第一章n阶行列式的定义

an1bn1 an2bn2 ann
1 a a a b t p1 p2pn 1 p1 2 p2
12n p1 p2 pn
npn
p1 p2 pn
由于 p1 p2 pn 1 2 n, 所以
D2
1 a a a b t p1 p2pn 1 p1 2 p2
12n p1 p2 pn
5、 a1 p1a2 p2 anpn 的符号为 1t .
特殊行列式：
a 11
(1) 主对角行列式：
a 22
a a a
11 22
nn
(2) 副对角行列式：
a nn a 1n
a 2 n1
a n1
n n1
(1) 2 a a
a
1n 2 n1
n1
a11
(3)
下三角行列式：
a21
a22
a11a22 ann
一、概念的引入
三阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
（3）每一项的三个元素，行标标准、列标非标准．
a1 p1a2 p2a3 p3
(其中
p 1
p 2
p 3
是由123组成的所有三级排列
)
（4）每一项的符号由列标的逆序数确定，列标
偶数取正，列标奇数取负。
(1)t a a a 1 p1 2 p2 3 p3
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1)t a1 p1a2 p2 a3 p3 .
an1 an2 ann 简记作 det(aij ). 数 aij 称为行列式det(aij ) 的元素．
其中 p1 p2 pn 为自然数1，2，，n 的一个排列， t 为这个排列的逆序数．
a11 a12 a1n
D
a21 a22 a2n
n
1 p1 2 p2
npn
p1 p2 pn
说明
1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的;
2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和;
3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积;
4、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
a31 a32 a33
a D 11
a 21
a 12
1t a
a
.
a
2！
1 p1 2 p2
22
二、n阶行列式的定义
定义 由 n2 个数组成的n 阶行列式等于所有
取自不同行不同列的n 个元素的乘积
的代数和
(1)t a1 p1a2 p2 anpn .
a11 a12 a1n
记作
D
a21
a22
a2n
对应于
1 1 2x 1
1 t a11a22a33a44 1 t1234a11a22a34a43
1 t a11a22a33a44 x3 , 1 t1234a11a22a34a43 2 x3
故 x3 的系数为 1.
an1bn1 an2bn2 ann 证明 D1 D2 .
证 由行列式定义有
a11 a12 a1n
D1
a21 a22 a2n
1
a a a t p1 p2pn
1 p1 2 p2
npn
p1 p2 pn
an1 an2 ann
a11 a12b1 a1nb1n
D2
a21b a22 a2nb2n
24.
4000
1234
例2
0421
D
?
0056
0008
1234
0421
D 0
0
5
6 a a a a 11 22 33 44 1 4 5 8 160.
0008
例3 设
a11 a12 a1n
D1
a21 a22 a2n
an1 an2 ann
a11 a12b1 a1nb1n
D2
a21b a22 a2nb2n
npn
p1 p2 pn
1
a a a t p1 p2pn
1 p1 2 p2
npn
p1 p2 pn
故 D1
1
a a a t p1 p2pn
1 p1 2 p2
npn
D2 .
p1 p2 pn
三、小结
1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解 方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需 要而定义的.
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
(4) 上三角行列式：
a22
a2n
a11a22 ann
ann
例1 计算对角行列式
0001 0020 0300 4000
解 行列式中不为零的项为 a a a a 14 23 32 41 .
0001
0 0
0 3
2 0
0 0
1t43211 2 3 4
2、 n 阶行列式共有 n!项，每项都是位于不同 行、不同列 的 n个元素的乘积,正负号由下标排
列的逆序数决定.
思考题
x1 1 2
已知 f x 1 x 1 1
32 x 1 1 1 2x 1 求 x3 的系数.
思考题解答
解 含 x3 的项有两项,即
x1 1 2
f x 1 x 1 1
32 x 1