八年级数学第2讲.倍长中线与截长补短.提高班.学生版

三角形9级 全等三角形的经典模型（二）
三角形8级
全等三角形的经典模型（一） 三角形7级
倍长中线与截长补短
倍长中线与截长补短
漫画释义
满分晋级
2
倍长中线 与截长补短
定 义
示例剖析
倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．
其目的是构造一对对顶的全等三角形； 其本质是转移边和角．
E
D
A
B
C
其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．
【例1】 已知ABC △中，AD 平分BAC ∠，且BD CD =，求证：AB AC =．
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例题精讲
思路导航
题型一：倍长中线
A
B
D
【例2】 ⑴如下左图，已知ABC △中，AB AC =，CE 是AB 边上的中线，
延长AB 到D ，使BD AB =．给出下列结论：①AD =2AC ；②CD =2CE ；③∠ACE =∠BCD ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是 ．
⑵如下右图，在△ABC 中，点D 、E 为边BC 的三等分点，给出下列结论：①BD =DE =EC ；②AB +AE ＞2AD ；③AD +AC ＞2AE ；④AB +AC ＞AD +AE ，则以上结论正确的是 ．
【例3】 如图，已知在ABC △中，AD 是BC 边上的中
线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．
【例4】 在正方形ABCD 中，PQ ⊥BD 于P ，M 为QD 的中点，试探究MP 与MC 的关系．
A
B
Q
P
M
D
C B
A
典题精练
题型二：截长补短
E
D
C
B
A
F
E D C
B A M
E
D B
E
D C B A
A
定 义
示例剖析
截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段
D
C
B
A
在线段AB 上截取AD AC =
补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等
A
B C D
延长AC ，使得AD AB =
【例5】 在ABC △中，A ∠的平分线交BC 于D ，AB AC CD =+，40B ∠=︒，求C ∠的大小．
D C
B A
【例6】 如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ．
求证：AB BD AC +=．
典题精练
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例题精讲
【例7】 已知：在ABC △中，AB CD BD =-，AD BC ⊥，求证：2B C ∠=∠．
【例8】 已知：正方形ABCD 中，∠MAN =45°，绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它
们的延长线）于点M 、N ．
⑴如图1，当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时，有BM +DN =MN ．当∠MAN 绕点A 旋转到
BM DN ≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，
请说明理由；
⑵当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜
想，并证
D C
B
A
明．
D
C B A
训练1. 已知AD 为ABC △的中线，ADB ∠、ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：
BE CF EF +>．
F
E A
B D C
训练2. 如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 是BC 边上
的一点，且AF 平分DAE ∠，求证：AE EC CD =+
训练3. 如图，ABC △中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．
训练4. 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDE ．
思维拓展训练(选讲)
F E D C
B A C
E
D B A
题型一 倍长中线 课后演练
【演练1】 在ABC △中，59AB AC ==，，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？
【演练2】 在Rt ABC △中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若
3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．
F
E
D
C
B
A
题型二 截长补短 课后演练
【演练3】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，
射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?(提示：过点M 作MG BD ∥交AD 于点G )
N
E
B M A D
【演练4】 如图所示，已知ABC △中，AC BC =，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，求证：AC CD AB +=． 复习巩固
C
【演练5】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .
F E
D
C
B A
第十五种品格：创新
巧问巧答
从前，有个有智慧的国王在大臣们的陪同下，来到御花园散步。

国王瞧着前面的水池，忽然心血来潮，灵机一动，出了一个题目考问身边的大臣：“这水池里共有多少桶水？”
众臣一听，面面相觑，全答不上来。

国王发旨：“给你们三天考虑，谁回答上来就重赏！”
大臣们用桶量来量去，怎么也量不出一个确切数据。

很快三天到了，大臣们仍一筹莫展。

就在此时，一个少年走向宫殿，向国王声称自己知道池塘有多少桶水。

国王命令那些战战兢兢的大臣带少年去看池塘。

少年轻松地笑道：“不用看了，这个问题太容易了！”
国王乐了：“哦，那你就说说吧。

”
少年眨了眨眼说：“这个问题关键取决于桶的大小，如果和水池一样大，那池里就是一桶水；如果桶只有水池的一半大，那池里就有两桶水；如果桶只有水池的三分之一大，那池里就有三桶水；如果……”
“好，完全正确！”国王重赏了这个少年。

知识本身不会使一个人具有创造力。

……创造力的真正关键在于如何活用知识。

活用知识和经验来寻找新点子、新创意，就是培养创造性思考所需的态度。

今天我学到了。