2021-2022年高二3月月考数学理试题 含答案

2021年高二3月月考数学理试题 含答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）
1、如图，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，CD 与BE 相交于点O ，下列条件中不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是（ ）
A. ∠B=∠C
B. ∠ADC=∠AEB
C .BE=C
D ，AB=AC D. AD ∶AC=A
E ∶AB
2．如右图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线，
∠B=70°，则∠BAC 等于（ ）
A. 70°
B. 20°
C. 35°
D. 10°
3．若点在以点为焦点的抛物线上，
则等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．极坐标方程表示的曲线为（ ）
A ．一条射线和一个圆
B ．两条直线
C ．一条直线和一个圆
D ．一个圆
5．在⊙O 中，直径AB 、CD 互相垂直，BE 切⊙O 于B ，且BE=BC ，CE 交AB 于F ，交⊙O 于M ，连结MO 并延长，交⊙O 于N ，则下列结论中，正确的是（ ）
A. CF=FM
B. OF=FB
C. BM ⌒的度数是22.5°
D. BC ∥MN
6．在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，CD ⊥AB 于D ，AB ＝，则DB ＝（ ） A ． B ． C ． D ． 7．若且满足，则的最小值是（ ） A ． B ． C ． D ． 8．不等式的解集为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．直线被圆截得的弦长为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，平行四边形ABCD 中，，若的面积等于，则 的面积等于（ ）． A ． B ． C ． D ．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填在题中的横线上） 11．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为___________。

12．参数方程的普通方程为__________________。

13．如图，AB 是⊙O 的直径，∠E=25°，
∠DBC=50°，则∠CBE=________ ．
14.若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是 。

15．直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，曲线，若
两曲线有公共点，则的取值范围是 。

三、解答题（本大题共6小题，共75分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分） 已知△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为, 若△ABC 的外接圆的半径为 2 ，且 （I ）求∠C ；
（Ⅱ）求△ABC 的面积S 的最大值． 17．（本小题满分12分）已知数列的首项，前项和为，且 （1）求数列的通项公式；
（2）设函数，是函数的导函数，令 ，求数列的通项公式，并研究其单调性。

18. （本小题满分12分）甲、乙两名射击运动员参加射击选拔训练，在相同的条件下，两人5次训练的成绩如下表（单位：环）
A
B
C
D
E O
（1）请画出茎叶图，从稳定性考虑，选派谁更好呢？说明理由（不用计算）。

若从甲、乙两人5次成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩至少有一个低于9.0环的概率；
（2）若从甲、乙两人5次成绩中各随机抽取二次，设抽到10.0环以上（包括10.0环）的次数为，求随机变量的分布列和期望； 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PA ＝PB ＝3，BC ＝1，AB ＝2，AD ＝3，O 是AB 中点。

（1）证明CD ⊥平面POC ；
（2）求二面角C —PD —O 的平面角的余弦值。

20. （本小题满分13分）设椭圆C 1：的左、右焦点分别是F 1、F 2，下顶点为A ，线段OA 的中点为B （O 为坐标原点），如图．若抛物线C 2：与y 轴的交点为B ，且经过F 1，F 2点． （1）求椭圆C 1的方程；
（2）设M （0，），N 为抛物线C 2上的一动点，
过点N 作抛物线C 2的切线交椭圆C 1于P 、Q 两点，求面积的最大值．
21．（本小题满分14分）已知函数，其中 . （1）求的单调区间； （2）求证：＜
乙 10.0 9.5 9.8 9.5 7.0
x y O P
Q A M
F 1 B F 2
N
理科数学
参 考 答 案
一，选择题（每小题5分，共50分）
二，填空题（每小题5分，共25分） 11． 椭圆为，设，
24sin )x y θθθϕ+=+=+≤12．
13. 57、50 14. 15.（1）
四，解答题（本大题共6小题，共75分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（1）, (2)
17. （1）由得…………… 2分
两式相减得11320,13(1)(2)n n n n a a a a n ++--=+=+≥可得， …………… 4分 又由已知，所以，即是一个首项为5，公比的等比数列，所以 …………… 6分 （1）因为，所以
/11
1201230(1)2(531)2(531)(531)(1)
5[323333]2
n n n n n n n f a a na n n n n ------=+++=⨯-+⨯-++⨯-+=+⨯+⨯+
+⨯-
……………8分
令则
所以，作差得所以 即…………… 而所以，作差得 所以是单调递增数列。

…………… 12分
18．（1）茎叶图如下：
从图上看，乙更集中，选派乙更好， ………………………………… 3分 从甲、乙两人5次成绩中各随机抽取一次，则至少有一个低于9.0
环的概率为17/25 . ………………………………… 6分
10分
（2）由题可知：随机变量可能为：
∴分布列为：
……………… 10分
期望为：EX=1.2 ……………… 12分
19.（1）,O 是AB 的中点，.
平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，PO 平面PAB, PO ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥CD. ①
∵AD ∥BC,∠ABC ＝90°,∠BAD ＝90°. 在Rt △OBC 中，OB=BC=1,
在Rt △OAD 中，OA=1,AD=3,OD=.
过C 作CE ⊥AD ，垂足为E,易得DE=CE=2,CD=,
即CD ⊥OC 。

② 由①②得，CD ⊥平面POC 。

…………4分 (2)取CD 的中点F ，连接OF ，则OF ⊥平面PAB.建立如图的空间直角坐标系O —xyz 。

易知,则P （0，0，），D （—1，3，0），C （1，1，0），,
(0,0,22),(2,2,0),(1,1,22).OP CD CP ==-=-- ………… 7分
设平面OPD 的法向量为，则取=（3，1，0） 设平面PCD 的法向量为，则 10分 取=（2，2，）。

…………11分
依题意二面角O —PD —C 的余弦值为。

…………12分 20．（1）由题意可知B （0，-1），则A （0，-2），故b =2． 令y =0得即，则F 1(-1，0)，F 2（1，0），故c =1．
所以．于是椭圆C 1的方程为：．…………2分 （2）设N （），由于知直线PQ 的方程为： ． 即．……………………………4分 代入椭圆方程整理得：, =, , ,
故2221212121414.()4PQ t x t x x x x =+-++-
X 0 1 2 3 P 0.18 0.48 0.30 0.04
．………………………………6分
设点M 到直线PQ 的距离为d ，则．……………7分 所以，的面积S …………12分
当时取到“=”，经检验此时，满足题意．
综上可知，的面积的最大值为．…………………………13分
21．（1） ……………… 2分
若，则的增区间是：，
减区间是：和 ……………3分
若，则的减区间是，无增区间 ……………… 4分 若，则的增区间：，减区间是 …… 5分若，的减区间是，增区间是……………… 6分
（2）由（1）知：当时，，即
即：恒成立，………… （8分）
，当且仅当时取“=”
ln 2ln 3ln 4ln 3111
31()2343233
n n n n ∴++++<--+++…… ……………… （10分） 转化为证明： 用数学归纳法证明如下： 当时，左端右端成立， 假设当时，有成立 则当时， 151111
631332333k k k k k
k +≥
++++++
++⋅⋅…… 对均成立
即有：ln 2ln 3ln 4ln 356
3()23436
n n n n n N *+++++<-∈恒成立 …………（14分）。