河南省鲁山县一中2017_2018学年高二数学第一次月考试题文(含解析)

鲁山一高高二年级上学期第一次月考试题（文科数学）
第I卷（选择题　共60分）
选择题（本大题共有12个小题，每小题5分）
1. 不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】A
...............
2. 已知命题，则命题的真假及依次为( )
A. 真；
B. 真；
C. 假；
D. 假；
【答案】B
【解析】当时，，故命题为真命题；
∵，
∴.
故选：B
3. 各项为正的等比数列中,与的等比中项为,则的值为（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：由题意可知
考点：等比数列性质
4. 方程表示椭圆的必要不充分条件是（ ）
A. m∈（﹣1，2）
B. m∈（﹣4，2）
C. m∈（﹣4，﹣1）∪（﹣1，2）
D. m∈（﹣1，+∞）
【答案】B
【解析】方程表示椭圆的充要条件是，即，
因为，所以方程表示椭圆的必要不充分条件是
；故选B.
5. 实数满足，则的最小值是（）
A. -3
B. -4
C. 6
D. -6
【答案】B
【解析】试题分析：满足的区域如图所示：设，当经过图中的时最小，由
得，所以的最小值为，故选B.
考点：简单的线性规划；恒成立问题.
【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值问题，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
6. 已知圆O：，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段（在y轴上），M 在直线上且，则动点M的轨迹方程是( )
A. 4x2+16y2=1
B. 16x2+4y2=1
C.
D.
【答案】B
【解析】设 ,则由得 ,因为所以
,即,选D.
7. 如图，一货轮航行到处，测得灯塔在货轮的北偏东，与灯塔相距，随后货轮按北偏西的方向航行后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（
）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意，，由正弦定理得
，所以，速度为，故选B．
8. 已知是锐角三角形，若，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，在中，由正弦定理可得，又因为，所以
，又因为锐角三角形，所以所以
故选A．
9. 设直线与两坐标轴围成的三角形面积为，则
（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分别令x=0和y=0,得到直线nx+(n+1)y= (n∈N∗)与两坐标轴的交点：
(,0),(0, )，则=⋅⋅==−然后分别代入1，2， (2017)
则有.故答案为：A.
点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.
10. 已知函数f（x）=|lgx|.若0<a<b,且f（a）=f（b）,则a+2b的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，所以
，所以由得，即，所以，，令
，因为函数在区间上是减函数，故，故选C 点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.
(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.
11. 已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】D
考点：1．等差中项；2．等差数列的前项的和．
12. 设f（x）是定义在R上的增函数，且对任意x，都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，如果实数m，n满足不等式f（m2﹣6m+21）+f（n2﹣8n）＜0，那么m2+n2的取值范围是（）
A. （9，49）
B. （13，49）
C. （9，25）
D. （3，7）
【答案】A
【解析】试题分析：根据对于任意的x都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，不等式可化为f（m2﹣6m+21）＜f（﹣n2+8n），利用f（x）是定义在R上的增函数，可得（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4，确定（m﹣3）2+（n﹣4）2=4内的点到原点距离的取值范围，利用m2+n2表示（m﹣3）2+（n﹣4）2=4内的点到原点距离的平方，即可求得m2+n2的取值范围．
解：∵对于任意的x都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
∵f（m2﹣6m+21）+f（n2﹣8n）＜0，
∴f（m2﹣6m+21）＜﹣f（n2﹣8n）=f（﹣n2+8n），
∵f（x）是定义在R上的增函数，
∴m2﹣6m+21＜﹣n2+8n，
∴（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4
∵（m﹣3）2+（n﹣4）2=4的圆心坐标为：（3，4），半径为2，
∴（m﹣3）2+（n﹣4）2=4内的点到原点距离的取值范围为（5﹣2，5+2），即（3，7），
∵m2+n2表示（m﹣3）2+（n﹣4）2=4内的点到原点距离的平方，
∴m2+n2的取值范围是（9，49）．
故选：A．
考点：函数单调性的性质．
第Ⅱ卷（非选择题　共90分）
二.填空题(本大题共有4个小题，每小题5分，共20分)
13. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则实数等于__________．
【答案】8
【解析】焦点在y轴时，
14. 已知>0，>0，且，若恒成立，则实数的取值范围是
__________．
【答案】
【解析】因，
即，故，应填答案
15. 关于x的方程在内有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
【答案】k∈[0,1）
【解析】，
又，∴， . ,即k∈[0,1）点睛：
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
16. 对于数列，定义为的“优值”，现在已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的最大值为_____．
【答案】
【解析】由题设可知，则
，以上两式两边相减可得
，即，故，则
，由题意，即，应填答案。

点睛：解答本题关键是充分借助题设中新定义的“好值”的概念，借助题设条件得到，再运用数列通项之间的递推关系建立方程，即
，从而求得，进而借助题设中的，建立不等式组，即，通过解不等式组使得问题获解。

三、解答题（本大题共6题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在中，角的对边分别为，且．
（1）求角B的大小；
（2）若不等式的解集是，求的周长．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将边角关系化为角的关系：
，再根据两角和正弦公式及诱导公式得，即，最后根据三角形内角范围得角B的大小；（2）由二次方程根与对应二次不等式解集关系得a、c是方程的两根，由韦达定理得，，最后利用余弦定理求b,即得的周长．
试题解析：（1）由得,
即，得
即，得，又，于是
（2）依题意a、c是方程的两根，
由余弦定理得
，求的周长为．
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
18. 已知命题：方程表示椭圆，命题：，. （1）若命题为真，求实数的取值范围；
（2）若为真，为真，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）命题为真，就是对应不等式有解，m=0时恒成立，时结合二次函数图像列条件解得实数的取值范围；本题也可利用参变分离法求解（2）先根据椭圆标准方程分母符号得的取值范围，再根据为真，为真，得为假，解不等式得实数的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）∵命题为真，
当时，；当时，不等式恒成立.综上， .
（Ⅱ）若为真，则，.∵若为真，为真，∴为假∴
19. 在中，点为边上一点，且为的中点，
．
（1）求；
（2）求及的长．
【答案】（1）（2）AD=2，
【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用两角和的正弦公式求解；(2)依据题设运用正弦定理余弦定理建立方程进行探求.
试题解析：
（1）在中，因为，，所以，
即，所以，
即．
（2）由正弦定理，得，
依题意得，在中，由余弦定理得，即，所以，解得（负值舍去）．考点：两角和的正弦及正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．
20. 已知函数，函数在上的零点按从小到大的顺序构成数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及同角三角函数关系化简函数得
，再解三角方程得，即得数列是首项，公差的等差数列，根据等差数列通项公式求得数列的通项公式；（2）化简为，利用裂项相消法求数列的前项和．
试题解析：（Ⅰ），
由及得，数列是首项，公差的等差数列，所以．
（Ⅱ），
．
点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂
项求和，如或.
21. 某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．
（1）请将从甲地到乙地的运输成本（元）表示为航行速度（海里/小时）的函数；
（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？
【答案】（1）（2）40
【解析】试题分析：（1）运输成本由燃料费用和其他费用组成．每小时的燃料费用为, 其他费用为每小时800元，一共花费小时，注意列定义域，（2）根据基本不等式求最值，注意等于号取法.
试题解析：解：（1）由题意，每小时的燃料费用为，从甲地到乙地所用的时间为小时，则从甲地到乙地的运输成本，
故所求的函数为．
（2）由（1）得，
当且仅当，即时取等号．
故当货轮航行速度为40海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．
22. 已知正项数列的前项和为，数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：对任意正整数，都有成立；
（3）数列满足，它的前项和为，若存在正整数，使得不等式
成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）见解析（3）
【解析】试题分析：（1），当时，，两式相减求得
；（2），利用放缩法和裂项求和法求得
；（3）是一个等差数列乘以一个等比数列，所以利用错位相减法求得，原不等式转化为，当为偶数时，
，右边是一个减函数，最小值为，所以；当为奇数时，，右边是一个增函数，最大值为，所以．
试题解析：
（1），当时，，
两式相减得：，所以．
因为数列为正项数列，故，也即，
所以数列为以1为首项1为公差的等差数列，故通项公式为，．
（2）
，所以对任意正整数，都有成立．
（3）易知，则，①
，②
①-②可得：．
故，所以不等式成立，
若为偶数，则，所以．
设，则在单调递减，
故当时，，所以；
若为奇数，则，所以．
设，则在单调递增，
故当时，，所以．综上所述，的取值范围或．
考点：数列基本概念，数列求和，数列与不等式．
【方法点晴】本题考查数列基本概念，数列求和，数列与不等式等知识，对函数的单调性的讨论是第三问的难点和突破口．第一问是已知求，用，注意：当
时，若适合，则的情况可并入时的通项；当时，若不适合，则用分段函数的形式表示．第二问考查了放缩法和裂项求和法．第三问考查了分类讨论的思想．。