2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版

2013年全国统一考试数学文史类(新课标全国卷I)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )．
A ．{1,4}
B ．{2,3}
C ．{9,16}
D ．{1,2}
2．(2013课标全国Ⅰ，文2)212i 1i +(-)
＝( )． A ．
11i 2-- B ．11+i 2- C ．11+i 2 D ．11i 2- 3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．
A ．12
B ．13
C ．14
D ．1
6
4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)
C 的渐近线方程为( )．
A ．y ＝14x ±
B ．y ＝13x ±
C ．y ＝12x
± D ．y ＝±x 5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p ：∀x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )．
A ．p ∧q
B ．⌝p ∧q
C ．p ∧⌝q
D ．⌝p ∧⌝q
6．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为23
的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )．
A ．Sn ＝2an －1
B ．Sn ＝3an －2
C ．Sn ＝4－3an
D ．Sn ＝3－
2an
7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则
输出的s 属于( )．
A ．[－3,4]
B ．[－5,2]
C ．[－4,3]
D ．[－2,5]
8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2
＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF |
＝POF 的面积为( )．
A ．2 B
．
．．4
9．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )．
10．(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，
a ＝7，c ＝6，则
b ＝( )．
A ．10
B ．9
C ．8
D ．5
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．
A ．16＋8π
B ．8＋8π
C ．16＋16π
D ．8＋16π
22,0,ln(1),0.
x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若|f (x )|≥ax ，则a 12．已知函数f (x )＝的取值范围是( )．
A ．(－∞，0]
B ．(－∞，1]
C ．[－2,1]
D ．[－2,0]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝
______.
14．设x ，y 满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩
则z ＝2x －y 的最大值为______． 15．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．
16．设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17． (本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和．
18． (本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：
服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1
2.3 2.4
服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2
2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
19． (本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.
(1)证明：AB ⊥A 1C ；
(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C
，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．
20． (本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝
f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.
(1)求a ，b 的值；
(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．
21． (本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y
2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .
(1)求C 的方程；
(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |. 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22． (本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .
23． (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩
(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
24． (本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.
(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；
(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．
2013年全国统一考试数学文史类(新课标全国卷I)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．
答案：A
解析：∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}，
∴A ∩B ＝{1,4}．
2．
答案：B 解析：212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22
++(+)-+===(-)-＝11+i 2-. 3．
答案：B
解析：由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为
13
. 4．
答案：C 解析：
∵2e =
2
c a =，即2254c a =. ∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214
b a =.∴12b a =. ∵双曲线的渐近线方程为b y x a
=±， ∴渐近线方程为12
y x =±.故选C. 5．
答案：B
解析：由20＝30知，p 为假命题．令h (x )＝x 3－1＋x 2，
∵h (0)＝－1＜0，h (1)＝1＞0，
∴x 3－1＋x 2＝0在(0,1)内有解．
∴∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，即命题q 为真命题．由此可知只有⌝p ∧q 为真命题．故选B.
6．
答案：D 解析：11211321113n
n n n a a a q a q S q q --(-)===---＝3－2a n ，故选D. 7．
答案：A
解析：当－1≤t ＜1时，s ＝3t ，则s ∈[－3,3)．
当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2.
∵该函数的对称轴为t ＝2，
∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．
∴s max ＝4，s min ＝3.
∴s ∈[3,4]．
综上知s ∈[－3,4]．故选A.
8．
答案：C
解析：利用|PF |
＝P x =x P
＝
∴y P ＝±∴S △POF ＝
12
|OF |·|y P |＝故选C. 9．
答案：C
解析：由f (x )＝(1－cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
时，f (x )＞0，排除A. 当x ∈(0，π)时，f ′(x )＝sin 2x ＋cos x (1－cos x )＝－2cos 2x ＋cos x ＋1.
令f ′(x )＝0，得2π3x =
. 故极值点为2π3x =
，可排除D ，故选C. 10．
答案：D
解析：由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得cos 2A ＝
125. ∵A ∈π0,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，∴cos A ＝15. ∵cos A ＝2364926b b +-⨯，∴b ＝5或135b =-(舍)． 故选D.
11．
答案：A
解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．
V 半圆柱＝12
π×22×4＝8π， V 长方体＝4×2×2＝16.
所以所求体积为16＋8π.故选A.
12．
答案：D
解析：可画出|f (x )|的图象如图所示．
当a ＞0时，y ＝ax 与y ＝|f (x )|恒有公共点，所以排除B ，C ；
当a ≤0时，若x ＞0，则|f (x )|≥ax 恒成立．
若x ≤0，则以y ＝ax 与y ＝|－x 2＋2x |相切为界限，
由2,2,y ax y x x =⎧⎨=-⎩
得x 2－(a ＋2)x ＝0. ∵Δ＝(a ＋2)2＝0，∴a ＝－2.
∴a ∈[－2,0]．故选D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．答案：2
解析：∵b ·c ＝0，|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝111122
⨯⨯
=. ∴b ·c ＝[t a ＋(1－t )b ]·b ＝0，
即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0.
∴1
2t ＋1－t ＝0.
∴t ＝2.
14．答案：3
解析：画出可行域如图所示．
画出直线2x －y ＝0，并平移，当直线经过点A (3,3)时，z 取最大
值，且最大值为z ＝2×3－3＝3.
15．答案：9
π2
解析：如图，
设球O 的半径为R ，
则AH ＝23R
，
OH ＝3R
.
又∵π·EH 2＝π，∴EH ＝1.
∵在Rt△OEH 中，R 2＝2
2+13R ⎛⎫
⎪⎝⎭，∴R 2＝9
8.
∴S 球＝4πR 2＝9π
2.
16．
答案：
解析：∵f (x )＝sin x －2cos x
x －φ)，
其中sin φ
＝5，cos φ
＝5.
当x －φ＝2k π＋π
2(k ∈Z )时，f (x )取最大值．
即θ－φ＝2k π＋π
2(k ∈Z )，θ＝2k π＋π
2＋φ(k ∈Z )．
∴cos θ＝πcos 2ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－sin φ
＝5-.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．
解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝1(1)
2n
n na d -+.
由已知可得11330,5105,
a d a d +=⎧⎨+=⎩
解得a 1＝1，d ＝－1.
故{a n }的通项公式为a n ＝2－n .
(2)由(1)知21211n n a a -+＝1
11
132
1222321n n n n ⎛
⎫
=- ⎪(-)(-)--⎝⎭，
从而数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为 ＝12n
n -.
18．
解：(1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y. 由观测结果可得
x＝1
20
(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0
＋3.1＋3.2＋3.5) ＝2.3，
y＝1
20
(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5
＋2.6＋2.7＋3.2)
＝1.6.
由以上计算结果可得x＞y，因此可看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有
7
10
的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有
7
10
的
叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．
19．
(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.
因为CA＝CB，
所以OC⊥AB.
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，
故△AA1B为等边三角形，
所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.
又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，
所以OC＝OA1
又A1C A1C2＝OC2＋2
1
OA，
故OA1⊥OC.
因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．
又△ABC的面积S△ABC ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3. 20．
解：(1)f′(x)＝e x(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.
故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4e x(x＋1)－x2－4x，
f′(x)＝4e x(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)·
1
e
2
x
⎛⎫
-
⎪⎝⎭
.
令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；
当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
21．
解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，
其方程为22
=143
x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，
所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.
所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.
若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |
＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则
1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．
由l 与圆M
＝1，解得k
＝当k
＝4
时，将4y x =22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2
＝47
-±， 所以|AB |
|x 2－x 1|＝187
. 当k
＝-|AB |＝187. 综上，|AB |
＝|AB |＝187
. 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．
(1)证明：连结DE ，交BC 于点G .
由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .
而∠ABE ＝∠CBE ，
故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .
又因为DB ⊥BE ，
所以DE 为直径，∠DCE ＝90°，
由勾股定理可得DB ＝DC .
(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，
故DG 是BC 的中垂线，
所以BG
. 设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°.
从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，
所以CF ⊥BF ，
故Rt△BCF
23．
解：(1)将45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨
=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25， 即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.
将cos ,sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C 1的极坐标方程为
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝
0.
由2222810160,20
x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩
或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 所以C 1与C 2
交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 24．
解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，
则y ＝15,,
2
12,1,2
36, 1.
x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩
其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.
所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．
(2)当x ∈1
,22a ⎡
⎫
-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a .
不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.
所以x ≥a －2对x ∈1,22a
⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a
-≥a －2，即a ≤4
3.
从而a 的取值范围是41,3⎛⎤
- ⎥⎝⎦
.。