类圆曲线及其性质研究

5 结论
本文提出了对含部件选择性失效传播的复杂可修系统进行可靠性与可用性计算的M C S C A 集成算法,给出了计算可靠性㊁瞬时可用性㊁区间可用性㊁平均维修时间以及平均单位时间维修次数五个指标的算法具体步骤,并最终通过实例具体说明了算法的应用㊂本文提出的算法解决了传统方法面临的两个主要问题,一是传统方法只能解决考虑部件选择性失效传播的简单系统可靠性问题,对于不能转化为串并联结构的复杂系统则无能为力,二是传统方法没有考虑系统的维修性,因此,对于复杂可修系统的可靠性与可用性评估传统方法也无从下手㊂本文提出的算法利用了计算机模拟的优势,并借鉴了具有并行计算能力的元胞自动机的思想,为含部件选择性失效传播的复杂可修系统的可靠性与可用性分析提供了一条有效的思路㊂
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存在共因失效的复杂可修系统可靠性评估 阮渊鹏 何 桢 张旭涛等
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(编辑 王艳丽)
作者简介:阮渊鹏,男,1985年生㊂天津大学管理与经济学部博士研究生,杭州电子科技大学管理学院讲师㊂主要研究方向为质量与可靠性工程㊂发表论文8篇㊂何 桢,男,1967年生㊂天津大学管理与经济学部教授㊁博士研究生导师㊂张旭涛,1981年
生㊂天津大学管理与经济学部博士研究生,军事交通学院装备保障系讲师㊂张 驰,1988年生㊂天津大学管理与经济学部博士研究生㊂
类圆曲线及其性质研究
陈 明 刘延平
哈尔滨工业大学,哈尔滨,150001
摘要:对偏心圆节曲线非圆齿轮传动和椭圆节曲线非圆齿轮传动的关键设计参数偏心率e 和离心率ε分别进行了分析㊂在椭圆曲线的基础上,通过改变极坐标极点,得到了一种新型的封闭曲线
类圆曲线,它可以看作是更广义的椭圆曲线或偏心圆曲线㊂针对一般意义的椭圆曲线和偏心圆曲线只是类圆曲线的两种特殊类型的情况,在类圆曲线的数学表达式中,引入了两个关键设计参数偏心率e 和离心率ε,建立了具有不同性质的非圆齿轮节圆曲线方程㊂研究发现,偏心率e 可以确定类圆曲线的最小和最大向径,离心率ε可以确定类圆曲线的形状㊂类圆曲线非圆齿轮传动具有与偏心圆齿轮和椭圆齿轮类似的传动特点,同时在设计上比偏心圆齿轮和椭圆齿轮更加灵活㊁方便㊂
关键词:类圆曲线;偏心圆节曲线;椭圆节曲线;非圆齿轮
中图分类号:T H 3 D O I :10.3969/j
.i s s n .1004-132X.2014.10.010S t u d y o n Q u a s i -c i r c u l a rC u r v e a n d I t s P r o p
e r t i e s C h e n M i n g L i uY a n p i n g
H a r b i n I n s t i t u t e o fT e c h n o l o g y
,H a r b i n ,150001A b s t r a c t :T h i s p a p e r s t u d i e d t h e k e y d e s i g n p a r a m e t e r s ,t h e e c c e n t r i c i t y
r a t i o e o f e c c e n t r i c c i r c u l a r c u r v e a n d t h e e c c e n t r i c i t y εo f e l l i p t i c c u r v e ,w h i c hw e r eu s e dc o mm o n l y f o rn o n ‐c i r c u l a r g e a r t r a n s -
m i s s i o n .B y c h a n g i n g t h e p o l e o f t h e p o l a r c o o r d i n a t e s ,an e wt r a n s f o r m e de l l i p
t i c c u r v en a m e d q u a s i ‐c i r c u l a r c u r v e c a nb e o b t a i n e d ,w h i c h c a nb e r e g a r d e d a s g e n e r a l i z e d e l l i p t i c c u r v e o r g e n e r a l i z e d e c c e n -
t r i c c u r v e .A i m i n g a t t h a t t h eo r i g i n a l e l l i p t i c c u r v e a n de c c e n t r i c c u r v ew e r e j u s t s p
e c i a l c a s e so
f t h e q u a s i ‐c i r c u l a r c u r v e ,t w ok e y d e s i
g n p a r a m e t e r s ,e c c e n t r i c i t y r
a t i o e a n de c c e n t r i c i t y εw e r e i n t r o d u c e d i n t o t h em a t h e m a t i c a l e x p r e s s i o no f t h e q u a s i ‐c i r c u l a r c u r v e t o
b u i l dan e we x p r e s s i o no f t h e p i t
c ho f n o n ‐c i r c u l a r g e a r .T h e r e s e a r c h i n
d i c a t
e s t h a t t h ee c c e n t r i c i t y r a t i od e t e r m i n e s t h em i n i m u ma n d t h e m a x i m u mr a d i u s o
f t h e q u a s i ‐c i r c u l a r c u r v e a n d t h e e c c e n t r i c i t y d e t e r m i n e s t h e s h a p e o f t h e q u a s i ‐c i r -c u l a r c u r v e .T h e q u a s i ‐c i r c u l a r g
e a r t r a n s m i s s i o n h a s t h e c h a r a c t e r i s t i c s s i m i l a r t o t h e e c c e n t r i c c i r c u l a r g e a r s a n de l l i p t i c g e a r s ,b u t i t i sm o r e
f l e x i b l e a n d c o n v e n i e n t t od e s i g
n .K e y w
o r d s :q u a s i ‐c i r c u l a r c u r v e ;e c c e n t r i c c i r c u l a r g e a r ;e l l i p t i c g e a r ;n o n ‐c i r c u l a r g e a r 0 引言
偏心圆节曲线非圆齿轮传动和椭圆节曲线非
收稿日期:2012 10 08
圆齿轮传动在机械系统中常常分别作为典型传动
形式应用[1‐3
]㊂但是,从几何学的角度来看,偏心
圆和椭圆之间有着密切的渊源关系㊂通过研究椭
㊃
4231㊃中国机械工程第25卷第10期2014年5月下半月
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圆和偏心圆曲线之间的渊源关系,可以揭示与椭
圆和偏心圆曲线具有统一数学表达形式的一族曲线的性质㊂为了叙述方便,把这一族曲线称为 类圆曲线”㊂把 类圆曲线”应用到非圆齿轮传动中,可以使非圆齿轮传动的设计更加方便和灵活㊂
1 偏心圆㊁
椭圆节曲线的数学模型1.1 偏心圆齿轮的节曲线
图1 偏心圆齿轮的节曲线
图1所示为偏心圆齿轮的节曲线㊂点C 是该节曲线的圆心,点O 1是偏心圆齿轮的回转中心,a 是该节曲线的半径,r 1是该节曲线的
向径㊂该偏心圆齿轮的偏心距为
E =O 1C
(1
)由此,可以写出偏心圆齿轮节曲线的极坐标方
程[
4]
:r 1=a 2-E 2s i n 2φ1-E c o s φ
1(2
)为了研究问题方便,经常把式(2
)写成以下形式:
r 1=a (1-e 2s i n 2
φ1-e c o s φ
1)(3
)式中,e 为偏心率,e =E a
㊂偏心圆齿轮的节曲线虽然从形状上看是一个圆,但是节曲线上的各点到回转中心的距离不相同㊂当偏心圆齿轮与另外一个齿轮啮合,中心距为常数时,这个齿轮的节曲线为非圆曲线,这两个齿轮的速比也不是常数㊂因此,偏心圆齿轮在传动中所表现出来的特征与非圆齿轮相同㊂为叙述方便,把非圆齿轮节曲线上距离回转中心最近的点称为节曲线的 近端点”,距离回转中心最远的点称为节曲线的 远端点”
㊂1.2 变形偏心圆曲线
把偏心圆齿轮节曲线的极坐标方程(式(2))写成如下形式:
r 1=a [1-e 2s i n 2
(n 1φ1)-e c o s (n 1φ
1)](4
)式中,n 1为变形偏心圆曲线的叶(
支)数,为正整数㊂显然,该函数周期为2π/n 1
[4]
㊂当n 1=
1时,式(4)与式(3)一样,所表达的是一个偏心圆㊂当n 1>1时,式(4)所表达的曲线称为变形偏心圆㊂图2为n 1=3时的变形偏心圆曲线,图3㊁图4分别为相应的相对向径(r 1/a )和相对曲率(a /ρ
1)变化曲线㊂如图2~图4所示,随着偏心率的增大,变形偏心圆曲线的叶形变得
越来越扁长,变形偏心圆的最大向径增大而其最小向径减小;当偏心率为零时,变形偏心圆曲线的相对曲率(a /ρ1)为常数1,也就是说,此时变形偏心圆是一个圆㊂随着偏心率的增大,变形偏心圆
曲线的相对曲率(a /ρ1)发生较大变化,偏心率越大,相对曲率变化越剧烈㊂在最大向径(远端)附近,相对曲率变
化较平缓,在最小向径(近端)附近,相对曲率变化较剧烈㊂
1.e =0
2.e =0.2
3.e =0.4
4.e =0.6
5.e =0.8
图2 偏心率对变形偏心圆曲线(n 1=3
)的影响1.e =0 2.e =0.2 3.e =0.4 4.e =0.6 5.e =0
.8图3 变形偏心圆曲线(n 1=3
)的相对向径1.e =0 2.e =0.2 3.e =0.4 4.e =0.6 5.e =0.8
图4 变形偏心圆曲线(n 1=3
)的相对曲率1.3 椭圆齿轮的节曲线
图5所示是椭圆齿轮的节曲线,点C 是椭圆曲线的几何中心,点O 1是椭圆曲线的焦点也是椭
圆齿轮的回转中心,a 是椭圆曲线的长半轴,b 是椭圆曲线的短半轴,c 是椭圆曲线的焦距㊂选焦
点O 1为极坐标的极点,O 1p 为极坐标的极轴,
则椭圆曲线的极坐标方程为[
5]
r 1=
a (1-ε
2
)1+εc o s φ
1(5
)ε=c
a =
a 2-
b 2a
㊃
5231㊃类圆曲线及其性质研究
陈 明 刘延平Copyright ©博看网. All Rights Reserved.
图5 椭圆齿轮的节曲线
式中,ε为离心率㊂
椭圆曲线是非圆齿轮传动中常用的一种节曲线,可以实现主动轮与从动轮节曲线相同的共轭传动[
6‐
7]㊂这在非圆齿轮传动中是不多见的㊂1.4 变形椭圆曲线
把椭圆齿轮节曲线的极坐标方程(式(5
))写成如下形式[
8
]:r 1=
a (
1-ε2
)1+εc o s (n 1φ1)(6
)式中,n 1为变形椭圆曲线的叶(
支)数,为正整数㊂显然,该函数周期为2π/n 1㊂
当n 1=
1时,式(6)与式(5)一样,表达的是一个椭圆㊂椭圆曲线离心率越大,相对曲率的变化越剧烈,其近端和远端的相对曲率也越大㊂当
n 1>1时,
式(6)所表达的曲线称为变形椭圆曲线(即卵形曲线)㊂当n 1=3时,对应不同离心率的变形椭圆曲线如图6所示,变形椭圆曲线的相对向径(r 1/a )和相对曲率(a /ρ1)变化分别如图7㊁
图8所示㊂由图6可以看出,随着离心率的增大,变形椭圆曲线的叶形变得越来越扁长;由图7可以看出,随着离心率的增大,变形椭圆曲线的最大向径增大而其最小向径减小;由图8可以看出,当离心率ε=0时,变形椭圆曲线的相对曲率
(a /ρ1)为常数1,此时变形椭圆实际上是一个圆㊂随着离心率的增大,变形椭圆曲线的相对曲率(a /ρ
1)发生较大变化,离心率越大,相对曲率变化越剧烈㊂在最大相对向径附近(远端),相对曲率变化较剧烈,在最小相对向径附近(近端),相对曲率变化较平缓
㊂
1.ε=0
2.ε=0.2
3.ε=0.4
4.ε=0.6
5.ε=0.8
图6 离心率对变形椭圆曲线(n 1=3
)的影响1.ε=0 2.ε=0.2 3.ε=0.4 4.ε=0.6 5.ε=0.8
图7 变形椭圆曲线(n 1=3
)的相对向径1.ε=0 2.ε=0.2 3.ε=0.4 4.ε=0.6 5.ε=0.8
图8 变形椭圆曲线(n 1=3
)的相对曲率2 偏心圆线与椭圆曲线性质的对比
由上文分析可知,影响偏心圆曲线相对向径
的关键因素是偏心圆曲线的偏心率e ,影响椭圆
曲线相对向径的关键因素是椭圆曲线的离心率
ε㊂因此,
可以说影响偏心圆齿轮传动比的关键因素是其偏心率e ,影响椭圆齿轮传动比的关键因素是其离心率ε㊂
非圆齿轮传动比的计算公式为[
9
]i =
A -r 1
r 1
(7
)式中,A 为非圆齿轮传动的中心距;r 1为主动轮节曲线向
径;i 为传动比㊂
传动比的最大值发生在主动轮的近端点,即
i m a x =A -r m i n 1r m i n 1(8)传动比的最小值发生在主动轮的远端点,即
i m i n =
A -r m a x 1r m a x 1
(9)最大最小传动比差值为
Δi =i m a x -i m i n =
A (r m a x 1-r m i n 1)
r m i n 1r m a x 1
(10
)对于偏心圆节曲线,根据式(3
),得到其最大向径为
r m a x 1=a (1+e )(11)最小向径为
r m i n 1=a
(1-e )(12
)把式(11)㊁式(12)代入式(10
)得偏心圆齿轮传动的最大最小传动比差为
㊃
6231㊃中国机械工程第25卷第10期2014年5月下半月
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Δi=2A e
a(1-e2)(13)对于椭圆节曲线,根据式(5),得到其最大向径为
r m a x1=a(1+ε)(14)最小向径为
r m i n1=a(1-ε)(15)把式(14)㊁式(15)代入式(10)得椭圆齿轮传动的最大最小传动比差为
Δi=2Aε
a(1-ε2)(16)由式(13)㊁式(16)可以看出,偏心圆齿轮传动和椭圆齿轮传动的最大最小传动比差分别受到偏心率和离心率的影响,并且这种影响程度是相同的㊂但是,偏心圆齿轮传动的偏心率e仅影响传动比,不影响偏心圆节曲线的形状;而椭圆齿轮传动的离心率ε不仅影响其传动比,还影响椭圆节曲线的形状[10]㊂
3 变形偏心圆曲线与变形椭圆曲线性质的对比
通过对1.2节中变形偏心圆曲线与1.4节中变形椭圆曲线的性质进行对比可以发现,两种曲线的性质既有相同点又有差异,具体如表1所示㊂
表1 变形偏心圆与变形椭圆曲线性质对比
相同点
叶数n1等于曲线远端点数目和近端点数目
远端点极角
φ1=180°n1+(j-1)360°n1
j=1,2, ,n1
近端点极角
φ1=(j-1)360°n1
j=1,2, ,n1
曲线的向径
变化趋势
在变形偏心圆曲线与变形椭圆曲线的
远端点和近端点之间,曲线的向径均为
单调增大或单调减小
偏心率e
(离心率ε)对远
近端的影响
随着e(ε)的增大,变形偏心
圆曲线
(变形椭圆曲线)的远端越远,近端越近
偏心率e
(离心率ε)
对相对
曲率的影响
随着e(ε)的增大,变形偏心圆曲线
(变形椭圆曲线)的远端相对曲率增大,
近端相对曲率由正变负,且其绝对值越
来越大
偏心率e
(离心率ε)
对叶形的影响
变形偏心圆曲线(变形椭圆曲线)的
e(ε)越大,曲线的叶形越扁长㊂
不同点偏心率e(离
心率ε)对相
对曲率变化
率的影响
随着e的增大,变形偏心圆曲线的远
端相对曲率变化较平缓并变得更加丰满
圆润,近端相对曲率变化剧烈㊂随着ε的
增大,变形椭圆曲线的远端相对曲率变
化剧烈并急剧变尖,近端相对曲率变化
较为平缓㊂
通过对比变形偏心圆曲线和变形椭圆曲线
的性质发现,在偏心率e较大时,变形偏心圆曲线
的近端凹陷较剧烈,致使变形偏心圆曲线不能用
作非圆齿轮的节曲线;在离心率ε较大时,变形椭
圆曲线的远端变尖较剧烈,致使变形椭圆曲线不
能用作非圆齿轮的节曲线㊂如果能够把变形偏心
圆曲线和变形椭圆曲线的这种性质综合在一起,
得到一种新型曲线,使得偏心率e或离心率ε较大
时,曲线的远端变化类似变形偏心圆曲线,而曲线
的近端变化类似变形椭圆曲线,那么这种新型曲
线将会给非圆齿轮节曲线的设计带来很大的方便
性和灵活性[11]㊂
4 类圆曲线的数学模型
图9所示为椭圆曲线,点O是椭圆曲线的几
何中心,点C1㊁点C2是椭圆曲线的焦点,点O1是
椭圆齿轮的回转中心,a是椭圆曲线的长半轴,b
图9 椭圆齿轮的节曲线
是椭圆曲线的短半轴,c是椭圆曲线的焦距,E是
椭圆齿轮的偏心距㊂选回转中心O1为极坐标的
极点,O1p为极坐标的极轴,则椭圆曲线的极坐标
方程为
r1=a(1-ε2)(1-ε2c o s2φ1-e2s i n2φ1)
1-ε2c o s2φ1-
a e
(1-ε2)c o sφ1
1-ε2c o s2φ1(17)
当令式(17)中的离心率ε=0时,则式(17)退
化成式(3);当令式(17)中的偏心率e=ε时,则式
(17)退化成式(5)㊂由此可见,偏心圆曲线和椭
圆曲线是式(17)的特殊情况;当式(17)中ε≠0,
e≠ε时,式(17)所表示的曲线具有偏心圆曲线和
椭圆曲线均不具备的特性㊂由于式(17)所表达
的曲线与偏心圆曲线和椭圆曲线既有渊源关系又
有不同的特性,因此,把这类曲线称为类圆曲线㊂
实际上,当式(17)中ε=0,e=0时,式(17)所表达
的曲线是一个圆㊂
类圆曲线也可以像偏心圆曲线和椭圆曲线那
样,在其表达式的自变量前乘以一个正整数以实
现变形,其表达式为
㊃7231㊃
类圆曲线及其性质研究 陈 明 刘延平
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r 1=a
(1-ε2)[1-ε2c o s 2(n 1φ1)-e 2s i n 2
(n 1φ1)]1-ε2c o s 2
(n 1φ
1)-a e (1-ε2
)c o s (n 1φ1)1-ε2c o s 2
(n 1φ
1)(18
)当n 1=
1时,式(18)与式(17)所表达的曲线相同㊂当偏心率e =0,离心率ε=0㊁0.4㊁0.6㊁0.7㊁
0.8时,类圆曲线如图10所示,
类圆曲线的相对向径(r 1/a )变化如图11所示,类圆曲线的相对曲率(a /ρ1)变化如图12所示㊂由图10可以看出,随着离心率的增大,类圆曲线变得越来越扁,且极坐标系的极点O 1在曲线的几何中心㊂由图11可以
看出,类圆曲线的最大相对向径出现在极角φ1=
0°和180°时,并且最大相对向径不随离心率ε的变化而变化;类圆曲线的最小相对向径出现在极角φ1=90°和270°时,并且最小相对向径随离心率ε的增大而减小㊂由图12可以看出
,类圆曲线的最大相对向径处的相对曲率,随着离心率ε的增大而增大;类圆曲线的最小相对向径处的相对曲率,随着离心率ε的增大而减小㊂由图10~图
12可以看出,
当离心率ε=0时,类圆曲线实际上就是一个圆㊂因此可以说,圆是类圆曲线的一种特殊情况㊂
1.ε=0
2.ε=0.2
3.ε=0.4
4.ε=0.6
5.ε=0
.8图10 离心率对类圆曲线(n 1=1
,e =0)的影响1.ε=0 2.ε=0.2 3.ε=0.4 4.ε=0.6 5.ε=0.8
图11 类圆曲线(n 1=1
,e =0)的相对向径当n 1=
1,偏心率e =0.2,离心率分别取ε=0㊁0.4㊁0
.6㊁0.7㊁0.8时,类圆曲线如图13所示,类圆曲线的相对向径(r 1/a )变化如图14所示,类圆曲线的相对曲率(a /ρ
1)变化如图15所示㊂由图13可以看出,随着离心率的增大,类圆曲线变得越来1.ε=0 2.ε=0.2 3.ε=0.4 4.ε=0.6 5.ε=0
.8图12 类圆曲线(n 1=1
,e =0)的相对曲率1.ε=0 2.ε=0.2 3.ε=0.4 4.ε=0.6 5.ε=0.8
图13 离心率对类圆曲线(n 1=1
,e =0.2)的影响1.ε=0 2.ε=0.2 3.ε=0.4 4.ε=0.6 5.ε=0.8
图14 类圆曲线(n 1=1
,e =0.2)的相对向径1.ε=0 2.ε=0.2 3.ε=0.4 4.ε=0.6 5.ε=0.8
图15 类圆曲线(n 1=1
,e =0.2)的相对曲率越扁,且极坐标系的极点O 1偏离曲线的几何中
心㊂由图14可以看出,
类圆曲线的最小相对向径在离心率ε较小时,出现在极角φ1=0°时,
但是,随着离心率ε的增大,最小相对向径出现的位置发生了变化;类圆曲线的最大相对向径出现在极角φ1=180°时,
并且最大相对向径不随离心率ε的变化而变化㊂由图15可以看出,
类圆曲线的最㊃
8231㊃中国机械工程第25卷第10期2014年5月下半月
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大相对向径附近的相对曲率,随着离心率ε的增
大而增大,最小相对向径附近的相对曲率,随着离心率ε的增大而减小㊂由图13~图15可以看
出,当离心率ε=0时,类圆曲线实际上就是一个偏心圆㊂
通过对上述两种单叶(n 1=
1)类圆曲线的分析可知,上述两种类圆曲线实际上都是椭圆曲线㊂只不过描述这两种椭圆曲线的极坐标系的极点O 1不像通常那样处在椭圆的焦点上,而是处在
椭圆的长轴上,其到椭圆几何中心的距离为a e (
椭圆长半轴a 与偏心率e 的乘积)㊂所谓类圆曲线实质上是在椭圆曲线的数学表
达式中引入了新的参数 偏心率e ,用偏心率e 描述极坐标系极点到其几何中心的距离,而离心率
ε则只用来描述椭圆曲线的形状,
即椭圆 扁”的程度㊂而普通椭圆曲线只有一个参数
离心率ε,它不仅用来描述椭圆 扁”的程度,还要用来描述椭圆曲线极坐标系极点到其几何中心的距离㊂当n 1=
2,偏心率e =0,离心率ε=0㊁0.4㊁0.6㊁0.7㊁0.8时,类圆曲线如图16所示,类圆曲线的相对向径(r 1/a )变化如图17所示,类圆曲线的相对曲率(a /ρ
1)变化如图18所示㊂由图16可以看出,随着离心率的增大,类圆曲线的叶形变得越来越扁,且极坐标系的极点O 1位于曲线的几何中心㊂由图17可以看出,类圆曲线的最小相对向径出现在极角φ1=45°㊁135°㊁225°㊁315°时,且最小相对向径随着随离心率ε的增大而减小;类圆曲
线的最大相对向径出现在极角φ1=0°㊁90°㊁180°㊁270°时,
并且最大相对向径不随离心率ε的变化而变化㊂由图18可以看出,类圆曲线的最大相对向径附近的相对曲率,随着离心率ε的增大而增大,最小相对向径附近的相对曲率,随着离心率ε
的增大而减小㊂由图16~图18可以看出,
当离心率ε=0时,类圆曲线实际上就是一个偏心圆
㊂
1.ε=0
2.ε=0.2
3.ε=0.4
4.ε=0.6
5.ε=0.8
图16 离心率对类圆曲线(n 1=2
,e =0)的影响当n 1=
2,偏心率e =0.2,离心率ε=0㊁0.4㊁0.6㊁0.7㊁0.8时,类圆曲线如图19所示,
类圆曲线1.ε=0 2.ε=0.2 3.ε=0.4 4.ε=0.6 5.ε=0.8
图17 类圆曲线(n 1=2
,e =0)的相对向径1.ε=0 2.ε=0.2 3.ε=0.4 4.ε=0.6 5.ε=0
.8图18 类圆曲线(n 1=2
,e =0)的相对曲率的相对向径(r 1/a )变化如图20所示,类圆曲线的相对曲率(a /ρ1)变化如图21所示㊂由图19可以看出,随着离心率的增大,类圆曲线的叶形变得越来越扁,且极坐标系的极点O 1位于曲线的几何中心㊂由图20可以看出,
在离心率ε较小时,类圆曲线的最小相对向径出现在极角φ1=0°和180°时;但是,随着离心率ε的增大,
最小相对向径出现的位置发生了变化;类圆曲线的最大相对向径出现在极角φ1=90°和270°时,并且最大相对向径不随离心率ε的变化而变化㊂由图21可以看出,
类圆曲线的最大相对向径附近的相对曲率随着离心率ε的增大而增大,
最小相对向径附近的相对曲率,随着离心率ε的增大而减小
㊂1.ε=0 2.ε=0.2 3.ε=0.4 4.ε=0.6 5.ε=0.8
图19 离心率对类圆曲线(n 1=2
,e =0.2)的影响当n 1=
3,偏心率e =0,离心率ε=0㊁0.4㊁0.6㊁0.7㊁0.8时,类圆曲线如图22所示,类圆曲线的相对向径(r 1/a )变化如图23所示,类圆曲线的相对曲率(a /ρ
1)变化如图24所示㊂由图22可以看出,随着离心率的增大,类圆曲线的叶形变得越来
㊃
9231㊃类圆曲线及其性质研究
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1.ε=0
2.ε=0.2
3.ε=0.4
4.ε=0.6
5.ε=0.8
图20 类圆曲线(n 1=2
,e =0.2)的相对向径1.ε=0 2.ε=0.2 3.ε=0.4 4.ε=0.6 5.ε=0.8
图21 类圆曲线(n 1=2
,e =0.2)的相对曲率越扁,且极坐标系的极点O 1位于曲线的几何中
心㊂由图23可以看出,
类圆曲线的最小相对向径出现在极角φ1=30°㊁90°㊁150°㊁210°㊁270°㊁330°
时,且最小相对向径随着随离心率ε的增大而减
小;类圆曲线的最大相对向径出现在极角φ1=0㊁
60°㊁120°㊁180°㊁240°㊁300°时,
并且最大相对向径不随离心率ε的变化而变化㊂由图24可以看出,类圆曲线的最大相对向径附近的相对曲率,随着离心率ε的增大而增大,最小相对向径附近的相对曲率,随着离心率ε的增大而减小㊂由图22~图24可以看出,当离心率ε=0时,类圆曲线实际上就是一个偏心圆
㊂
1.ε=0
2.ε=0.2
3.ε=0.4
4.ε=0.6
5.ε=0.8
图22 离心率对类圆曲线(n 1=3
,e =0)的影响当n 1=
3,偏心率e =0.2,离心率ε分别取0㊁0.4㊁0.6㊁0.7㊁0.8时,类圆曲线如图25所示,
类圆曲线的相对向径(r 1
/a )变化如图26所示,类圆曲线的相对曲率(a /ρ1)变化如图27所示㊂由图2
51.ε=0 2.ε=0.2 3.ε=0.4 4.ε=0.6 5.ε=0.8
图23 类圆曲线(n 1=3
,e =0)的相对向径1.ε=0 2.ε=0.2 3.ε=0.4 4.ε=0.6 5.ε=0.8
图24 类圆曲线(n 1=3
,e =0)的相对曲率可以看出,随着离心率的增大,类圆曲线的叶形变得越来越扁,且极坐标系的极点O 1位于曲线的几何中心㊂由图26可以看出,在离心率ε较小时,类圆曲线的最小相对向径出现在极角φ1=0°㊁120°
㊁240°时;
但是,随着离心率ε的增大,最小相对向径出现的位置发生了变化;类圆曲线的最大相对
向径出现在极角φ1=60°㊁180°㊁300°时,
并且最大相对向径不随离心率ε的变化而变化㊂由图27可以看出,类圆曲线的最大相对向径附近的相对曲率随着离心率ε的增大而增大,最小相对向径附近的相对曲率随着离心率ε的增大而减小
㊂
1.ε=0
2.ε=0.2
3.ε=0.4
4.ε=0.6
5.ε=0.8
图25 离心率对类圆曲线(n 1=3
,e =0.2)的影响由上述分析可知,类圆曲线的最大相对向径
的位置只与类圆曲线的叶数n 1有关,
与离心率ε无关,可以称相对向径最大处为类圆曲线的远端㊂类圆曲线的最小相对向径的位置不仅与类圆
曲线的叶数n 1有关,
还与离心率ε有关㊂为了研㊃
0331㊃中国机械工程第25卷第10期2014年5月下半月
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1.ε=0
2.ε=0.2
3.ε=0.4
4.ε=0.6
5.ε=0.8
图26 类圆曲线
(n1=3,e=0.2)的相对向径
1.ε=0
2.ε=0.2
3.ε=0.4
4.ε=0.6
5.ε=0.8图27 类圆曲线(n1=3,e=0.2)的相对曲率
究问题方便,把离心率ε较小时的相对向径最小处称为类圆曲线的准近端,类圆曲线相对向径最小处称为类圆曲线的近端㊂
综上所述,得到类圆曲线的性质如下: (1)类圆曲线的叶数n1分别等于曲线远端点数目和准近端点数目㊂
(2)类圆曲线的远端点极角为
φ1=180°n1+(j-1)360°n1(19)
j=1,2, ,n1
准近端点极角为
φ1=(j-1)360°n1(20)
j=1,2, ,n1
(3)当离心率ε较小时,在类圆曲线的远端点和准近端点之间,曲线的相对向径是单调增大或单调减小的㊂随着离心率ε的增大,在类圆曲线的远端点和准近端点之间,曲线的相对向径不再单调增大或单调减小㊂
(4)类圆曲线的远端点和准近端点不随离心率ε的变化而变化㊂
(5)随着离心率ε的增大,类圆曲线的远端相对曲率增大,准近端相对曲率也增大,而其近端相对曲率由正变负,且其绝对值越来越大㊂(6)类圆曲线的离心率ε越大,曲线叶形越扁㊂
(7)随着离心率ε的变化,类圆曲线的远端和
准近端相对曲率的变化程度相近㊂
根据上述分析,总结偏心圆曲线㊁椭圆曲线和类圆曲线的性质见表2㊂
表2 偏心圆㊁椭圆㊁类圆曲线性质
项目
曲线类型
偏心圆曲线椭圆曲线类圆曲线
偏心距e有无有
离心率ε无有有(准)近端
位置
φ1=(j-1)360°n1
j=1,2, ,n
近端位置与上相同与上相同与上不同
远端位置
φ1=180°n1+(j-1)360°n1
j=1,2, ,n
向径变
化规律
曲率变
化规律
近端→远端近端→远端准近端→远端
单调增大单调增大
ε较小时
单调增大
近端→远端近端→远端准近端→远端
单调减小单调减小
ε较小时
单调减小
近端近端准近端
剧烈减小平缓减小较平缓增大
远端远端远端
平缓增大剧烈增大较平缓增大 把类圆曲线的远端点极角表达式(式(19))代入类圆曲线表达式(式(18))得类圆曲线的最大向径为
r m a x1=a(1+e)(21)把准近端点极角表达式(式(20))代入类圆曲线表达(式(18))得类圆曲线的最小向径为
r m i n1=a(1-e)(22)则类圆曲线作为节曲线的非圆齿轮传动的最大最小传动比差为
Δi=2A e
a(1-e2)(23)对比图22和图25可以看出,非圆齿轮类圆节曲线的最大向径只与偏心率e有关,与离心率ε无关;而其最小向径不仅与偏心率e有关,同时也受离心率ε的影响㊂同时,由式(23)也可以看出,类圆齿轮传动的最大最小传动比差主要受偏心率e的影响,离心率ε对其影响较小(式(23)中的中心距A与离心率ε有关)㊂这样,在设计类圆节曲线非圆齿轮时,可以通过改变偏心率e和离心率ε来确定类圆曲线的最小㊁最大向径及类圆曲线的形状,满足非圆齿轮的最大㊁最小传动比要求和非圆齿轮的传动比变化规律或非圆齿轮节曲线形状的要求㊂类圆节曲线非圆齿轮的设计,要比偏心
㊃1331㊃
类圆曲线及其性质研究 陈 明 刘延平
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