==6.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，其对角线的交点为O ，且1AB AC =，1AB B C ⊥. ⑴求证AO ⊥平面11BB C C ；

(2)设1160B BC B AC ∠=∠=︒，若三棱锥1A BCC -的体积为1，求点1C 到平面1ABB 的距离.

【答案】（1）见解析（2

试

题解析

（1)证明∴1B C ⊥∵AB ⊥∴1B C ⊥又AO ⊂平面1ABC ，

∴1B C AO ⊥．

∵1AB AC =,O 是1BC 的中点，

∴1AO B C ⊥，

∵11B C BC O ⋂=，

∴AO ⊥平面11BB C C .

在Rt ABO ∆

中，BO x === 在Rt BCO ∆

中，AB x ==

=

11122ABB S AB ∆=⨯==， 设点1C 到平面1ABB 的距离为h ，

由1

C V -

得13S ∆⋅解得h =即点1C 7（I （II （II ）设AB =x ，在菱形ABCD 中，由ÐABC =120°，可得AG =GC x ,GB =GD =2x .学 8、如图，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，PA =6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连结PE 并延长交AB 于点G .

（Ⅰ）证明G 是AB 的中点；

（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）作图见解析，体积为4

3

.

试题

解析（I

因为D 所以AB （II

PAC ，即点F

连结CG 由（I 9、DEF △沿EF (Ⅰ)证明(Ⅱ)若5,6,,4

AB AC AE OD'====求五棱锥D'ABCFE -的体积. 【答案】（Ⅰ）详见解析；【解析】

试题分析（Ⅰ）证AC EF ∥，再证.AC HD '⊥（Ⅱ）证明OD OH '⊥，再证'⊥OD 平面ABC ，最后根据锥体的体积公式求五棱锥D'ABCFE -的体积.

试题解析（I ）由已知得,.⊥=AC BD AD CD

又由=AE CF 得=AE CF AD CD

，故.AC EF ∥

10、如图，四棱锥P ABC -D 中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．

（I ）证明MN ∥平面PAB ；

（II ）求四面体N BCM -的体积.

【答案】（I ）见解析；（II

【解析】

试题分析AT ，的一半，BC //，21=TN 又AD //因为AT