概率论作业习题

他就改为步行.求甲在一天内步行次数恰好是 2 次的概率
2 41．设Ｘ服从 N (a, ) 分布，求:
(1) P{| X a | } .(2) P{| X a | 2 } .(3) P{| X a | 3 } . 42. 设 XN(0,1).求 b 使： （1）P{|X|<b}=0.05. (2)P{X>b}=0.05. (3)P{X<b}=0.05. 测量某目标的距离时，误差 X（m） ，且知 XN(20,402),求三次测量中至少有一次误差绝对值 不超过 30m 的概率. 43．某汽车加油站的油库每周需油量 X(kg)服从 N（500，502）分布.为使该站无油可售的概 率小于 0.01，这个站的油库容量起码应多大？ 44．在电源电压不超过 200v, 200~240v，和超过 240v 三种情况下，某电器损坏的概率分
(1) 求常数Ａ; (2) P{ X 0.5}. (3)求 F(x) 40．某甲上班地点离家仅一站路.他在公共汽车站候车时间为Ｘ（分钟） ，Ｘ服指数分布.其
x 1 1 4 f ( x) 4 e 0 概率密度为
x0 x0
.甲每天要在车站候车 4 次，每次若候车时间超过 5 分钟，
（5）若 AB 且 C A ，则 BC 。
A {x | x 1} B {x | x } 4 2 。具体写出下列各事件： 2 7.设 S {x |0 x 2} ， ， 1 1 3
（1） A B ；
（2） A B ；
（3） A B
（4） AB
48. 设随机向量（X,Y）具有密度函数，
,(1)求 c,(2)求 P{X<2},P{Y>2}
x 1, y 1 其它
( a x 2 )(1 e y 1 ) F ( x, y ) b 49.二维随机变量(X,Y)的分布函数为
，
(1)求参数 a,b ;(2)求 P{1 X 2,0 Y 1} 50．设随机向量（X,Y）在区域 D {( x, y );0 x 1,0 y 2} 上服从均匀分布,求 X 与 Y 至 少有一个小于 1 2 的概率.
37．设随机变量 X 的概率密度为
， （1）确定常数 C ，并求
。X 的分布函数； （2）求 x 0 使 P{ X x0 } 0.05 。
2 38．设 X 均匀分布于区间[-2，5]，求方程 4u 4 Xu X 2 0 有实根的概率。
A(1 2 x ) 0 x 1 f ( x) 0 其它 ,求： 39.已知Ｘ的概率密度为
1 1 1 ( , ), ( ,1) 2 4 2 两点的值.
47．将一枚硬币连抛 3 次，以 X 表示出现的正面次数，Y 表示出现反面的次数，求 X 与 Y 的 联合分布律，并求事件“至少出现一次正面、一次反面”的概率。
ce y 1 f ( x, y ) x 2 0 x 1, y 1 其它
8．一袋中有十个质地、形状相同且编号分别为 1、2、…、10 的球.今从袋中任意取出三个 球并记录球上的号码，求（1）最小号码为 5 的概率， （2）最大号码为 5 的概率， （3）一个 号码为 5，另外两个号码一个大于 5，一个小于 5 的概率。 9．在 1500 个产品中有 400 个次品，1100 个正品.任取 200 个，求（1）恰好有 90 个次品的 概率； （2）至少有两个次品的概率。 10．将一枚骰子重复掷 n 次，试求掷出的最大点数为 5 的概率。 11．从 5 双不同的鞋中任取 4 只，求这 4 只鞋子中至少有两只能配成一双的概率。 12．将 3 个球随机地放入 4 个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为 1，2，3 的概率。 13．把长为 l 的棒任意折成 3 段,求此三段能构成一个三角形的概率。 14．在矩形 {( a , b ) : 1 a 2, 1 b 1} 中任取一点,求使方程 ax b 0 的解大于 1 的概率.
2 别为 0.01,0.001,和 0.1， 假设电源电压 X 服从正态分布 N (220, ) ,且知电压在 250v 以下的
概率为 0.9,现该电器损坏,求损坏时电源电压在 200240v 之间的概率.
45.一个电子部件包含两个主要元件，分别以 X,Y 表示这两个元件的寿命（以小时计） ，设
概
率
论
作
业
1．写出下列随机试验的样本空间： (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分） ； (2)在单位圆内任取一点，记录它的坐标； (3)一射手射击，直到击中目标为止，观察射击情况。 (4)把 A，B 两个球随机地放到 3 个盒子中去，观察球的分布情况（假设每个盒子可容纳球的 个数不限） 。
2, 3, 4) ，试用 A i 表示 2．一工人生产了四件产品，以 A 表示他生产的第 i 件产品是正品 (i 1,
(i 1, 2, 3, 4 )下列事件：
(1)没有一件产品是次品； (2)至少有一件产品是次品； (3)恰有一件产品是次品； (4)至少有两件产品不是次品。 3．对飞机进行两次射击，每次射一弹，设事件 A={第一次击中飞机}，B={第二次击中飞机} C={恰有一弹击中飞机}，D={至少有一弹击中飞机}，E={两弹都击中飞机}。 (1)试用事件 A，B，表示事件 C，D，E。(2)C 与 E 是互逆事件吗？为什么？ 4．从一批产品中任意抽取 5 件样品进行质量检查。记事件 A i 表示“发现 i 件次品”
1 1 P ( A) P ( B ) , P ( A | B ) 3 6 ，求 P ( A | B )
23. 掷 3 颗骰子，若已知出现的点数没有两个相同，求至少有一颗骰子是一点的概率。 24．袋中有 3 个白球和一个红球，逐次从袋中摸球，每次摸出一球，如是红球则把它放回， 并再放入一只红球，如是白球，则不放回，求第 3 次摸球时摸到红球的概率？ 25．设有甲乙两袋，甲袋中装有 3 只白球、2 只红球，乙袋中装有 2 只白球、3 只红球。今 从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？ 26．袋中装有 5 枚正品硬币、3 枚次品硬币（次品硬币两面均印有国徽） 。从袋中任取一枚 硬币，将它投掷 3 次，已知每次均出现国徽，问这枚硬币是正品硬币的概率是多少？ 27．有甲、乙、丙三门火炮同时独立地向某目标射击，命中率分别为 0.2,0.3,0.5,求（1） 至少有一门火炮命中目标的概率； （2）恰有一门火炮命中目标的概率。 28．盒中有 10 个合格品，3 个次品，从盒中一件一件的抽取产品检验(取后不再放回)，以 X 表示直到取到第一件合格品为止所需检验次数，求 X 的分布律，并求概率 P{ X 3} 。 29．袋中装有编上号码 1,2,…,9 的九个性质相同的球，从袋中任取 5 个球，以 X 表示所取 的 5 个球中偶数号球的个数，求 X 的分布律，并求其中至少有两个偶数号球的概率。 30．射手对目标独立射击 5 发,单发命中概率为 0.6,求(1)恰好命中两发的概率;(2)至多命 中 3 发的概率;(3)至少命中一发的概率. 31． 从仲恺农业工程学院到火车站途中有六个路口， 假设在各路口遇到红灯的事件相互独立， 且概率都是 1 3 ， （1）以 X 表示途中遇到的红灯次数，求 X 的分布律， （2）以 Y 表示汽车行 驶途中在停止前所通过的路口数，求 Y 的分布律。 （3）求从仲恺农业工程学院到火车站途中 至少遇到一次红灯的概率。 32．假设某汽车站在任何长为 t（分）的时间内到达的候车人数 N（t）服从参数为 3t 的泊 松分布。 （1）求在相邻两分钟内至少来 3 名乘客的概率； （3）求在连续 5 分钟内无乘客到达 的概率。 33．某种疾病的发病率为 0.01,求下列概率的近似值。 (1)100 个人中恰有一人发病的概率
(i 0, 1, 2, , 5)，试用 A i 来表示下列事件：
（1）发现 2 件或 3 件次品； （2）最多发现 2 件次品； （3）至少发现 1 件次品。 5．把事件 A B 与 A B C 分别写成互不相容事件和的形式。 6．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立？
A B ) ； （1） A B AB B ； （2） ( A B )C A B C ； （3） (AB )( （4）若 A B ，则 A AB ；
P (A )
1 1 P (B ) 2 3，
。在下列三种情况下求 P (B A )的值： （3）
P (AB ) 1 8
（1） AB ；
（2） A B ；
17．设 A、B 为两个事件且 P(A)=0.6，P(B)=0.7.问（1）在什么条件下 P(AB)取最大值，最 大值是多少？（2）在什么条件下 P(AB)取最小值，最小值是多少？ 18．设 A1、A2 为两个事件，证明 （1）P(A1A2)= 1-P( A1 )-P( A2 )+P( A1 A2 ) （2）1-P( A1 )-P( A 2 ) P(A1A2) P(A1A2) P(A1) +P(A2) 19．设 A、B 为两个事件，P(B)=0.5，P(A-B)=0.3。求 P( A B ). 20．A、B 为两个事件且 P(A)=1/2，P(B)=1/2，证明 P(AB)=P( A B ).。 21.已知 P ( A) 0.3, P ( B ) 0.4, P ( A B ) 0.5, 求 P ( B | A B ) 22.设 A，B 是两个事件，
（1）求参数 A，B（2）求 X 的分布律。
A Be x F ( x) 0 36．设连续型随机变量 X 的分布函数为 x0 x0
，其中 0 是
常数。求（1）参数 A，B， （2） P{ X 2}, P{ X 3} （3）X 的概率密度
Cx 2 1 x 2 f ( x ) Cx 2 x 3 0 others
4
15．设事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 必发生，则正确的结论是_____ （1） P (C ) P (A ) P (B ) 1 （3） P (C ) P (AB ) （2） P (C ) P (A ) P (B ) 1 （4） P (C ) P (A B )
16．设
1 e 0.01x e 0.01 y e 0.01( x y ) F ( x, y ) 0 , 的分布函数为 x 0, y 0 其它
;求两个元件的寿命都
超过 120 小时的概率. 46. 设 X 与 Y 的联合密度函数为 (1)求参数 A， （2）求 P(2X-Y<1) ,(3)求分布函数在
1 (1 x ) 4 0 x 1, y 1 1 2 (7 10 y 3 y ) x 1, | y | 1 20 F ( x, y ) 1 (7 10 y 3 y 2 )[1 (1 x 4 )] 0 x 1, | y | 1 20 1 x 1, y 1 0 其它 51.二维随机变量(X,Y)服从分布函数:
为多少？ (2) 100 个人中至少有一人发病的概率为多少？ 34．设随机变Байду номын сангаас X 的所有可能取值为 1，2，3，4，已知 P{ X k } 正比于 k 值 ，求 X 的分布律及分布函数，并求 P{ X 3}, P{ X 3}, P{ X 3} 。
x2 A 1 2 x 4 F ( x) 8 3 4 x6 8 x6 B 35．设离散型随机变量 X 的分布函数为